導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

廖仲益

自從導(dǎo)數(shù)加入中學(xué)數(shù)學(xué)教材，我們研究和解決函數(shù)等數(shù)學(xué)問(wèn)題便有了更加有效、簡(jiǎn)便的工具。結(jié)合歷年高考，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要表現(xiàn)在4個(gè)方面：①切線的斜率（導(dǎo)數(shù)的幾何意義）；②函數(shù)的單調(diào)性；③函數(shù)的極值；④函數(shù)的最值(不等式恒成立)。

導(dǎo)數(shù)一旦與函數(shù)、向量、解析幾何等結(jié)合起來(lái)，問(wèn)題的設(shè)計(jì)便更加廣闊。在近年高考中有不少精彩的題目，而且有些是壓軸題，在本文中，我將對(duì)“導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用”常見(jiàn)考題型作一些初步的探討。

一、對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的考查

例1若過(guò)原點(diǎn)作曲線y＝ex的切線，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為，切線的斜率為 。

解析y′＝ex，設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)則y0-x0＝ex0，即ey0-x0＝ex0，∴x0＝1。

因此切點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，e)，切線的斜率為e.這是考察求導(dǎo)法則，函數(shù)圖象與切線的關(guān)系及方程實(shí)根的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考察導(dǎo)數(shù)的幾何意義。這個(gè)高考中的基本題型。

二、判斷函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最基本的性質(zhì)之一，是我們研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識(shí)。它在中學(xué)數(shù)學(xué)中的用處是非常廣泛的，其思維方法有：①利用增（減）函數(shù)的定義判斷單調(diào)性；②導(dǎo)數(shù)法。利用在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在(a,b)上遞增（或遞減）的充要條件是f'(x)≥0（或f'(x)≤0），x∈(a,b)恒成立（但f'(x)在(a,b)的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0）。

方法一：化簡(jiǎn)較為繁瑣，比較適合解決抽象函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，而用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性既快捷又容易掌握，特別是對(duì)于具體函數(shù)更加適用。

例題2．設(shè)函數(shù)f(x)=x- 1-x-aln x(a∈R)．

（1）討論f(x)的單調(diào)性。

（2）若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1和x2，記過(guò)點(diǎn)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直線的斜率為k。問(wèn)：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

思路分析：先求導(dǎo)，通分后發(fā)現(xiàn)f′(x)的符號(hào)與a有關(guān)，應(yīng)對(duì)a進(jìn)行分類，依據(jù)方程的判別式來(lái)分類。

解析：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)． f'(x)＝1＋1-x2－a-x＝.

令g(x)＝x2－ax＋1，其判別式Δ＝a2－4.

①當(dāng)|a|≤2時(shí)，Δ≤0，f′(x)≥0.故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增。

②當(dāng)a＜－2時(shí)，Δ＞0，g(x)＝0的兩根都小于0.在(0，＋∞)上，f′(x)＞0.故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增。

③當(dāng)a＞2時(shí)，Δ＞0，g(x)＝0的兩根為x1＝，x2＝.

當(dāng)0＜x＜x1時(shí)，f′(x)＞0，當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x＞x2時(shí)，f′(x)＞0.故f(x)分別在(0，x1)，(x2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(x1，x2)上單調(diào)遞減。

（2）由（1）知，a＞2，因?yàn)閒(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋－a(ln x1－ln x2)，所以，k＝＝1＋－a·.又由（1）知，x1x2＝1，于是k＝2－a·.

若存在a，使得k＝2－a，則＝1.即ln x1－ln x2＝x1－x2.

由x1x2＝1得x2－1-x2－2ln x2＝0(x2＞1)．（*）

再由（1）知，函數(shù)h(t)＝t－1-t－2ln t在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，而x2＞1，所以x2－1-x2－2ln x2＞1－11－2 ln 1＝0.這與（*）式矛盾。故不存在a，使得k＝2－a。

點(diǎn)評(píng)：本題充分體現(xiàn)了分類討論思想.近幾年新課標(biāo)高考?？疾楹瑓?shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，難度中等偏上，考生最容易失分的就是對(duì)參數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)把握不準(zhǔn)，導(dǎo)致分類不全等情況。

三、求函數(shù)極值或最值

最值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，它涉及到了高中數(shù)學(xué)知識(shí)的各個(gè)方面，要解決這類問(wèn)題往往需要各種技能，并且需要選擇合理的解題途徑.用導(dǎo)數(shù)解決這類問(wèn)題可以使解題過(guò)程簡(jiǎn)化，步驟清晰，學(xué)生也好掌握。應(yīng)注意函數(shù)的極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系，極值是一個(gè)局部性概念，最值是某個(gè)區(qū)間的整體性概念。

例題3 已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點(diǎn)x＝1處的切線為l：

3x－y＋1＝0，若x＝2-3時(shí)，y＝f(x)有極值。

求a，b，c的值；求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值。

解析：（1）由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，當(dāng)x＝1時(shí)，切線l的斜率為3，可得2a＋b＝0.①

當(dāng)x＝2-3時(shí)，y＝f(x)有極值，則f′(2-3)＝0，可得4a＋3b＋4＝0.②

由①②解得a＝2，b＝－4.由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝1，∴f(1)＝4，

∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5.

∴a＝2，b＝－4，c＝5.

（2）由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，

∴f′(x)＝3x2＋4x－4，

令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2-3. 當(dāng)x變化時(shí)，y、y′的取值及變化如下表：

x -3 (-3，-2) -2 (-2,2-3) 2-3 ( 2-3,1) 1

y' + 0 - 0 +

y 8 單調(diào)遞增↗ 13 單調(diào)遞減↘ 95-27 單調(diào)遞增↗ 4

∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值為13，最小值為9527.

四、討論方程解的個(gè)數(shù)

例4 a∈R，討論關(guān)于x的方程lnx=ax的解的個(gè)數(shù)。

分析：這道題是屬于超越方程的問(wèn)題,直接求出x有一定的困難,因此可以利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)做.先作一條與曲線相切的直線y=kx，求出k的值；再根據(jù)a的取值范圍，討論方程lnx=ax的解的個(gè)數(shù)。

解：依題意可知，方程lnx=ax的解的個(gè)數(shù)就是直線y=ax與曲線y=lnx的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，設(shè)直線y=kx與曲線y=lnx相切于點(diǎn)P(t,lnt)則kt=lnt

∵(lnt)'= 1-t ∴1-t =k,kt=1=lnt ∴t=e,k= 1-e

由圖可知，原方程當(dāng)a≤0或a= 1-e時(shí)，有一個(gè)解；當(dāng)0 1-e時(shí)，無(wú)解。

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題涉及到很多內(nèi)容，以上僅僅討論了四個(gè)方面。還用于證明不等式恒等式等問(wèn)題，現(xiàn)在我們?cè)诟咧须A段學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，可以開(kāi)闊學(xué)生的視野，接觸到極限等新的數(shù)學(xué)思想和方法，對(duì)數(shù)學(xué)的新發(fā)展將會(huì)有進(jìn)一步的了解。同時(shí)，導(dǎo)數(shù)是我們研究中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)有力工具，可以解決許多問(wèn)題，使我們更加牢固的掌握中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，為我們進(jìn)一步的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。