用圖形說話 讓代數(shù)現(xiàn)形

羅東源

【中圖分類號(hào)】G633.3 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）05-0132-01

空間觀念其本質(zhì)是幾何直觀。幾何直觀能力是利用圖形生動(dòng)形象地描述數(shù)學(xué)問題，直觀地反映和揭示思考、討論問題的思路，揭示豐富多彩的數(shù)學(xué)思想?！坝脠D形說話”，用圖形描述問題，用圖形討論問題，在中學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直觀能力，是新教材的要求，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的要求。以下是本人培養(yǎng)學(xué)生空間觀察和幾何直觀的幾點(diǎn)做法。

一、巧用多媒體，演示幾何直觀

多媒體教學(xué)的顯著特色是它的直觀性，讓學(xué)生突破視覺的限制。多媒體演示圖文聲像并茂，多角度調(diào)動(dòng)學(xué)生的情緒、注意力和興趣。由于它具有動(dòng)態(tài)性，有利于揭示解決問題的過程，能引導(dǎo)學(xué)生全程主動(dòng)參與，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)空間問題產(chǎn)生探究的興趣。

例如：在直線L上同側(cè)有C、D兩點(diǎn)，在直線L上要求找一點(diǎn)M，使它對(duì)C、D兩點(diǎn)的張角最大。本題的解不能一眼就看出。這時(shí)利用多媒體課件演示動(dòng)畫去引導(dǎo)學(xué)生：假設(shè)動(dòng)點(diǎn)M在直線L上從左向右逐漸移動(dòng)，并隨時(shí)觀察∠α的變化，可發(fā)現(xiàn)：開始是張角極小，隨著M點(diǎn)的右移，張角逐漸增大，當(dāng)接近K點(diǎn)（該點(diǎn)是CD所在直線與直線L的交點(diǎn)）時(shí)，張角又逐漸變?。ǖ搅薑點(diǎn)，張角等于0）。于是初步猜想，在這兩個(gè)極端情況之間一定存在一點(diǎn)M，它對(duì)C、D兩點(diǎn)所張角最大。如果結(jié)合圓弧的圓周角的知識(shí)，便可進(jìn)一步猜想：過C、D兩點(diǎn)所作圓○與直線L相切，切點(diǎn)M即為所求。然而，過C、D兩點(diǎn)且與直線L相切的圓是否只有一個(gè)，我們還需要再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生猜想。這樣隨著猜想的不斷深入，學(xué)生的創(chuàng)造性動(dòng)機(jī)被有效地激發(fā)出來，空間思維能力得到較好的培養(yǎng)。

二、“數(shù)”與“形”結(jié)合，讓抽象直觀化

數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué)，它的研究對(duì)象主要是“數(shù)”與“形”。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非。”“數(shù)”與“形”反映了事物兩個(gè)方面的屬性。所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想。

幾何直觀是數(shù)形結(jié)合思想的最好體現(xiàn)。通過圖形的直觀性質(zhì)來闡明數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，實(shí)現(xiàn)代數(shù)問題與圖形之間的互相轉(zhuǎn)化，相互滲透，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟了條重要的途徑。

例如：公路MN和公路PQ在點(diǎn)

P處交匯，公路PQ上點(diǎn)A處有一所

學(xué)校，點(diǎn)A到公路MN的距離為80m

。現(xiàn)有一拖拉機(jī)在公路MN上以18

千米/小時(shí)的速度沿PQ方向行駛,拖

拉機(jī)行駛時(shí)周圍100m以內(nèi)都受到噪

聲影響,試問該校受影響的時(shí)間為多少秒？

分析：（1）要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校A，實(shí)質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m, 小于100m則受影響，大于100m則不受影響，并且影響學(xué)校的條件是在其周圍100m以內(nèi)。

（2）要求出學(xué)校受影響的時(shí)間，實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對(duì)學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校。

鑒于以上分析，我們大體知道影響學(xué)校的區(qū)域是以A為圓心100m為半徑的一個(gè)區(qū)域，對(duì)于拖拉機(jī)在這個(gè)過程中可以抽象成一個(gè)點(diǎn)，從而可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)“點(diǎn)與圓的位置關(guān)系”的一個(gè)題目，由此畫出幾何圖形。

從這個(gè)例子可以看出，把復(fù)雜的問題通過幾何圖形展示出來，借助幾何直觀進(jìn)行教學(xué)，可以形象生動(dòng)地展現(xiàn)問題的本質(zhì)，有助于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，有機(jī)滲透數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，提升學(xué)生的空間思維能力。

三、折疊圖形，顯現(xiàn)幾何直觀

在圖形和幾何的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直觀非常重要。因?yàn)樗粌H是一個(gè)核心概念，而且還是培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形的一種方法和思維方式。在圖形和幾何的教學(xué)中，以圖形為核心，以問題為支撐，以思考為導(dǎo)向，可讓學(xué)生形成一種認(rèn)識(shí)事物的能力。

折疊問題的實(shí)質(zhì)是圖形的軸對(duì)稱變換，折疊突出了軸對(duì)稱的應(yīng)用。所以在解決有關(guān)的折疊問題時(shí)可以充分運(yùn)用軸對(duì)稱的思想和軸對(duì)稱的性質(zhì)。

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可以得到：折疊重合部分一定全等，折痕所在直線就是這兩個(gè)全等形的對(duì)稱軸；互相重合兩點(diǎn)（對(duì)稱點(diǎn)）之間的連線必被折痕垂直平分；對(duì)稱兩點(diǎn)與對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)連接所得的兩條線段相等；對(duì)稱線段所在的直線與對(duì)稱軸的夾角相等。在解題過程中要充分運(yùn)用以上結(jié)論，借助輔助線構(gòu)造直角三角形，結(jié)合相似形、銳角三角函數(shù)等知識(shí)來解決有關(guān)折疊問題，可以使得解題思路更加清晰，解題步驟更加簡潔。

例如：已知矩形紙片ABCD，AB=2，AD=1，將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合。

（1）如果折痕FG分別與AD、AB交于F、G（如圖①），AF=■，求DE的長；

（2）如果折痕FG分別與CD、AB交于F、G（如圖②），△AED的外接圓與直線BC相切，求折痕FG的長。

本題須把折疊問題轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問題，利用勾股定理和相似求出未知線段，最后把所求的線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中去處理，抓住圖形之間位置關(guān)系，從點(diǎn)、線、面三個(gè)方面入手，分析其中變化的和不變的量，以及圖形中的數(shù)量關(guān)系；把握折疊的變化規(guī)律，挖掘出圖形的幾何性質(zhì)，將其中的數(shù)量關(guān)系用方程的形式表達(dá)出來，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)合理、有序、全面地解決問題。這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生識(shí)別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力和綜合解決問題的能力都極為有效。

四、尺規(guī)作圖，實(shí)踐幾何直觀

圖形是幾何的靈魂，識(shí)圖、作圖更是學(xué)習(xí)幾何最基本的素養(yǎng)。作圖是促進(jìn)圖形直觀化的手段之一。對(duì)于直觀化，教育者往往走入誤區(qū)：認(rèn)為只要反復(fù)接觸實(shí)物，反復(fù)揣摩模型，在學(xué)生頭腦中建立起固定的空間映象，睹形而思物，依物而解形。筆者認(rèn)為，這并不是便捷的手段，過分地依賴實(shí)物，不利于學(xué)生空間觀念的盡快形成。而作圖正是聯(lián)系實(shí)物和圖形的一道橋梁，通過作圖實(shí)踐，可使學(xué)生主動(dòng)地體會(huì)實(shí)物和圖形之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，直觀地感知作圖結(jié)果（圖形）的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及各元素的實(shí)際意義。當(dāng)學(xué)生能把變形了的（平面）圖形的內(nèi)部結(jié)構(gòu)讀懂，并賦之以實(shí)際的空間意義以后，圖形的直觀效果也就顯現(xiàn)出來了。

例如：在∠MON內(nèi)求一點(diǎn)P，使點(diǎn)

P到∠MON兩邊的距離相等，且PA=PB。

學(xué)生經(jīng)分析易發(fā)現(xiàn)：到角兩邊距離相等的

點(diǎn)P在這個(gè)角的平分線上；點(diǎn)P也在連接

A與B這兩點(diǎn)的線段的垂直平分線上。由

此當(dāng)然得到結(jié)論：∠MON的平分線與線

段AB的垂直平分線相交的點(diǎn)即為點(diǎn)P。這樣，學(xué)生在作圖過程中，腦子里也在構(gòu)建圖形，把空間思維與實(shí)踐操作結(jié)合，使空間觀念的培養(yǎng)融于直觀幾何的描繪中，相得益彰。

綜上所述，如何幫助學(xué)生建立幾何直觀，培養(yǎng)空間觀念。第一要充分發(fā)揮圖形給帶來的好處。第二，要讓學(xué)生養(yǎng)成畫圖的好習(xí)慣。第三，重視變換，讓圖形動(dòng)起來，把握?qǐng)D形與圖形之間的關(guān)系。第四，要讓學(xué)生的頭腦中留住些圖形。注重引導(dǎo)學(xué)生把生活中對(duì)圖形的感受與有關(guān)知識(shí)建立聯(lián)系，只有讓學(xué)生積極主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)，才能更好地掌握?qǐng)D形特征，形成空間觀念。