斯圖姆的輪船相遇問題

蔣明玉

斯圖姆是法國數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域都做過開創(chuàng)性的工作。一次，斯圖姆去參加一個國際學(xué)術(shù)會議，一位朋友向他請教下面這個問題：

每天中午有一艘輪船從哈佛開往紐約，且每天同一時刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛，輪船在途中均要航行七天七夜。試問，每條從哈佛開出的輪船在到達(dá)紐約前能遇上幾艘從紐約開來的輪船？

同學(xué)們，請你們嘗試解決這個問題。你們想到方法了嗎？不知道你們有沒有想到過采用下面這些方法：

一、游戲法

你可以組織班上的同學(xué)一起來做個解題游戲：你站在學(xué)校操場的一邊，扮成從哈佛開出的那艘輪船，其他同學(xué)站在操場的另一邊，扮成從紐約開往哈佛的輪船，中間用六張小凳均勻分成七等份（相鄰兩張小凳間的距離約兩步長），用來表示一個晝夜的航程（白天一步，夜晚一步）。在你的口令聲中，他們一個接一個地用相同的步幅向你這邊走過來，前一位同學(xué)剛走到小凳處，后一位同學(xué)就開始出發(fā)，猶如每天中午從紐約開出的輪船。當(dāng)?shù)谝晃煌瑢W(xué)走到你這邊，你就立刻勻速向?qū)γ孀呷?，并記下迎面碰到的同學(xué)數(shù)。當(dāng)你走到對面的時候，結(jié)果就出來了，一共遇到了15位同學(xué)。這就是說，將會遇到15艘同一公司的輪船從對面開來。

不僅如此，如果你注意記錄下與每一位同學(xué)相遇的地點的話，你會發(fā)現(xiàn)每到小凳處就會遇到一位同學(xué)，每到兩張相鄰小凳之間處也會遇到一位同學(xué)，加上出發(fā)時遇到的那位同學(xué)，一算便知在途中遇到了15位同學(xué)。

同學(xué)們，你們說這樣的解題游戲是不是很有趣??？

二、算術(shù)法

在做解題游戲的過程中，如果設(shè)每艘輪船的速度是x海里/晝夜，一艘輪船剛與迎面駛來的輪船相遇時，同下一艘即將相遇的輪船間剛好相差一晝夜的航程（想一想，為什么），即為x海里。因此，同下一艘輪船相遇的時間應(yīng)是x÷（x+x）=0.5（晝夜），也就是說一艘輪船可以在一晝夜遇到兩艘迎面駛來的輪船。那么，七晝夜一共可以遇到7×2=14（艘）從對面開來的輪船，加上出港時遇到的一艘，一共15艘輪船。

同學(xué)們，你們說這樣的算術(shù)解法是不是既簡單又有趣呢？

三、圖示法

如下圖所示，如果我們用兩條平行線分別表示哈佛和紐約這兩座城市，把從紐約出發(fā)的輪船的出發(fā)日期和到達(dá)哈佛的日期連成線段，這些線段都是長度相同的平行線段，表示它們各自的航行路程的圖線。最后我們假設(shè)這艘從哈佛出發(fā)的輪船的出發(fā)時間為7號，把它的出發(fā)時間與它的到達(dá)時間也用線段相連，不難發(fā)現(xiàn)這根線段的長度與上面的平行線段是等長的，這與條件“輪船都在同一航線上航行”相吻合?？矗∑孥E出現(xiàn)了，這條線段與從紐約出發(fā)的輪船航行路程的圖線產(chǎn)生了15個交點，這15個交點的位置就是它們相遇的具體地點，因此“斯圖姆的輪船相遇問題”的解應(yīng)為15艘輪船。

四、轉(zhuǎn)化法

我們先來考慮一個問題：“如果該輪船公司要維持哈佛與紐約之間的正常航行，至少需要配備多少艘輪船？”要解決這一問題，可設(shè)一艘輪船第一天中午從哈佛出發(fā)，經(jīng)過七天，第八天中午到達(dá)紐約，第九天中午從紐約出發(fā)，再過七天，第十六天又回到了哈佛，開始準(zhǔn)備下一個來回的航行。這十六天中，每天中午需從哈佛發(fā)出一艘輪船，所以，要想維持正常航行至少需要16艘輪船。

那么，如果該輪船公司的16艘輪船都在航線上，其中一艘輪船從哈佛出發(fā)時，它后面一艘輪船正好回到哈佛，它們之間沒有其他的輪船；這艘輪船到達(dá)紐約時，它前面一艘輪船正好從紐約出發(fā)，它們之間也沒有其他的輪船。這樣，在從哈佛到紐約的航程中，該輪船與本公司的其他15艘輪船都要相遇一次。因此，從哈佛出發(fā)的輪船沿途將會遇到15艘同一公司的輪船從對面開來。

同學(xué)們，讓我們進(jìn)一步思考，分析以上幾種方法，提煉出一種最適合你們自己的方法。

游戲法可以幫助我們理解題目并得到答案，但顯得十分麻煩，因為它需要很多同學(xué)一起參加，不能一個人完成。

算術(shù)法顯得簡單，只要一個簡單的式子就解決問題了，但對題目意義的理解要求很高，只有在充分理解題意，掌握必要的方法后，才能列出正確的算式，否則很容易出錯。

圖示法的優(yōu)點比較明顯：不僅有游戲法的特點，容易得到結(jié)果，還能幫助我們理解題意，用起來也十分簡單，不容易出錯。

轉(zhuǎn)化法雖然比較簡單，但其局限性也很突出，一般很少有人會想到運用這種方法。

同學(xué)們，不管你們選擇使用哪種方法，只要你們記住：數(shù)學(xué)來源于生活，生活中到處都有有趣的數(shù)學(xué)問題，它們正等待著聰明的你們?nèi)グl(fā)現(xiàn)并加以解決。

（編輯 孫世奇）