理想氣體熱力學(xué)過(guò)程吸放熱情況的圖像判斷法

鄭明陽(yáng) 王天為 張國(guó)鋒

（1北京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，北京 100191；2北京航空航天大學(xué)物理科學(xué)與核能工程學(xué)院，北京 100191）

在本科生熱學(xué)課程中，講完熱力學(xué)第一定律后，按教學(xué)要求，需要學(xué)生掌握熱力學(xué)過(guò)程的吸熱或放熱情況，只有會(huì)判斷一個(gè)熱力學(xué)過(guò)程的吸放熱情況，才能準(zhǔn)確地計(jì)算循環(huán)過(guò)程中的效率、制冷系數(shù)等等.如何非常簡(jiǎn)便地判斷一個(gè)熱力學(xué)過(guò)程的吸放熱情況是至關(guān)重要的.

壓強(qiáng)－體積（p－V）圖上的任意一條曲線，都代表一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程；反之，任意一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程，也都可以用p－V圖上的一條曲線表示.因此，可借助p－V圖來(lái)研究任何準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程的吸放熱情況.熱力學(xué)中的4種最基本過(guò)程（等溫、等壓、等體、絕熱）都可以概括為一個(gè)多方過(guò)程：pVn＝常數(shù)，n為多方指數(shù).n＝0時(shí)為等壓過(guò)程，n＝1時(shí)為等溫過(guò)程，n＝γ（γ絕熱比）時(shí)為絕熱過(guò)程，n＝∞時(shí)為等體過(guò)程.對(duì)于一般的熱力學(xué)準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程，雖然不能夠用一個(gè)多方過(guò)程來(lái)替代，但對(duì)于該過(guò)程曲線上的任意一個(gè)無(wú)限小的微元過(guò)程，都可以看作一個(gè)多方過(guò)程的一小部分.因此對(duì)準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程任一微元過(guò)程吸放熱的研究，可以通過(guò)研究用以擬合該微元過(guò)程的多方過(guò)程吸放熱來(lái)判斷，即研究該多方過(guò)程熱容的正負(fù).

熱力學(xué)過(guò)程整體吸放熱的情況，可以由該過(guò)程的各個(gè)微元過(guò)程相加得到.但事實(shí)上，對(duì)于整體過(guò)程吸放熱的研究，并不需要像研究微觀過(guò)程那樣仔細(xì)，而是可以在p－V圖上借助等溫線和絕熱線比較曲線所圍面積的大小得到.

本文第一部分將討論理想氣體熱力學(xué)準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程任意微小過(guò)程吸放熱的判斷，第二部分介紹判斷理想氣體熱力學(xué)過(guò)程整體吸放熱的作圖方法.

1 理想氣體熱力學(xué)曲線上任意微元過(guò)程吸放熱的研究

1.1 多方過(guò)程的摩爾熱容

以下研究理想氣體系統(tǒng).由熱力學(xué)第一定律可以得到，對(duì)于任意一個(gè)微小的熱力學(xué)過(guò)程，其熱量變化為

在兩邊分別除以νdT，并利用V＝νVm關(guān)系，則有

對(duì)于多方過(guò)程，有TVn－1＝常量，兩邊求全微分得

再在兩邊除以dT，得

由該式可得Cn，m隨n值變化情況如圖1所示.

圖1 多方熱容在p－V圖上的曲線

1.2 不同n值時(shí)無(wú)限小微元過(guò)程吸放熱的討論

根據(jù)多方過(guò)程n的不同取值，對(duì)無(wú)限小微元過(guò)程吸放熱情況分以下5種情況討論：

（1）當(dāng)n＞γ時(shí)，Cn，m＞0，如圖2所示，虛線為絕熱線，AB在絕熱線下方，AC在絕熱線上方.當(dāng)該過(guò)程沿著A→B方向時(shí)，dT＜0，＝νCn，mdT＜0，為放熱過(guò)程；當(dāng)該過(guò)程沿著A→C方向時(shí)，dT＞0，＝νCn，mdT＞0，為吸熱過(guò)程.

圖2 n＞γ時(shí)的判斷方法

（2）當(dāng)n＝γ時(shí)，Cn，m＝0，為絕熱過(guò)程.

（3）當(dāng)1＜n＜γ時(shí)，Cn，m＜0.如圖3所示，虛線為絕熱線，AB在絕熱線上方，AC在絕熱線下方，曲線CAB夾在等溫線與絕熱線之間.該過(guò)程沿著A→B 方向時(shí)，dT＜0，＝νCn，mdT＞0，為吸熱過(guò)程；當(dāng)該過(guò)程沿著A→C方向時(shí)，dT＞0，＝νCn，mdT＜0，為放熱過(guò)程.

圖3 1＜n＜γ時(shí)的判斷方法

（4）當(dāng)n＝1時(shí)，該過(guò)程為等溫過(guò)程，如圖4.內(nèi)能變化dU＝0，虛線為絕熱線，AB在絕熱線上方，AC在絕熱線下方，＝dU＋＝.A→B過(guò)程系統(tǒng)對(duì)外做正功，＞0；A→C過(guò)程外界對(duì)系統(tǒng)做正功＜0.

圖4 n＝1時(shí)的判斷方法

（5）當(dāng)n＜1時(shí)，Cn，m＞0.如圖5所示，虛線為絕熱線，AB在絕熱線、等溫線上方.AC在絕熱線、等溫線下方.當(dāng)該過(guò)程沿著A→B方向時(shí)，dT＞0，＝νCn，mdT＞0，為吸熱過(guò)程；當(dāng)該過(guò)程沿著A→C方向時(shí)，dT＜0＝νCn，mdT＜0，為放熱過(guò)程.

圖5 n＜1時(shí)的判斷方法

1.3 準(zhǔn)靜態(tài)微元過(guò)程吸放熱的分析歸納

對(duì)情況（1）的A→B 過(guò)程，情況（3）、（4）、（5）的A→C過(guò)程可知，從絕熱線上任一點(diǎn)出發(fā)的微元過(guò)程，如果該過(guò)程曲線在絕熱線下方，那么該過(guò)程對(duì)外放熱；對(duì)情況（1）的A→C過(guò)程，情況（3）、（4）、（5）的A→B過(guò)程可知，從絕熱線上任一點(diǎn)出發(fā)的微元過(guò)程，如果該過(guò)程曲線在絕熱線上方，那么該過(guò)程從外界吸熱.

以上討論的微元過(guò)程，微元曲線或在絕熱線上方，或在絕熱線下方，即曲線斜率始終小于或大于絕熱線斜率.由于絕熱線彼此平行，因此沿曲線前進(jìn)的過(guò)程中，曲線依次穿過(guò)彼此平行的絕熱線，即曲線始終與絕熱線相交.

如果曲線某段與某條絕熱線相接觸后折回，如圖6：A→B→C過(guò)程，此時(shí)熱力學(xué)曲線與某條絕熱線相切與B點(diǎn)，A→B過(guò)程在絕熱線1下方，對(duì)外放熱，B→C過(guò)程在絕熱線2上方，吸收熱量，而B點(diǎn)就是吸放熱恰好發(fā)生轉(zhuǎn)變的位置.

圖6 曲線某段與某條絕熱線相接觸后折回吸、放熱判斷方法

1.4 小結(jié)

經(jīng)過(guò)以上分析歸納可得：從絕熱線上任一點(diǎn)出發(fā)的微元過(guò)程，如果該過(guò)程曲線在絕熱線下方，那么該過(guò)程對(duì)外放熱；如果該過(guò)程曲線在絕熱線上方，那么該過(guò)程從外界吸熱.如果沿曲線前進(jìn)的過(guò)程中曲線不斷穿過(guò)彼此平行的絕熱線，則吸放熱情況不變，當(dāng)且僅當(dāng)曲線與某條絕熱線相切時(shí)，吸放熱情況恰好在切點(diǎn)處發(fā)生變化.

2 理想氣體熱力學(xué)過(guò)程整體吸放熱的判斷

2.1 任意理想氣體熱力學(xué)過(guò)程整體吸放熱的判斷

在分析了微觀過(guò)程即某點(diǎn)的吸放熱情況之后，下面討論如何根據(jù)p－V圖像來(lái)判斷某一個(gè)過(guò)程的吸放熱情況.比如圖7中的A－B－C過(guò)程.

如圖7所示，AE，AD分別為過(guò)初始狀態(tài)點(diǎn)A的等溫線和絕熱線，由熱力學(xué)第一定律得

圖7 任意的一個(gè)熱力學(xué)過(guò)程

其中，WAC在數(shù)值上等于曲線AC與橫軸所夾面積SAC.下面求ΔUAC.過(guò)C點(diǎn)做絕熱線交等溫線AE于點(diǎn)A′，則A點(diǎn)與A′點(diǎn)在同一條等溫線上.因?yàn)閮?nèi)能是一個(gè)狀態(tài)函數(shù)，所以有

又因?yàn)锳′C過(guò)程沿絕熱線，則

想客人之所想，急客人之所急，往往是企業(yè)樹立良好形象的關(guān)鍵。恰到好處的個(gè)性化服務(wù)能使顧客真切感受到酒店的關(guān)懷，體會(huì)到酒店以顧客利益為重，這樣友好、周到的酒店形象便可深入人心。

將式（8）和式（9）代入式（7）得

同樣，WA′C在數(shù)值上等于曲線A′C與橫軸所夾面積SA′C.

因此，欲判斷AC過(guò)程吸放熱情況，只需比較AC曲線和A′C曲線與橫軸所夾面積SAC和SA′C大小.

如果SAC＜SA′C，該過(guò)程放熱；如果SAC＞SA′C，該過(guò)程吸熱；如果SAC＝SA′C，就整體而言，該過(guò)程即不吸熱也不放熱.

這樣一來(lái)，就把熱力學(xué)吸放熱問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較區(qū)域面積大小，因此只要知道了p－V圖上所需區(qū)域的面積，吸放熱情況就隨之確定下來(lái).

值得說(shuō)明的是，上述提到的判斷熱力學(xué)過(guò)程整體吸放熱的方法是一個(gè)通用方法，可以適用于任何熱力學(xué)過(guò)程.但對(duì)于一些比較特殊的熱力學(xué)曲線，我們還可以通過(guò)其他一些比較簡(jiǎn)便的方法來(lái)判斷其吸放熱情況.

2.2 特殊的熱力學(xué)過(guò)程整體吸放熱情況判斷

（1）熱力學(xué)曲線在絕熱線一側(cè)體積膨脹時(shí)吸放熱的討論（以下推導(dǎo)均假設(shè)p（V）是V的單值函數(shù)）

我們過(guò)初始狀態(tài)點(diǎn)1做一條絕熱線，在絕熱線p0（V）上取一點(diǎn)2，使?fàn)顟B(tài)2與要研究的末狀態(tài)3是等體關(guān)系，如圖8所示.

圖8 熱力學(xué)曲線在絕熱線一側(cè)體積膨脹時(shí)吸放熱的討論

理想氣體的內(nèi)能U是一個(gè)狀態(tài)量，內(nèi)能的變化只與初末狀態(tài)有關(guān)，與過(guò)程無(wú)關(guān)，即有下式

又根據(jù)公式

得到

對(duì)于絕熱過(guò)程有Q12＝0，又因?yàn)閂2＝V3，所以式（13）可以寫為

Q13的符號(hào)取決于這兩項(xiàng)：

情況1：當(dāng)曲線p（V）一直在曲線p0（V）上方，即p（V）－p0（V）恒大于零時(shí)，且點(diǎn)3不在點(diǎn)2的下方，可知Q23≥0，進(jìn)而Q13＞0，該過(guò)程吸熱；

情況2：當(dāng)曲線p（V）一直在曲線p0（V）下方，即p（V）－p0（V）恒小于零時(shí)，且點(diǎn)3不在點(diǎn)2的上方，可知Q23≤0，進(jìn)而Q13＜0，該過(guò)程放熱.

所以，當(dāng)熱力學(xué)曲線不穿過(guò)初始狀態(tài)的絕熱線時(shí)，可以從圖像上直接看出該過(guò)程吸放熱的情況.

（2）熱力學(xué)曲線末狀態(tài)在過(guò)初始狀態(tài)的等溫線上方的情況

當(dāng)熱力學(xué)曲線穿過(guò)了過(guò)初始狀態(tài)的絕熱線時(shí)，根據(jù)情況（1）中的推導(dǎo)，該過(guò)程的吸放熱情況是無(wú)法根據(jù)上述方法（1）來(lái)確定的.但是，當(dāng)熱力學(xué)曲線末狀態(tài)在過(guò)初始狀態(tài)的等溫線上方時(shí)，如圖9所示：

AE為過(guò)初始狀態(tài)點(diǎn)A的等溫線，末狀態(tài)點(diǎn)C在AE上方.由熱力學(xué)第一定律：

圖9 熱力學(xué)曲線末狀態(tài)在過(guò)初始狀態(tài)的等溫線上方

QAC＝ΔUAC＋WAC以及ΔUAC＞0和WAC＞0得QAC＞0，即該狀態(tài)吸熱.所以，即便所研究過(guò)程的熱力學(xué)曲線穿過(guò)了過(guò)初狀態(tài)的絕熱線，只要當(dāng)末狀態(tài)在過(guò)初狀態(tài)的等溫線的上方時(shí)，該過(guò)程一定是吸熱的.

3 結(jié)語(yǔ)

經(jīng)過(guò)以上討論可以得出如下結(jié)論：任何一個(gè)熱力學(xué)準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程，都可以通過(guò)研究其p－V圖像來(lái)判斷其吸放熱情況.

對(duì)熱力學(xué)曲線上任意一小段微元過(guò)程的研究，可按如下方式進(jìn)行判斷：

從絕熱線上一點(diǎn)出發(fā)的無(wú)窮小微元過(guò)程，如果該微元過(guò)程曲線在絕熱線下方，那么該過(guò)程對(duì)外放熱；如果該過(guò)程曲線在絕熱線上方，那么該過(guò)程從外界吸熱.如果沿曲線前進(jìn)的過(guò)程中曲線不斷穿過(guò)彼此平行的絕熱線，則吸放熱情況不變，當(dāng)且僅當(dāng)曲線與某條絕熱線相切時(shí)，吸放熱情況恰好在在切點(diǎn)處發(fā)生變化.

對(duì)于熱力學(xué)過(guò)程整體吸放熱的研究可通過(guò)借助圖像面積得到（見圖7）：設(shè)初始狀態(tài)A沿著曲線到末狀態(tài)C，過(guò)C點(diǎn)做絕熱線交過(guò)A點(diǎn)的等溫線于點(diǎn)A′，設(shè)AC曲線和A′C曲線與橫軸所夾面積分別為SAC和SA′C，當(dāng)SAC＜SA′C，該過(guò)程放熱；當(dāng)SAC＞SA′C該過(guò)程吸熱；當(dāng)SAC＝SA′C，就整體而言，該過(guò)程既不吸熱也不放熱.

另外對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的熱力學(xué)過(guò)程可直接看出其吸放熱情況.

［1］ 劉玉鑫.大學(xué)物理通用教程 熱學(xué)［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2002：121－157.

［2］ 嚴(yán)子浚.判斷熱力過(guò)程吸熱與放熱的一種簡(jiǎn)便方法［J］.物理與工程，2002（3）：16－18.

［3］ 秦允豪.普通物理學(xué)教程 熱學(xué)［M］.3版.北京：高等教育出版社，2011.