蒙特卡羅方法模擬計算圓周率

彭滔　魏雷陽

摘要：蒙特卡羅方法是一種新型計算方法，它需要真實的隨機數(shù)，在統(tǒng)計學方面有強有力的應用，隨著高性能計算機變得越來越便宜，此方面變得愈發(fā)普遍，該文通過設計一個隨機試驗，建立pi值與試驗次數(shù)的聯(lián)系方程，使用R語言來模擬計算PI值。

關鍵詞：蒙特卡羅方法；隨機模擬；R語言

中圖分類號：TP311 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2014）17-4038-02

A New Way to Compute Simulately PI with Monte Carlo Method in R Language

PENG Tao， WEI Lei-yang

（Sanya Polythenic College， Sanya 572022， China）

Abstract： Monte Carlo methods is a new way of computational algorithms， basically Monte Carlo simulation methods require truly random numbers ， Monte Carlo is a powerful numerical technique useful for solving problems especially in statistics. When high-speed computers becomes cheap，the method has gained in importance and popularity，when a circle with its bounding square is drawn，let randomly generate a point in the squre， the probability that the point falls in the circle is circle area /square area = PI/4，we can get pi from the equation.We finish the stochastic simulation with R language in the article.

Key words： Monte Carlo methods； stochastic simulation； R languange

1 蒙特卡羅方法簡介

蒙特卡羅方法是一種隨機模擬方法，以概率和統(tǒng)計理論方法為基礎，使用隨機數(shù)（或更常見的偽隨機數(shù)）來解決計算問題的方法。其早期的雛形存在于17-18世紀，1777年法國數(shù)學家普豐（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投針實驗的方法求圓周率π，統(tǒng)計史上稱為普豐投針問題。

在平面上畫有一組間距為a的平行線，將一根長度為l（l

p=2l/（πa） π為圓周率。

幾個世紀以來，先后有無數(shù)人重復了這個試驗，比較有名氣的試驗見下表。

該方法的簡要步驟概括如下：

1）根據(jù)概率論或統(tǒng)計理論建立一個數(shù)學模型（方程、等式或不等式）

2）以人工試驗的方法進行大量的重復工作，記錄每次試驗的結果

3）利用概率的統(tǒng)計定義，歸納全部試驗結果，從已經建立的模型中，解出研究對象的數(shù)值。

由于該方法涉及大量的手工試驗，在計算機技術沒有發(fā)展之前，缺乏推廣，導致使用受限。

20世紀40年代美國在第二次世界大戰(zhàn)中，為了研制原子彈，力推“曼哈頓計劃”，該計算的成員S.M.烏拉姆和J.馮·諾伊曼結合當時已有的計算技術，重新推出這種統(tǒng)計模擬計算方法，他們以馳名世界的賭城—摩納哥的Monte Carlo—來命名這種方法，蒙特卡羅方法。該方法與普豐投針時代的做法完全類似，同樣可以分解成3個計算步驟（或成為算法），唯一的區(qū)別在于，用編寫的計算機程序自動運行，取代了手工試驗的方式，該方法結合了計算的強大運行能力，產生了良好的效果，在金融工程學，宏觀經濟學，生物醫(yī)學，計算物理學（如粒子輸運計算、量子熱力學計算、空氣動力學計算、核工程）等領域應用廣泛。

蒙特卡洛方法適用范圍很廣泛，它既能求解確定性的問題，也能求解隨機性的問題以及科學研究中的理論問題.例如利用蒙特卡洛方法可以近似地計算定積分，即產生數(shù)值積分問題。

2 蒙特卡羅算法

我們根據(jù)現(xiàn)有的計算技術，重新整理蒙特卡羅算法，并用R語言實現(xiàn)一個簡單的莫特卡羅模擬，計算出圓周率。

假定有個半徑是1的圓，這個圓有個外接的正方形，換句話說：這個單位圓內接于一個邊長為2的正方形，我們截取1/4 個圓周，在這個區(qū)域內，隨機繪制點，圓內的點用紅點標示，園外的點（仍舊在正方形內）用綠點標示，總計做了n次試驗，每次產生一個點，共有n1個點（紅點）在園內（含正好落在圓周上），n2個點（綠點）在園外，n1+n2=n，如何計算圓周率？

園內的紅點/所有的點=圓的面積/正方形的面積=PI*r*r/（2*r）*（2*r）

PI=4*圓內的紅點/所有的點=4*圓內的紅點/總試驗次數(shù)

3 R語言實現(xiàn)

根據(jù)上面的方程，我們可以用R語言編制計算程序。

設計一個可以重復使用的函數(shù)，參數(shù)表示試驗次數(shù)，由于對稱性，只需考慮1/4個圓周即可，我們取第一象限作為研究對象，每次試驗在0，1內隨機產生一個x值，一個y值，一對（x，y）構成一個點，每個點如果滿足x^2 +y^2 <= 1，表明它落在園內，園內的計數(shù)增加1。通過for循環(huán)完成上面的步驟。

getpi <- function（number）{

0 → count

for（ i in 1：number）{ #用循環(huán)進行計算

runif（1，0，1） → x #產生隨機數(shù)

runif（1，0，1） → y #產生隨機數(shù)

if （x^2 +y^2 <= 1 ） count <- count+1 } #判斷點的位置

return（4*count/number） } #返回計算結果

getpi（1000） 模擬1000次試驗

[1] 3.104

getpi（100000） 模擬100000次試驗

[1] 3.14268

至此，我們用R語言演示了構造整個蒙特卡洛模擬的過程，得到了PI的近似值，由于程序使用的是偽隨機數(shù)，計算精度受到一定影響，現(xiàn)代信息技術可以利用數(shù)學思想進行高效率的實現(xiàn)，避免手工試驗的低效枯燥，R語言聊聊7行完成這樣一個算法，其編程的效率令人震驚，R語言是最強大的統(tǒng)計計算工具。

參考文獻：

[1] 陳希孺.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2009.

[2] MBA智庫百科[EB/OL].http：//wiki.mbalib.com/wiki/蒙特卡羅方法?.

[3] R語言 R： A Language and Environment for Statistical Computing Vienna， Austria 2013[EB/OL].http：//www.R-project.org/.

摘要：蒙特卡羅方法是一種新型計算方法，它需要真實的隨機數(shù)，在統(tǒng)計學方面有強有力的應用，隨著高性能計算機變得越來越便宜，此方面變得愈發(fā)普遍，該文通過設計一個隨機試驗，建立pi值與試驗次數(shù)的聯(lián)系方程，使用R語言來模擬計算PI值。

關鍵詞：蒙特卡羅方法；隨機模擬；R語言

中圖分類號：TP311 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2014）17-4038-02

A New Way to Compute Simulately PI with Monte Carlo Method in R Language

PENG Tao， WEI Lei-yang

（Sanya Polythenic College， Sanya 572022， China）

Abstract： Monte Carlo methods is a new way of computational algorithms， basically Monte Carlo simulation methods require truly random numbers ， Monte Carlo is a powerful numerical technique useful for solving problems especially in statistics. When high-speed computers becomes cheap，the method has gained in importance and popularity，when a circle with its bounding square is drawn，let randomly generate a point in the squre， the probability that the point falls in the circle is circle area /square area = PI/4，we can get pi from the equation.We finish the stochastic simulation with R language in the article.

Key words： Monte Carlo methods； stochastic simulation； R languange

1 蒙特卡羅方法簡介

蒙特卡羅方法是一種隨機模擬方法，以概率和統(tǒng)計理論方法為基礎，使用隨機數(shù)（或更常見的偽隨機數(shù)）來解決計算問題的方法。其早期的雛形存在于17-18世紀，1777年法國數(shù)學家普豐（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投針實驗的方法求圓周率π，統(tǒng)計史上稱為普豐投針問題。

在平面上畫有一組間距為a的平行線，將一根長度為l（l

p=2l/（πa） π為圓周率。

幾個世紀以來，先后有無數(shù)人重復了這個試驗，比較有名氣的試驗見下表。

該方法的簡要步驟概括如下：

1）根據(jù)概率論或統(tǒng)計理論建立一個數(shù)學模型（方程、等式或不等式）

2）以人工試驗的方法進行大量的重復工作，記錄每次試驗的結果

3）利用概率的統(tǒng)計定義，歸納全部試驗結果，從已經建立的模型中，解出研究對象的數(shù)值。

由于該方法涉及大量的手工試驗，在計算機技術沒有發(fā)展之前，缺乏推廣，導致使用受限。

20世紀40年代美國在第二次世界大戰(zhàn)中，為了研制原子彈，力推“曼哈頓計劃”，該計算的成員S.M.烏拉姆和J.馮·諾伊曼結合當時已有的計算技術，重新推出這種統(tǒng)計模擬計算方法，他們以馳名世界的賭城—摩納哥的Monte Carlo—來命名這種方法，蒙特卡羅方法。該方法與普豐投針時代的做法完全類似，同樣可以分解成3個計算步驟（或成為算法），唯一的區(qū)別在于，用編寫的計算機程序自動運行，取代了手工試驗的方式，該方法結合了計算的強大運行能力，產生了良好的效果，在金融工程學，宏觀經濟學，生物醫(yī)學，計算物理學（如粒子輸運計算、量子熱力學計算、空氣動力學計算、核工程）等領域應用廣泛。

蒙特卡洛方法適用范圍很廣泛，它既能求解確定性的問題，也能求解隨機性的問題以及科學研究中的理論問題.例如利用蒙特卡洛方法可以近似地計算定積分，即產生數(shù)值積分問題。

2 蒙特卡羅算法

我們根據(jù)現(xiàn)有的計算技術，重新整理蒙特卡羅算法，并用R語言實現(xiàn)一個簡單的莫特卡羅模擬，計算出圓周率。

假定有個半徑是1的圓，這個圓有個外接的正方形，換句話說：這個單位圓內接于一個邊長為2的正方形，我們截取1/4 個圓周，在這個區(qū)域內，隨機繪制點，圓內的點用紅點標示，園外的點（仍舊在正方形內）用綠點標示，總計做了n次試驗，每次產生一個點，共有n1個點（紅點）在園內（含正好落在圓周上），n2個點（綠點）在園外，n1+n2=n，如何計算圓周率？

園內的紅點/所有的點=圓的面積/正方形的面積=PI*r*r/（2*r）*（2*r）

PI=4*圓內的紅點/所有的點=4*圓內的紅點/總試驗次數(shù)

3 R語言實現(xiàn)

根據(jù)上面的方程，我們可以用R語言編制計算程序。

設計一個可以重復使用的函數(shù)，參數(shù)表示試驗次數(shù)，由于對稱性，只需考慮1/4個圓周即可，我們取第一象限作為研究對象，每次試驗在0，1內隨機產生一個x值，一個y值，一對（x，y）構成一個點，每個點如果滿足x^2 +y^2 <= 1，表明它落在園內，園內的計數(shù)增加1。通過for循環(huán)完成上面的步驟。

getpi <- function（number）{

0 → count

for（ i in 1：number）{ #用循環(huán)進行計算

runif（1，0，1） → x #產生隨機數(shù)

runif（1，0，1） → y #產生隨機數(shù)

if （x^2 +y^2 <= 1 ） count <- count+1 } #判斷點的位置

return（4*count/number） } #返回計算結果

getpi（1000） 模擬1000次試驗

[1] 3.104

getpi（100000） 模擬100000次試驗

[1] 3.14268

至此，我們用R語言演示了構造整個蒙特卡洛模擬的過程，得到了PI的近似值，由于程序使用的是偽隨機數(shù)，計算精度受到一定影響，現(xiàn)代信息技術可以利用數(shù)學思想進行高效率的實現(xiàn)，避免手工試驗的低效枯燥，R語言聊聊7行完成這樣一個算法，其編程的效率令人震驚，R語言是最強大的統(tǒng)計計算工具。

參考文獻：

[1] 陳希孺.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2009.

[2] MBA智庫百科[EB/OL].http：//wiki.mbalib.com/wiki/蒙特卡羅方法?.

[3] R語言 R： A Language and Environment for Statistical Computing Vienna， Austria 2013[EB/OL].http：//www.R-project.org/.

摘要：蒙特卡羅方法是一種新型計算方法，它需要真實的隨機數(shù)，在統(tǒng)計學方面有強有力的應用，隨著高性能計算機變得越來越便宜，此方面變得愈發(fā)普遍，該文通過設計一個隨機試驗，建立pi值與試驗次數(shù)的聯(lián)系方程，使用R語言來模擬計算PI值。

關鍵詞：蒙特卡羅方法；隨機模擬；R語言

中圖分類號：TP311 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2014）17-4038-02

A New Way to Compute Simulately PI with Monte Carlo Method in R Language

PENG Tao， WEI Lei-yang

（Sanya Polythenic College， Sanya 572022， China）

Abstract： Monte Carlo methods is a new way of computational algorithms， basically Monte Carlo simulation methods require truly random numbers ， Monte Carlo is a powerful numerical technique useful for solving problems especially in statistics. When high-speed computers becomes cheap，the method has gained in importance and popularity，when a circle with its bounding square is drawn，let randomly generate a point in the squre， the probability that the point falls in the circle is circle area /square area = PI/4，we can get pi from the equation.We finish the stochastic simulation with R language in the article.

Key words： Monte Carlo methods； stochastic simulation； R languange

1 蒙特卡羅方法簡介

蒙特卡羅方法是一種隨機模擬方法，以概率和統(tǒng)計理論方法為基礎，使用隨機數(shù)（或更常見的偽隨機數(shù)）來解決計算問題的方法。其早期的雛形存在于17-18世紀，1777年法國數(shù)學家普豐（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投針實驗的方法求圓周率π，統(tǒng)計史上稱為普豐投針問題。

在平面上畫有一組間距為a的平行線，將一根長度為l（l

p=2l/（πa） π為圓周率。

幾個世紀以來，先后有無數(shù)人重復了這個試驗，比較有名氣的試驗見下表。

該方法的簡要步驟概括如下：

1）根據(jù)概率論或統(tǒng)計理論建立一個數(shù)學模型（方程、等式或不等式）

2）以人工試驗的方法進行大量的重復工作，記錄每次試驗的結果

3）利用概率的統(tǒng)計定義，歸納全部試驗結果，從已經建立的模型中，解出研究對象的數(shù)值。

由于該方法涉及大量的手工試驗，在計算機技術沒有發(fā)展之前，缺乏推廣，導致使用受限。

20世紀40年代美國在第二次世界大戰(zhàn)中，為了研制原子彈，力推“曼哈頓計劃”，該計算的成員S.M.烏拉姆和J.馮·諾伊曼結合當時已有的計算技術，重新推出這種統(tǒng)計模擬計算方法，他們以馳名世界的賭城—摩納哥的Monte Carlo—來命名這種方法，蒙特卡羅方法。該方法與普豐投針時代的做法完全類似，同樣可以分解成3個計算步驟（或成為算法），唯一的區(qū)別在于，用編寫的計算機程序自動運行，取代了手工試驗的方式，該方法結合了計算的強大運行能力，產生了良好的效果，在金融工程學，宏觀經濟學，生物醫(yī)學，計算物理學（如粒子輸運計算、量子熱力學計算、空氣動力學計算、核工程）等領域應用廣泛。

蒙特卡洛方法適用范圍很廣泛，它既能求解確定性的問題，也能求解隨機性的問題以及科學研究中的理論問題.例如利用蒙特卡洛方法可以近似地計算定積分，即產生數(shù)值積分問題。

2 蒙特卡羅算法

我們根據(jù)現(xiàn)有的計算技術，重新整理蒙特卡羅算法，并用R語言實現(xiàn)一個簡單的莫特卡羅模擬，計算出圓周率。

假定有個半徑是1的圓，這個圓有個外接的正方形，換句話說：這個單位圓內接于一個邊長為2的正方形，我們截取1/4 個圓周，在這個區(qū)域內，隨機繪制點，圓內的點用紅點標示，園外的點（仍舊在正方形內）用綠點標示，總計做了n次試驗，每次產生一個點，共有n1個點（紅點）在園內（含正好落在圓周上），n2個點（綠點）在園外，n1+n2=n，如何計算圓周率？

園內的紅點/所有的點=圓的面積/正方形的面積=PI*r*r/（2*r）*（2*r）

PI=4*圓內的紅點/所有的點=4*圓內的紅點/總試驗次數(shù)

3 R語言實現(xiàn)

根據(jù)上面的方程，我們可以用R語言編制計算程序。

設計一個可以重復使用的函數(shù)，參數(shù)表示試驗次數(shù)，由于對稱性，只需考慮1/4個圓周即可，我們取第一象限作為研究對象，每次試驗在0，1內隨機產生一個x值，一個y值，一對（x，y）構成一個點，每個點如果滿足x^2 +y^2 <= 1，表明它落在園內，園內的計數(shù)增加1。通過for循環(huán)完成上面的步驟。

getpi <- function（number）{

0 → count

for（ i in 1：number）{ #用循環(huán)進行計算

runif（1，0，1） → x #產生隨機數(shù)

runif（1，0，1） → y #產生隨機數(shù)

if （x^2 +y^2 <= 1 ） count <- count+1 } #判斷點的位置

return（4*count/number） } #返回計算結果

getpi（1000） 模擬1000次試驗

[1] 3.104

getpi（100000） 模擬100000次試驗

[1] 3.14268

至此，我們用R語言演示了構造整個蒙特卡洛模擬的過程，得到了PI的近似值，由于程序使用的是偽隨機數(shù)，計算精度受到一定影響，現(xiàn)代信息技術可以利用數(shù)學思想進行高效率的實現(xiàn)，避免手工試驗的低效枯燥，R語言聊聊7行完成這樣一個算法，其編程的效率令人震驚，R語言是最強大的統(tǒng)計計算工具。

參考文獻：

[1] 陳希孺.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2009.

[2] MBA智庫百科[EB/OL].http：//wiki.mbalib.com/wiki/蒙特卡羅方法?.

[3] R語言 R： A Language and Environment for Statistical Computing Vienna， Austria 2013[EB/OL].http：//www.R-project.org/.