圓柱殼在徑向沖擊載荷作用下的動(dòng)力響應(yīng)

殷平化，孫昌將

(海軍蚌埠士官學(xué)校 機(jī)電系，安徽 蚌埠 233000)

圓柱殼在徑向沖擊載荷作用下的動(dòng)力響應(yīng)

殷平化，孫昌將

(海軍蚌埠士官學(xué)校 機(jī)電系，安徽 蚌埠 233000)

利用Hamilton原理得出軸向壓力和徑向沖擊載荷作用下圓柱殼位移的運(yùn)動(dòng)微分方程，推導(dǎo)方程的解析解。通過數(shù)值計(jì)算，分析圓柱殼的位移隨時(shí)間變化曲線，位移的幅頻曲線以及應(yīng)變隨時(shí)間變化曲線和幅頻曲線。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，圓柱殼的徑向和軸向位移要遠(yuǎn)大于周向位移；簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率為285 Hz，1 060 Hz，1 152 Hz，2 444 Hz，2 640 Hz，2 763 Hz，4 074 Hz時(shí)，徑向位移幅值取值最大；簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率為285 Hz時(shí)軸向位移幅值取值最大；簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率為4 074 Hz時(shí)軸向應(yīng)變幅值取得最大值；簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率為5 586 Hz，5 762 Hz，6 285 Hz時(shí)，周向應(yīng)變幅值取值最大。

圓柱殼；沖擊載荷；動(dòng)力響應(yīng)；軸向壓力

0 引 言

在工程實(shí)踐中，經(jīng)常會(huì)遇到復(fù)雜殼體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)問題。例如，超空泡體在水下高速航行的時(shí)候，一方面受到流體阻力和推進(jìn)力的作用，另外由于空泡形態(tài)的改變及運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，超空泡體的局部會(huì)與流體/空泡交界面發(fā)生接觸，因而產(chǎn)生沖擊作用。目前，對(duì)于復(fù)雜殼體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行理論分析的文章不多，更多的只是研究單純的軸向受力圓柱殼的穩(wěn)定性和振動(dòng)特性。例如文獻(xiàn)[1-3]根據(jù)Flügge，Sander，Love，Donnell方程，應(yīng)用模態(tài)疊加法推導(dǎo)出Mathieu方程，并利用三角級(jí)數(shù)對(duì)圓柱殼的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定特性進(jìn)行了分析，對(duì)不同幾何參數(shù)下的4種方程的結(jié)果進(jìn)行了比較。文獻(xiàn)[4]利用Flügge 殼體理論分析了正交各向異性圓柱殼在軸向壓力作用下的靜態(tài)屈曲和固定軸向力作用下的殼體振動(dòng)特性。文獻(xiàn)[5]利用Flügge 殼體理論分析了正交各向異性圓柱殼受到靜水壓力和某點(diǎn)受到徑向簡(jiǎn)諧載荷時(shí)的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng)。文獻(xiàn)[6]利用有限元方法研究了沖擊載荷作用下超空泡水下航行體的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。本文利用Hamilton原理導(dǎo)出圓柱殼在軸向壓力和徑向區(qū)域均勻分布載荷作用下關(guān)于位移運(yùn)動(dòng)微分方程，通過數(shù)值計(jì)算分析了圓柱殼的位移響應(yīng)和應(yīng)變響應(yīng)。

1 理論分析

圖1為本文所討論的圓柱殼的示意圖。

L為圓柱殼長(zhǎng)度，R為中面半徑,h為厚度，ρ為密度，彈性模量為E，μ為泊松比。P為軸向壓力。假定徑向簡(jiǎn)諧載荷fr(α,θ,t)=q0cosωbt均勻分布在2ε1×2ε2區(qū)域上，中心坐標(biāo)為(α0，θ0)。

圖1 受軸向靜力和徑向沖擊載荷圓柱殼示意圖Fig.1 The cylindrical shells subjected to axial compression and impact loads

根據(jù)Hamilton原理可以推導(dǎo)出圓柱殼受軸向壓力和徑向沖擊載荷下位移的運(yùn)動(dòng)微分方程式如下：

(1)

對(duì)于兩端簡(jiǎn)支的圓柱殼，邊界條件的表達(dá)式為

v=w=Nα=Mα=0,α=0,L。

故可設(shè)圓柱殼振動(dòng)的位移響應(yīng)為

(2)

將式(2)代入式(1)，并利用軸向靜壓力作用下圓柱殼的自由振動(dòng)方程可得：

(3)

式中，ωmnj為自由振動(dòng)頻率。應(yīng)用振型疊加法，將式(3)兩端分別乘Arsjcosrαcossθ，Brsjsinrαsinsθ，Crsjsinrαcossθ， 在圓柱殼邊界上積分，然后相加，利用振型正交條件可得如下方程：

(4)

其中：

BmnjsinλαsinnθBrsjsinrαsinsθ+

CmnjsinλαcosnθCrsjsinrαcossθ)Rdαdθ=

解微分方程式(4)可得：

(5)

(6)

將式(6)代入式(2)可計(jì)算出殼體的位移，利用式(7)計(jì)算出殼體的應(yīng)變：

(7)

引入無量綱因子：

(8)

2 算例分析

本文以一個(gè)圓柱殼受軸向壓力和徑向沖擊載荷的動(dòng)力響應(yīng)為例，選取鋁質(zhì)材料。圓柱殼參數(shù)E=71 GPa，ρ=2 700 kg/m3，泊松比ν=0.3，h=0.006 m，R=0.105 m，L=2.8 m。圓柱殼軸向壓力P=17 320 N，ε1= 0.01×L，ε2= 0.1 π，α0=0.1L，θ0= 0.25 π，q0=10 000 N，ωb=1 000。

利用式(2)和式(7)可計(jì)算出本節(jié)圓柱殼的位移和應(yīng)變響應(yīng)。式(2)右端級(jí)數(shù)項(xiàng)的取值范圍為m=1，2，…M；n=1，2，…N。M，N取不同值時(shí)殼體位移的大小如表1所示。

表1給出了m，n取值不同時(shí)，殼體位移的收斂情況。由表1可知，以上3種情況位移的誤差很小，因而收斂，故在如下計(jì)算中，均取m=1～40，n=1～40。

表1 M，N的取值對(duì)位移u，v，w的影響

對(duì)于力的作用中心點(diǎn)(α0,θ0)處的位移響應(yīng)和應(yīng)變響應(yīng)，計(jì)算結(jié)果如圖2～圖10所示。

2.1 位移響應(yīng)

圖2 w～t曲線Fig.2 Curve of w～t

圖3 u～t曲線Fig.3 Curve of u～t

圖4 v～t曲線Fig.4 Curve of v～t

圖2～圖4給出了圓柱殼在3個(gè)方向的位移響應(yīng)。由圖可知，殼體在軸向和徑向的位移響應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于在其周向上的位移響應(yīng)。

圖5和圖6給出了t=0.06 s時(shí)刻軸向、徑向位移的幅頻曲線。從圖5可以看出：徑向位移幅值在Ω2取0.00122，0.01692，0.02，0.09，0.105，0.115，0.25時(shí)取得峰值，由式(8)和ω=2πf可知激勵(lì)頻率取285 Hz，1 060 Hz，1 152 Hz，2 444 Hz，2 640 Hz，2 763 Hz，4 074 Hz。同樣從圖6可看出：Ω2取0.001 22，頻率為285 Hz時(shí)軸向位移幅值最大。由此可知，徑向位移和軸向位移的峰值所對(duì)應(yīng)的頻率并不能完全對(duì)應(yīng)起來，激起徑向位移峰值的頻率并不一定能激起軸向位移取得峰值。

圖5 |w|～Ω2Fig.5 Radial displacement response

圖6 |u|～Ω2Fig.6 Axial displacement responses

2.2 應(yīng)變響應(yīng)

圖7 εα～t曲線Fig.7 Curve ofεα～t

圖8 |εα|～Ω2Fig.8 Axial strain responses

圖9 εθ～t曲線Fig.9 Curve ofεθ～t

圖10 |εθ|～Ω2Fig.10 Median strain responses

圖7和圖9給出了εα和εθ隨時(shí)間的變化曲線，圖8和圖10給出了相應(yīng)的幅頻曲線。從圖8可看出，Ω2取0.25，頻率為4 074 Hz時(shí)，εα取值最大。從圖10可看出，Ω2取0.47，0.5，0.595，頻率為5 586 Hz，5 762 Hz，6 285 Hz時(shí)，εθ取最大值。

3 結(jié) 語

本文用解析方法，通過數(shù)值計(jì)算，分析了受軸向靜壓力和徑向沖擊載荷作用下圓柱殼的位移和應(yīng)變響應(yīng)，得到如下結(jié)論：

1)殼體在軸向和徑向的位移響應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于在其周向上的位移響應(yīng)。

2)簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率285Hz,1 060 Hz，1 152 Hz，2 444 Hz，2 640 Hz，2 763 Hz，4 074 Hz時(shí)，徑向位移取最大值；簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率為285 Hz時(shí)軸向位移取值最大；

3)簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率為4 074 Hz時(shí)軸向應(yīng)變?nèi)〉米畲笾?；?jiǎn)諧激勵(lì)頻率為5 586 Hz，5 762 Hz，6 285 Hz時(shí)，周向應(yīng)變?nèi)≈底畲蟆?/p>

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[5] 李學(xué)斌.正交各向異性圓柱殼的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng)分析[J].船舶力學(xué)，2007，11(1):79-87.

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Dynamical response analysis of cylindrical shells subjected to impact loads

YIN Ping-hua，SUN Chang-jiang

(Bengbu Naval Officer School,Department of Mechanical and Electrical Engineering,Bengbu 233000,China)

The differential equations of motion for cylindrical shells under axial compression and impact loads are derived by use of Hamilton′s theorem，and the analysis solution of the equations have been obtained。The variation curve of the displacement-time and the displacement-frequency have been analyzed by numerical calculation, and also the variation curve of strain-time and strain-frequency have been studied。The numerical calculation results show that the radial displacement response is the greatest when the harmonic response frequency are 285 Hz，1 060 Hz，1 152 Hz，2 444 Hz，2 640 Hz，2 763 Hz，4 074 Hz; The axial displacement response is the greatest when the harmonic response frequency is 285 Hz; The axial strain response is the greatest when the harmonic response frequency is 4 074 Hz; The radial strain response is the greatest when the harmonic response frequency are 5 586 Hz，5 762 Hz，6 285 Hz.

cylindrical shell；impact loads；dynamical response；axial compression

2012-05-15；

2014-04-14

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10772196)

殷平化(1986-)，男，碩士，助理講師，研究方向?yàn)榕炌ЫY(jié)構(gòu)與安全。

O343

A

1672-7649(2014)07-0020-04

10.3404/j.issn.1672-7649.2014.07.004