一個二維含有理分式離散混沌映射的分析與控制

彭建奎,俞建寧,張莉

(1.蘭州文理學院 師范學院,甘肅 蘭州 730010; 2.蘭州交通大學 數(shù)理學院,甘肅 蘭州 730070;3.蘭州工業(yè)學院 基礎(chǔ)部，甘肅 蘭州 730050)

混沌研究是數(shù)學和物理學等學科的研究熱點之一，由于混沌系統(tǒng)具有極其復(fù)雜性和對初始值的敏感性，因此混沌在通信保密等領(lǐng)域得到了很好的應(yīng)用[1-3].研究者在對混沌產(chǎn)生機理進行研究時發(fā)現(xiàn)，有些混沌運動會對系統(tǒng)本身產(chǎn)生嚴重危害，甚至會導(dǎo)致災(zāi)難性后果[4]，因此混沌控制成為混沌研究領(lǐng)域的一個重要研究方向.文獻[4-6]提出了許多混沌控制方法,但這些混沌控制方法并沒形成較系統(tǒng)的控制理論.

對于實際系統(tǒng)而言，如何設(shè)計一種既簡單又快速達到混沌控制目的的控制器是研究混沌控制的重要方向.快速衰減性是小波函數(shù)的特點之一,文獻[7]表明采用小波函數(shù)構(gòu)造的非線性壓縮映射具有更有效的控制能力,使混沌系統(tǒng)能夠得到快速而有效的控制.含有理分式離散映射比一般離散映射具有更豐富的動力學行為[8],該映射在參數(shù)取適當值時處于混沌狀態(tài)，映射具有3個凹凸區(qū)域并含一個峰值.本文作者在分析含有理分式的一維映射動力學[9]時發(fā)現(xiàn)，該映射產(chǎn)生混沌道路是倍周期分岔通向混沌的過程.本文在此研究基礎(chǔ)上構(gòu)造了一個二維含有理分式離散系統(tǒng)，并對其動力學行為和控制結(jié)果進行了分析和驗證.

1 一維含有理分式離散映射模型

一個含有理分式離散映射的數(shù)學模型[8]描述為

(1)

其中參數(shù)p∈[-0.990,0.990],x∈[-10.002 5,10.002 5].當參數(shù)p在[-0.999 0,0.999 0]時發(fā)生變化,其系統(tǒng)對應(yīng)的Lyapunov指數(shù)譜與分岔圖如圖1和圖2所示，由此可知，當p∈[0.07,0.15]∪[0.25,0.35]∪[0.38,0.51]∪[0.57,0.62]∪[0.64,0.67]時,Lypunov指數(shù)λ>0,即離散系統(tǒng)(1)處于混沌狀態(tài).

圖1 一維離散映射Lyapunov指數(shù)譜

圖2 一維離散映射全局分岔圖

2 二維含有理分式離散系統(tǒng)模型的動力學分析

2.1 基于修正的Marotto定理的混沌分析

2005年，陳關(guān)榮[10]指出了Marotto定理中的錯誤，并給出了Marotto定理的修正定理:

現(xiàn)根據(jù)含有理分式的一維離散映射的研究，給出二維含有理分式的離散映射：

(2)

其中g(shù)1(xn,yn),g2(xn,yn)為耦合項.選取對稱二次耦合項g1(xn,yn)=g2(xn,yn)=rxnyn，即得具有對稱二次耦合項的二維有理分式的離散系統(tǒng)模型

(3)

定理2在系統(tǒng)(3)中，選擇參數(shù)p1=p2=0.5,r=0.11，則系統(tǒng)(3)的不動點是映射f的返回擴張不動點，即系統(tǒng)(3)在Li-Yorke意義下是混沌的.

證明運用Matlab軟件容易得到系統(tǒng)(3)的不動點，其中一個不動點為O1(13.632 8,13.632 8),其雅可比矩陣為

根據(jù)定理1，若x0∈Bq(O1)使f在x0某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)可微并滿足detDf(x0)≠0,detDf(x1)≠0，則不動點O1為f的返回擴張不動點,并且可直接驗證detDf(x0)=0.625 2≠0,detDf(x1)=-19.710 3≠0.

通過以上證明可知映射系統(tǒng)(3)在Li-Yorke意義下是混沌的.

2.2 二維含有理分式離散系統(tǒng)混沌道路的數(shù)值仿真

Lyapunov指數(shù)是衡量系統(tǒng)動力學特性的一個重要定量指標.當p1=p2=0.5，r∈[-0.1,0.15]和r∈[0.3,0.5]時，運用全局分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)譜，研究該二維有理分式離散映射動力學行為演化過程表明,隨著r的增大，該二維含有理分式離散映射通過倒倍周期分岔通向混沌道路，并具有比一維含有理分式離散映射更加豐富的動力學行為(圖3).

圖3 系統(tǒng)映射隨參數(shù)r變化的全局分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)譜

當r=0.11，p1=p2=p，p∈[-0.5,0.8]時，運用全局分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)譜，研究該二維有理分式離散系統(tǒng)動力學行為演化過程表明，隨著p的增大，該二維含有理分式離散映射通過倍周期分岔通向混沌道路(圖4).

圖4 系統(tǒng)映射隨參數(shù)p變化的全局分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)譜

3 二維含有理分式離散系統(tǒng)的混沌控制

3.1 小波函數(shù)變換控制法思想

文獻[7]指出小波變換可以控制系統(tǒng)的混沌，小波函數(shù)所構(gòu)造的非線性映射法簡單，只需設(shè)置一個控制開關(guān)，并且該構(gòu)造方法可對所構(gòu)造的壓縮映射進行改進,將壓縮映射施加于多個變量,使混沌系統(tǒng)得到更有效的控制.

(4)

3.2 混沌控制的數(shù)值仿真

圖5 二維離散混沌映射控制結(jié)果

4 結(jié)論

本文對含有理分式的一維離散映射的動力學行為進行了研究,運用全局分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜工具討論了該離散映射的運動狀態(tài),并得到了該映射混沌態(tài)的形成過程.同時,在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了二維含有理分式離散映射，運用最大Lyapunov指數(shù)譜和全局分岔圖研究了該二維有理分式離散映射的非線性耦合參數(shù)對該映射的影響，結(jié)果顯示該離散映射具有更加豐富的動力學行為,最后從理論和數(shù)值仿真兩個方面實現(xiàn)了小波變換映射壓縮法對該混沌映射的有效控制.

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