靜電場中的唯一性定理

張 清，鄭贛鴻，戴振翔，馬永青

（安徽大學(xué) 物理與材料科學(xué)學(xué)院， 安徽 合肥230039）

靜電場中的唯一性定理

張 清，鄭贛鴻，戴振翔，馬永青

（安徽大學(xué) 物理與材料科學(xué)學(xué)院， 安徽 合肥230039）

唯一性定理是解決靜電磁場問題的重要理論依據(jù)，應(yīng)用構(gòu)造恰當(dāng)函數(shù)的技巧和一些數(shù)學(xué)運(yùn)算，從給定的邊界條件出發(fā)，本文給出了靜電場唯一性定理的證明，最后給出了唯一性定理關(guān)于靜電場實(shí)際問題的應(yīng)用舉例.

電動力學(xué)；唯一性定定理；邊界條件

靜電場中的唯一性定理是電動力學(xué)中的重要定理，在郭碩鴻的《電動力學(xué)》已經(jīng)給出非常清晰的證明.但是還是有必要對靜電場的唯一性定理給出一個(gè)統(tǒng)一的系統(tǒng)證明，為解決靜場問題提供理論依據(jù).本文從邊界條件出發(fā)，論證了唯一性定理的內(nèi)在邏輯的合理性，最后給出實(shí)例，深化了對唯一性定理的認(rèn)識.

1 靜電場邊界條件

對于介質(zhì)表面，用下標(biāo)i和j表示界面兩側(cè)，n表示界面法線方向的單位矢量，從i側(cè)指向j側(cè).σ0表示自由電荷面密度.則：

由于界面電場處處不發(fā)散的條件，界面兩側(cè)的電勢應(yīng)當(dāng)在界面上連續(xù).則上式可化為關(guān)于電勢的邊值關(guān)系：

2 靜電場唯一性定理的證明

2.1 區(qū)域內(nèi)無導(dǎo)體情形

若所研究的區(qū)域V可以均勻分區(qū)成若干的Vi，即：

每個(gè)均勻區(qū)域的電容率為εi，給定自由電荷分布ρ(x)，則φ滿足泊松方程：

區(qū)域內(nèi)兩個(gè)電解質(zhì)界面處σ0=0，因而

此外，給定V邊界S電勢分布φ|S=f或電勢在邊界上的方向?qū)?shù)

則：V內(nèi)的電場唯一確定，既滿足泊松方程及邊值關(guān)系的解是唯一的.

證明假設(shè)存在兩組不同的解φ1和φ2，且φ1和φ2都滿足泊松方程：

現(xiàn)構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)：φ=φ1-φ2

則在每個(gè)區(qū)域Vi內(nèi)：▽2φ=▽2φ1-▽2φ2=0

兩均勻區(qū)域界面滿足邊值關(guān)系：

在區(qū)域V邊界S上：

構(gòu)造區(qū)域Vi的界面Si上的面積分：

對所有Vi上的積分求和：

在兩均勻區(qū)域Vi和Vj的界面上，φ和ε▽φ的法向分量分別相等，而面積元dSi=-dSj；因此在內(nèi)部分界面上的積分互相抵消.在V邊界S上的積分，由于在上：

φ|S=φ1|S-φ2|S=0或

因?yàn)楸环e函數(shù)εi(▽φ)2≥0

則：▽φ=0φ1-φ2=const

因而，φ1和φ2至多相差一個(gè)常量，但電勢的附加量對電場沒有影響，即所得到的電場唯一確定.

2.2 區(qū)域內(nèi)有導(dǎo)體存在情形

區(qū)域V內(nèi)含導(dǎo)體的情形分兩種類型進(jìn)行討論.

設(shè)除去導(dǎo)體以后的區(qū)域?yàn)閂1，因此V1的邊界包括界面S以及每個(gè)導(dǎo)體的表面Si.設(shè)V1內(nèi)有給定的電荷分布，S上給定 φ|S或.同時(shí)給定每個(gè)導(dǎo)體上的電勢φi，即給出每個(gè)導(dǎo)體V1所有邊界上的 φ|S或值.對于此種情形，已經(jīng)證明.

第二種類型是：

給定各導(dǎo)體上總電荷Qi以及V邊界上的φ或值，則V內(nèi)電場唯一確定.

即：假設(shè)導(dǎo)體以外滿足泊松方程：

且在第i個(gè)導(dǎo)體上滿足

二是加快完善流域水利規(guī)劃體系。進(jìn)一步完善流域綜合規(guī)劃體系，海河流域綜合規(guī)劃獲得國務(wù)院批復(fù)，獨(dú)流減河口綜合整治規(guī)劃治導(dǎo)線調(diào)整報(bào)告、拒馬河流域綜合規(guī)劃通過水規(guī)總院審查，流域水中長期供求規(guī)劃、滹沱河、薊運(yùn)河、灤河等工程規(guī)劃取得階段性成果。

證明假設(shè)存在兩組不同的解φ1和φ2.且φ1和φ2都滿足泊松方程：

現(xiàn)構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)：φ=φ1-φ2

則在每個(gè)區(qū)域Vi內(nèi)：▽2φ=▽2φ1-▽2φ2=0

φ|s=0或

對于區(qū)域Vi構(gòu)造面積分：

面積分包括V的邊界S及每個(gè)導(dǎo)體表面Si上的積分.作為Vi上的邊界，Si的法線指向?qū)w內(nèi)部.在Si上的積分：

即▽φ=0φ1-φ2=const

可見，φ1和φ2只是相差一個(gè)常數(shù)，因此所得到的電場唯一確定.

綜合以上兩種情形，在給定的邊界條件下，滿足泊松方程及邊值關(guān)系的電場唯一確定.

3 結(jié)論

從靜場的角度論證電動力學(xué)中的唯一性定理已完成.在時(shí)變電場中論證唯一性定理和在運(yùn)動的參考系下即相對論情形下論證電磁張量的特定給定的邊界條件下的唯一性定理是今后進(jìn)一步的研究工作.

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O441.1

A

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