基于點(diǎn)光源的邁克耳孫干涉實(shí)驗(yàn)條紋的機(jī)理分析

李賢芳 李建青 馬爭(zhēng)爭(zhēng) 余靈鳳

（武漢理工大學(xué)物理系，湖北 武漢 430070）

在一般大學(xué)物理的教材［1，2］中，只介紹了以平行平面薄膜的等傾或等厚的分振幅型干涉，類似地，在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教材［3］中，也只是介紹了通過等傾干涉所產(chǎn)生的圓條紋現(xiàn)象的觀察及相應(yīng)的物理量的測(cè)量.然而，邁克耳孫干涉儀可以調(diào)制出橢圓和雙曲線干涉條紋，但其條紋形成的理論推導(dǎo)很少涉及.本文將根據(jù)點(diǎn)光源雙光束干涉理論對(duì)邁克耳孫干涉儀各種不同形狀條紋產(chǎn)生的機(jī)理進(jìn)行理論分析和比較.

1 點(diǎn)光源雙波場(chǎng)的雙葉雙曲面的形成［4］

如圖1所示，令P（x，y，z）為干涉場(chǎng)中一考察點(diǎn)，S1，S2為兩初相位相同，相距為d，強(qiáng)度相等的兩相干點(diǎn)光源.則在真空中有光程差：

圖1 雙光束干涉的幾何關(guān)系示意圖

整理后得方程

由于Δ≤d，由解析幾何知，這是以S1，S2為焦點(diǎn)，以x軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面，如圖2所示.d為定量，則每一Δ值對(duì)應(yīng)兩個(gè)對(duì)稱的相應(yīng)曲面，雙葉雙曲面的幾何意義是該曲面上任意一點(diǎn)至兩焦點(diǎn)的距離差為一常數(shù)點(diǎn)的軌跡，而對(duì)于P到S1，S2的距離差為常數(shù)的物理意義正是“光程差恒定”之意，故該組雙葉雙曲面正是等光程差曲面，顯然，x＝0時(shí)，對(duì)應(yīng)光程差Δ＝0.

圖2 兩點(diǎn)光源的等光程差曲面

2 接收屏上干涉條紋的幾何形狀及形成條件

因?yàn)镾1，S2兩光源的光強(qiáng)相等，則干涉條紋就是一族等光程差線，若用接收屏（如毛玻璃）接收，實(shí)質(zhì)上就是接收屏與等光程差曲面相交的截線，下面討論幾種典型的干涉條紋形狀.

2.1 接收屏上雙曲線條紋的形成條件

顯然，當(dāng)接收屏為z＝D平面時(shí)，干涉條紋為z＝D平面與等光程曲面的交線，故有

解此方程組，得到

這是一組雙曲線方程，所以z＝D平面上的干涉條紋呈雙曲線規(guī)律分布.由于旋轉(zhuǎn)雙曲面是對(duì)x軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的，因此在任一與x軸（兩點(diǎn)光源連線）平行的平面上，其干涉條紋皆為雙曲線形狀.若接收屏離O點(diǎn)足夠遠(yuǎn)，即且P點(diǎn)在z軸附近（近軸條件），此時(shí)可將z＝D代入光程差公式（1）并用二項(xiàng)式定理展開，忽略高次項(xiàng)有

所以有

條紋間距

這是一些平行于y軸的直線，故在z＝D屏面上在滿足近軸條件的情形下，得到的干涉條紋是一族平行于y軸的等距分布的直線干涉條紋（此即近軸條件下，雙光束干涉得到平行等距干涉條紋的由來）.

2.2 接收屏上圓形條紋的形成條件

同理，在接收屏為x＝D平面上（與S1，S2兩光源連線垂直平面）

整理得

顯然，這是一組以x＝D平面與x軸交點(diǎn)為圓心的一族同心圓，故此時(shí)x＝D平面截得的條紋形狀為一族同心圓環(huán)形條紋，k為圓環(huán)半徑.當(dāng)x＝0時(shí)（yOz平面），該平面上任意點(diǎn)的光程差皆為零，此時(shí)光強(qiáng)最大，故該接收屏被均勻照明.

2.3 接收屏上橢圓條紋形成的條件

當(dāng)接收屏不在上述位置時(shí).設(shè)接收屏的法線在xOy屏面上，法線與接收屏相交于x0，y0，法線與x軸成θ角，在接收屏上?。╩，z′），如圖3，x，y，z坐標(biāo)與接收屏上得m，z′坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

將式（6）代入式（2）即得此接收屏與等光程差曲面截線在m，z坐標(biāo)系中的方程.代入得

這是一個(gè)m，z′坐標(biāo)上的二次曲線的方程，根據(jù)解析幾何知識(shí)，當(dāng)z′2與m2的系數(shù)同號(hào)時(shí)，則曲線為一橢圓，將該式展開整理可得m2的系數(shù)為，現(xiàn)z′2項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)值（d≥Δ），故橢圓出現(xiàn)的條件為，即

如不滿足此條件，則接收屏上得到的是雙曲線干涉條紋.綜合以上情況，點(diǎn)光源雙光束干涉條紋的形狀隨屏幕位置變化的規(guī)律用圖像表示為（圖4）.

3 邁克耳孫干涉實(shí)驗(yàn)條紋的分析［5，6］

3.1 邁克耳孫干涉實(shí)驗(yàn)原理

圖5是邁克耳孫干涉儀的等效光路圖，設(shè)M′2與之間的距離為，氦氖激光器中發(fā)出的平行光經(jīng)透鏡（擴(kuò)束鏡）L匯聚得點(diǎn)光源S，S經(jīng)AB膜反射成鏡像于S1，S1再經(jīng) M1和 M′2成鏡像于S′1，S′2；由幾何光學(xué)知識(shí)可知S′2與S′1之間的距離為d.因?yàn)镾′1，S′2分別來自于同一光源S，故S′1與S′2是相干的.此時(shí)，邁克耳孫干涉儀的干涉條紋可以等效看成是由 S′1，S′2產(chǎn)生的干涉，這樣，用激光照明的干涉儀，就等效為兩個(gè)單色點(diǎn)光源S′1與S′2的干涉.

圖4 條紋形狀隨接收屏位置的變化

圖5 邁克耳孫干涉儀等效光路圖

圖6 等傾干涉光程差分析圖

3.2 邁克耳孫干涉儀的各種條紋的形成條件

由前面分析可知，對(duì)于兩點(diǎn)光源產(chǎn)生的雙光束干涉，接收屏上干涉條紋的形狀將隨著接收屏與產(chǎn)生干涉的兩相干點(diǎn)光源連線的相對(duì)位置的改變而改變.對(duì)于邁克耳孫干涉儀，接收屏的位置是固定在一個(gè)方位上，且S′1，S′2的連線位置是由 M1與M′2的相對(duì)位置決定，此時(shí)要獲得不同形狀干涉條紋，只能改變M1與M′2的相對(duì)位置.

1）圓條紋的形成條件

當(dāng)激光束垂直于M1，且M′2與M1平行，此時(shí)接收屏垂直于S′1與S′2的連線，接收屏接收到的為一束同心圓環(huán)型條紋，即等傾干涉，其光程差分析如圖6.

將此式用二項(xiàng)式定理展開得

該光程差公式表明，在 M′2與 M1平行的條件下，即d一定，光程差只與φ有關(guān)，此為等傾干涉.

2）直條紋的形成條件

當(dāng)M1與M2到分光板G1的距離近乎相等，即M′2與M1相交（膜厚趨于零），且兩者有微小夾角時(shí)，M1與 M′2將形成兩個(gè)對(duì)頂?shù)目諝馀?，如圖7所示，此時(shí)S′1與S′2的連線基本上與接收屏平行，則接收到的條紋中間是直線，兩邊呈對(duì)稱分布的雙曲線.因?yàn)檫~克耳孫干涉儀的接收屏很小，基本滿足近軸條件，所以實(shí)際接收到的是近乎直線的條紋.這種情況通常說成是等厚干涉.

3）橢圓或雙曲線條紋的形成條件

當(dāng)M′2與M1不平行且不相交，（膜厚較大，遠(yuǎn)大于λ）如圖8，因?yàn)镸′2與M1之間有較厚的空氣層，此時(shí)S′1與S′2的連線與接收屏既不平行也不垂直，接收屏得到的是如圖8所示的橢圓或雙曲線條紋.很明顯此種干涉情況既非等傾也非等厚.對(duì)于實(shí)際情況，因?yàn)楦缮鎯x中的接收屏視場(chǎng)很小，所以觀察到的只是橢圓或雙曲線的一部分，有時(shí)候難得判斷是橢圓還是雙曲線，但是根據(jù)干涉原理，可以判斷曲線條紋的彎曲方向.原因是：如果M1與M′2的距離較大（即d較大），則φ的微小變化將引起Δ的較大變化，故條紋與等厚線的偏離程度增大，這時(shí)條紋將發(fā)生彎曲，彎曲的方向是凸向楔棱（M1與M′2延伸面的相交線）.如圖9所示.

圖7 直線與雙曲線條紋

圖8 邁克耳孫干涉儀既非等傾也非等厚的干涉

圖9 干涉條紋偏離等厚線

曲線干涉條紋凸向楔棱的原因定性分析是：干涉條紋是等光程差線，當(dāng)入射光并非平行光時(shí)，對(duì)于傾角較大的入射光束，它所對(duì)應(yīng)的光程差若與傾角較小的入射光束對(duì)應(yīng)的光程差相等，應(yīng)以平板厚度的增大來補(bǔ)償，這一點(diǎn)從光程差公式Δ＝2×cosφ可以看出.因靠近楔形板邊緣的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的入射角較大，因此，干涉條紋越靠近邊緣越偏離到厚度更大的地方，所以在厚板的情況下光束入射角的變化將引起光程差較大的變化，這樣條紋的彎曲將顯露出來.

4 結(jié)語(yǔ)

邁克耳孫干涉圖樣較多，通過以上的分析討論，理解每一種圖樣產(chǎn)生的原因，掌握等傾干涉與等厚干涉的條件，對(duì)學(xué)生掌握邁克耳孫干涉儀的應(yīng)用及快速準(zhǔn)確地調(diào)試，減少測(cè)量誤差將有很大的幫助.

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