基于三次B樣條有限元法的BBMB方程數(shù)值解

徐瑩瑩，周麗萍，樊強(qiáng)，樸光日

(延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉 133002)

Benjamin-Bona-Mahony-Burgers(BBMB)方程

(1)

表示的是小振幅長(zhǎng)波在非線性色散介質(zhì)中的傳播[1]，其中α>0,β是任意常數(shù)，f是一個(gè)外力.在物理學(xué)中，系統(tǒng)(1)的色散效應(yīng)與方程Benjamin-Bona-Mahony(BBM)相似，其損耗效應(yīng)與Burgers方程相似，并且BBMB方程是Korteweg-de Vries-Burgers(KdVB)方程的另一種形式[2].文獻(xiàn)[3-6]、[7-9]和[10-11]分別采用有限元、有限差分和Adomain分解方法研究了該方程的數(shù)值解；文獻(xiàn)[12-13]應(yīng)用二次B樣條有限元法求解了Burgers方程的數(shù)值解；文獻(xiàn)[14]采用三次B樣條配置法求解了BBMB方程的數(shù)值解.本文應(yīng)用三次B樣條有限元法先把BBMB方程轉(zhuǎn)化為非線性常微分方程，然后利用Crank-Nicolson差分法進(jìn)行時(shí)間離散化，從而得到了全離散化的代數(shù)方程.

1 數(shù)值格式

在整個(gè)空間域中，標(biāo)準(zhǔn)的拉格朗日有限元基函數(shù)只能提供簡(jiǎn)單的C0-連續(xù)，因而不適合應(yīng)用于高階微分方程的離散化，比如三階或四階微分方程； 但由于B-樣條基函數(shù)至少滿足C1-連續(xù)，因此可用于求解高階微分方程的近似解.

根據(jù)變分方法可將系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為弱形式：

(2)

(3)

其中αi(t)是待定系數(shù)，Bi(x)是三次B樣條有限元基函數(shù).在區(qū)間[0,L]上定義Bi(x)為

表1 基函數(shù)及其一階、二階導(dǎo)數(shù)在各結(jié)點(diǎn)的值

(4)

(5)

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將(7)式轉(zhuǎn)化為矩陣形式后得

(8)

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(10)

M,S,C是常數(shù)矩陣，由于矩陣G依賴于時(shí)間，因此其每一步驟都需要重新計(jì)算.向量αn的時(shí)間演化確定近似解uh(x,t)的時(shí)間演化，當(dāng)已知初始向量α0的情況下，此演化過(guò)程是通過(guò)反復(fù)計(jì)算系統(tǒng)(10)來(lái)完成的，其具體過(guò)程如下：

1)時(shí)間t=0時(shí)，首先，根據(jù)已知初始向量α0得到近似的G，并由(10)式計(jì)算近似的α1.然后，通過(guò)α=(1/2)(α0+α1)重新計(jì)算G，接著由(10)式再計(jì)算α1.反復(fù)進(jìn)行20次左右的這種迭代可以得到比較精確的α1.

2)時(shí)間t>0時(shí)，首先，通過(guò)α=αn+(1/2)(αn-αn-1)求得G，并由(10)式計(jì)算得到αn+1的近似值.然后，利用α=(1/2)(αn+αn+1)重新計(jì)算G，接著由(10)式再計(jì)算αn+1.通過(guò)反復(fù)迭代10次可以得到精確的αn+1.

2 穩(wěn)定性分析

根據(jù)典型的傅里葉模式的增長(zhǎng)因子的Von-Neumann理論，定義

(11)

其中k是模型數(shù)，h是區(qū)間步長(zhǎng).數(shù)值格式(10)的穩(wěn)定性取決于其線性化.在非線性項(xiàng)u ux中，假設(shè)u是局部常數(shù)，則其等價(jià)于假設(shè)對(duì)應(yīng)的值αj也是常數(shù)并等于d； 因此，格式(10)相應(yīng)的線性遞推關(guān)系式可由下式給出：

(12)

(13)

3 數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文算法的有效性和精確性,考慮如下兩種情況.

例1 給定參數(shù)α=1,β=1，初始條件為u0(x)=4x(1-x)sinπx，Δt=0.05，在不同時(shí)間段、結(jié)點(diǎn)和區(qū)間步長(zhǎng)的條件下，觀察BBMB方程的數(shù)值解.

解例1結(jié)果見表2.

表2 不同時(shí)刻、區(qū)間步長(zhǎng)條件下各結(jié)點(diǎn)的近似值

解圖1和圖2分別表示近似解在不同參數(shù)下的演化過(guò)程.

圖1 α=0.000 1，β=2.5時(shí)BBMB方程的近似解

圖2 α=0.01，β=25時(shí)BBMB方程的近似解

通過(guò)例1和例2可知，本文提出的方法不僅適合求解BBMB方程的近似解，而且也適合于求解其他方程的近似解.

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