一類非局部邊值問題的數(shù)值方法

周永芳， 母麗華， 顧 娟

(黑龍江科技大學(xué) 理學(xué)院，哈爾濱150022)

0 引 言

微分方程非局部邊值問題廣泛地出現(xiàn)在化學(xué)反應(yīng)擴散、人口動力學(xué)、振動問題、生命科學(xué)等科學(xué)和工程領(lǐng)域之中。對于常微分方程非局部邊值問題，學(xué)者們大多致力于解的存在性等定性問題的研究［1－2］，關(guān)于非局部邊值問題的數(shù)值求解方面的研究文獻較少。M．Cakir 等［3］討論了具有積分邊界條件和小參數(shù)的一維奇異攝動邊值問題的有限差分法。廉海榮等［4］建立了一類具有積分邊界條件的常微分方程邊值問題的指數(shù)差分格式，并且給出格式的誤差分析，證明了格式是一致收斂的。近年來，再生核數(shù)值方法廣泛地用于微分方程邊值問題的數(shù)值求解［5，7－10］，筆者將建立包含積分邊界條件的再生核空間，在空間中討論如下非線性常微分方程非局部邊值問題:

精確解的表達形式，通過截斷級數(shù)給出方程的近似解，證明了近似解一致收斂于方程精確解，近似解的導(dǎo)數(shù)一致收斂于方程精確解的導(dǎo)數(shù)。其中f:［0，1］×和g0，g1:［0，1］→［0，∞)是充分光滑的函數(shù)，a、b 是非負實數(shù)。

1 再生核空間

W3［0，1］是再生核空間［6］，對任意的y(x)，z(x)∈W3［0，1］，內(nèi)積和范數(shù)分別為

定義2

W31［0，1］是W3［0，1］的閉子空間(證明參見文獻［6］)，W31［0，1］是再生核空間。設(shè)W31［0，1］的再生核函數(shù)為K(x，t)［6］。

定義3 W［0，1］= {y(x)| y(x)是絕對連續(xù)實值函數(shù)

2 精確解和近似解的構(gòu)造

定義線性算子Τ:W31［0，1］→W［0，1］。對任意y(x)∈W31［0，1］，Τy(x)= y″(x)，則方程(1)轉(zhuǎn)化為其中，當(dāng)y = y(x)∈W31［0，1］時f(x，y(x))∈W［0，1］。

引理1 Τ:W31［0，1］→W［0，1］是有界線性算子。

令φi(x)=R(x，xi)，Ψi(x)=Τ*φi(x)，其中，Τ*是Τ 的共軛算子。

證明 由

有Ψi(x)∈W31［0，1］。

令〈y(x)，Ψi(x)〉W31［0，1］=0，i =1，2，…，n，其中，y(x)∈W31［0，1］，即得

其中，αk= f(xk，y(xk))，k = 1，2，…，n。

定理1 給出了方程(2)精確解的表達式。

通過截斷式(3)中給定的級數(shù)，得到方程(2)的近似解

定理2 假設(shè)方程(2)的解存在唯一，y(x)是方程(2)的解，yn(x)是方程的近似解由式(4)給出，則yn(x)，y'n(x)，y″n(x)是一致收斂的，即

證明 注意到‖y(x)－ yn(x)‖W31［0，1］→0，n→∞，于是當(dāng)n→∞時，有這里是常數(shù)，i=1，2。

3 數(shù)值算法

下面將給出方程(2)的近似解yn(x)的求解方法。

為了獲得yn(x)，只需要確定αk(k=1，2，…，n)即可。獲得yn(x)的數(shù)值程序:

類似上面的步驟，尋找αk直到獲得2，…，n)，使得則方程(2)的近似解可以由式(5)得到

4 數(shù)值算例

算例1 求解下列非線性非局部邊值問題

表1 算例1 的數(shù)值結(jié)果Table 1 Numerical results of example 1

5 結(jié)束語

文中通過構(gòu)造包含方程非局部邊值條件的再生核空間，獲得了一類非線性常微分方程非局部邊值問題的精確解和近似解，證明了方程近似解及其導(dǎo)數(shù)的一致收斂性，實驗結(jié)果表明，該方法有效，可以進一步推廣到其他非線性方程邊值問題的求解。

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