英國(guó)：直抵知識(shí)本質(zhì)的數(shù)學(xué)課堂

陸曉林

在唐彩斌和張影合著的《零距離英國(guó)教育》一書(shū)中提出了這樣的觀點(diǎn)，“英國(guó)的天氣最適合英國(guó)”，“中國(guó)的經(jīng)驗(yàn)也最適合中國(guó)”，“新鮮并不意味著先進(jìn)，人家常用也不意味著對(duì)我們有用，某些方面的延后絕不意味著落后，某些方面的不習(xí)慣并不是一種錯(cuò)誤”。當(dāng)筆者成為江蘇省首批赴英國(guó)研修學(xué)習(xí)的小學(xué)數(shù)學(xué)教師，得以零距離觀察英國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂時(shí)，這種體會(huì)才愈加深刻。走出國(guó)門(mén)對(duì)比中外數(shù)學(xué)教育，根本目的在于反觀、檢視自己的不足，在借鑒中前行和發(fā)展，揚(yáng)長(zhǎng)避短、正本清源，這應(yīng)該是我們的基本態(tài)度。

相同的運(yùn)算，不同的智慧

計(jì)算教學(xué)是小學(xué)階段的主要教學(xué)內(nèi)容，20以內(nèi)的整數(shù)加減法則是學(xué)生掌握進(jìn)位加和退位減方法的關(guān)鍵起步。在曼城，我有機(jī)會(huì)觀摩了一節(jié)20以內(nèi)的退位減的隨堂課，感受頗深。

在計(jì)算“13-8”時(shí)，英國(guó)老師用學(xué)具擺出13和8，一一對(duì)應(yīng)（如圖1）；之后讓孩子們討論并操作，先在8后加上2使之成為10（如圖2），然后再對(duì)應(yīng)上面13繼續(xù)擺出3，用2加3得5，算出13-8的結(jié)果（如圖3）。接著孩子們繼續(xù)借助學(xué)具用一一對(duì)應(yīng)的方法練習(xí)了幾道題，最后交流了自己計(jì)算的心得：先想減數(shù)加幾湊成10，再用幾加上被減數(shù)的個(gè)位數(shù)。課后與任教老師交流，得知英國(guó)教材版本有上百種，教師按照國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，參照一些主流教材自主安排教學(xué)內(nèi)容。據(jù)介紹，英國(guó)“退位減”的教材編寫(xiě)和教師教學(xué)基本上都是“用加算減”。

我們的退位減是怎樣教學(xué)的呢？以蘇教版教材為例（如圖4），13-9主要有這樣幾種計(jì)算方法：一是從13里一個(gè)一個(gè)地減；二是“破十法”，先用10-9，再算1+3；三是將13-9轉(zhuǎn)化為連減13-3-6；四是直接“想加算減”。教學(xué)中，往往是先由學(xué)生分別列舉出幾種方法，然后引導(dǎo)比較，優(yōu)化算法（實(shí)則是優(yōu)選出教材與老師先驗(yàn)認(rèn)定的最佳普適方法）。通過(guò)強(qiáng)化練習(xí)，一段時(shí)間后學(xué)生們幾乎都用“想加算減”的方法了。

表面看，中英兩種方法沒(méi)有什么大的不同，都是利用加減互逆關(guān)系進(jìn)行減法計(jì)算，但運(yùn)用方法的本質(zhì)是不同的。他們用一一對(duì)應(yīng)的方法，使兩個(gè)數(shù)（量）的“差”顯現(xiàn)在不對(duì)應(yīng)之處，在實(shí)現(xiàn)完全一一對(duì)應(yīng)的過(guò)程中，也就是由不相等到相等的變化過(guò)程中得出了“差”，突出了“減數(shù)+差=被減數(shù)”即“左邊=右邊”這樣的相等關(guān)系，強(qiáng)化了“=”的本質(zhì)：符號(hào)兩邊的數(shù)（量）相等，這對(duì)學(xué)生將來(lái)理解方程的意義是極其重要的。

我們的方法是從總數(shù)中取出（去除）一部分（事實(shí)上，一次性取出一部分都可以回歸為一個(gè)一個(gè)地連續(xù)取，看剩余的部分，即把總數(shù)分成兩部分：已知的部分和剩余的部分。直觀上是“數(shù)的分成”，最終是用“算術(shù)公理體系”的“后繼關(guān)系”來(lái)解釋自然數(shù)加法及其逆運(yùn)算的。簡(jiǎn)言之，一種是基于對(duì)應(yīng)的思想，強(qiáng)調(diào)的是“數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系”，一種是基于自然數(shù)定義的思想，彰顯的是“數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生”，相同的減法，不同的智慧。

“用加算減”看似有點(diǎn)傻瓜式、不夠快捷，“想加算減”主要是通過(guò)熟練記憶數(shù)的大小關(guān)系、數(shù)的分成來(lái)篩選和提取計(jì)算結(jié)果，顯得快捷有效。但相對(duì)而言，基于定義自然數(shù)的方法解釋運(yùn)算是抽象的，也沒(méi)能說(shuō)清楚“相等”的意義到底是什么。所以當(dāng)我們的學(xué)生開(kāi)始學(xué)習(xí)方程時(shí)，由“算術(shù)思維”轉(zhuǎn)換為“代數(shù)思維”會(huì)有一個(gè)艱難的過(guò)程。

繁復(fù)的過(guò)程，直白的聯(lián)系

在英國(guó)，沒(méi)有公開(kāi)課、研討課等形式的教研活動(dòng)。曼城城市大學(xué)應(yīng)我們的要求專(zhuān)門(mén)邀請(qǐng)了兩位英國(guó)老師帶著自己的學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)上了兩節(jié)課，搞了一場(chǎng)“中國(guó)式”的教研活動(dòng)。其中一節(jié)課教學(xué)內(nèi)容是“一位數(shù)除兩位數(shù)”。

這節(jié)課，我們感興趣的是英國(guó)老師對(duì)除法計(jì)算方法的教學(xué)。因?yàn)闆](méi)有類(lèi)似“九九乘法口訣表”這樣的知識(shí)與技能背景，英國(guó)的除法計(jì)算直接回歸本原——連減法（如圖5）。在計(jì)算87÷3時(shí)，教師借助于學(xué)具操作來(lái)演示說(shuō)明具體的算法：先從87中減10個(gè)3，再減10個(gè)3，最后減9個(gè)3，一共可以連減29個(gè)3。具體計(jì)算時(shí)，每一次減幾個(gè)除數(shù)可以不同，計(jì)算步驟可多可少，只要減到余數(shù)為0便可（不能整除的減到余數(shù)小于除數(shù)為止）。

雖然計(jì)算的過(guò)程和豎式的書(shū)寫(xiě)顯得有些瑣碎，但從自然數(shù)中“包含”的意義看，除法是“連續(xù)減去相同數(shù)的減法”，凸顯了除法與減法的“血肉”聯(lián)系。這樣計(jì)算的過(guò)程不受“余數(shù)要比除數(shù)小”的限制，計(jì)算除數(shù)是多位數(shù)的除法時(shí)，無(wú)需反復(fù)“試商”與“調(diào)商”。繁復(fù)的豎式，卻直白地說(shuō)明了兩種運(yùn)算之間的本質(zhì)聯(lián)系，巧妙規(guī)避了我們?cè)诮虒W(xué)中一定會(huì)遇到的難題。

這樣計(jì)算87÷3，如果從“等分”的意義上去理解，每份先分10個(gè)，再分10個(gè)，最后分9個(gè)，即一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)、順次輪流分3份，一輪分掉3個(gè)、可以連續(xù)分29輪?！暗确帧迸c“包含”本質(zhì)上是統(tǒng)一的，即3行29列與29行3列的問(wèn)題。

我們的除法教學(xué)沒(méi)有立足于除法與減法的聯(lián)系。仍以蘇教版教材為例，二年級(jí)上冊(cè)教材先從“等分”、“包含”兩層意義上教學(xué)除法的初步認(rèn)識(shí)，然后用逆運(yùn)算的關(guān)系借助乘法口訣求商，教材中雖然沒(méi)有給出明確的除法定義，但沿襲了從運(yùn)算的互逆關(guān)系來(lái)定義除法的傳統(tǒng)，除法是“已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)運(yùn)算”。在解決問(wèn)題、進(jìn)行除法計(jì)算時(shí)，乘法口訣始終是不離不棄的拐杖。我們的除法豎式簡(jiǎn)潔明了且高度統(tǒng)一，同樣也能解讀出“除法即連減”這樣的關(guān)系，但學(xué)生甚至教師幾乎不會(huì)在豎式計(jì)算的過(guò)程中感悟到除法與相同減數(shù)減法的內(nèi)在一致性。

在計(jì)算中，中國(guó)式的口訣朗朗上口，漢語(yǔ)言文字的優(yōu)勢(shì)非常明顯。用口訣計(jì)算，濃縮甚至是消除了“過(guò)程”，但濃縮并非都是精華，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精華就是要讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的“過(guò)程”。筆者認(rèn)為，中英數(shù)學(xué)教學(xué)如同中西方飲食一般，西方人多吃“生”，消化難一些、慢一些，但營(yíng)養(yǎng)損失得少；中國(guó)人多吃“熟”，消化、吸收得快，營(yíng)養(yǎng)打了折扣。我們現(xiàn)在也強(qiáng)調(diào)“過(guò)程”，但還是更多地習(xí)慣于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“過(guò)程”進(jìn)行歸納、總結(jié)，形成約定的“套路”，最后都直接用“規(guī)律”辦事。這樣的“過(guò)程”沒(méi)有完全成為學(xué)生自己的“過(guò)程”，這或許是我們的學(xué)生能考試、能解題，但少有奇思妙想的原因。因此，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該更多地讓學(xué)生“吃生食”、“吃粗糧”，這樣才有利于學(xué)生形成自己的、能夠健康生長(zhǎng)的數(shù)學(xué)。

“慢”課堂、“慢”數(shù)學(xué)里的成長(zhǎng)力

在觀摩“一位數(shù)除兩位數(shù)”教學(xué)時(shí)，我特別留心學(xué)生“知識(shí)技能”、“數(shù)學(xué)思考”等目標(biāo)的達(dá)成情況。僅就“知識(shí)技能”而言，用中國(guó)課堂的眼光和標(biāo)準(zhǔn)去評(píng)判，這節(jié)課絕對(duì)不是一節(jié)優(yōu)質(zhì)課，甚至連一節(jié)成功的課都算不上。課堂練習(xí)時(shí)，全班只有不到30%的學(xué)生初步掌握了用豎式直接計(jì)算“一位數(shù)除兩位數(shù)”，大部分孩子主要還是依靠分學(xué)具、畫(huà)圖、扳手指等方式獲得計(jì)算的結(jié)果，教師沒(méi)有刻意去優(yōu)化和統(tǒng)一計(jì)算的方法。

觀摩課結(jié)束后，我們與執(zhí)教者以及她的助教進(jìn)行了交流，分享了她們的數(shù)學(xué)教育理念。她們認(rèn)為，在第一關(guān)鍵階段（小學(xué)）要讓數(shù)學(xué)成為孩子心中好玩的“智力游戲”，而不是一門(mén)考試課程。教師應(yīng)努力讓數(shù)學(xué)課程適應(yīng)兒童，而不是改變兒童，讓兒童適應(yīng)課程。她們說(shuō)，最成功的課堂是讓學(xué)生收獲對(duì)數(shù)學(xué)的喜愛(ài)，獲取知識(shí)、掌握技能不應(yīng)成為孩子的負(fù)擔(dān)，最佳的方法就是兒童自己能理解、能運(yùn)用的方法。對(duì)于“掌握豎式算法人數(shù)少”，執(zhí)教者告訴我們，教育——尤其是數(shù)學(xué)教育，要有“三分教七分等”的心態(tài)，要相信孩子是天生的數(shù)學(xué)家，只不過(guò)有些孩子在數(shù)學(xué)能力方面屬于“慢熟型”的，需要慢慢等待，卓越的課堂關(guān)注長(zhǎng)期的教學(xué)效果。在他們看來(lái)，統(tǒng)一的目標(biāo)要求不是真正的教育，而是對(duì)一部分孩子自信的扼殺，收獲自信是孩子最美的成長(zhǎng)。因此，兒童的學(xué)習(xí)既不能“拔苗助長(zhǎng)”，也不能過(guò)度“施肥澆水”，課堂必須充分考慮學(xué)生的反饋，“慢”課堂、“慢”數(shù)學(xué)才是最具成長(zhǎng)力的數(shù)學(xué)教育。

與英國(guó)老師交流，他們總喜歡把蘇格拉底的話掛在嘴邊：教育不是灌輸，而是點(diǎn)燃火焰。在研修期間，我們隨機(jī)走進(jìn)了多節(jié)中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，發(fā)現(xiàn)確如她們所言，數(shù)學(xué)課堂總是其樂(lè)融融。老師講解、示范得少，學(xué)生交流、探究得多，游戲、生活與數(shù)學(xué)結(jié)合緊密，數(shù)學(xué)不是“遠(yuǎn)”且“玄”的深?yuàn)W知識(shí)，而是十分有趣、有益、隨手可得的學(xué)問(wèn)。英國(guó)的課堂上一般有兩名教師，一“主”一“助”，助教在課堂上更多的是“助兩頭”，主教則更多的是“教中間”。到了中學(xué)，甚至有些小學(xué)高年級(jí)就開(kāi)始實(shí)施走班制和分層教學(xué)，尊重差異、適應(yīng)差異，讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展與提高。

比知識(shí)更重要的是兒童的創(chuàng)造

在與英國(guó)教師的交流中，筆者了解到英國(guó)也十分重視考試，這與我們先前的認(rèn)識(shí)迥然不同。英國(guó)教育大臣邁克爾·戈夫很看重中國(guó)重視基礎(chǔ)知識(shí)的教育優(yōu)勢(shì)，強(qiáng)調(diào)傳承寶貴的知識(shí)是國(guó)家課程的核心，他批評(píng)“知識(shí)就在谷歌上”的觀點(diǎn)，呼吁英國(guó)要向中國(guó)學(xué)習(xí)。英國(guó)有類(lèi)似于中國(guó)中考、高考的國(guó)家考試GCSE（即普通中等教育證書(shū)）、A-level（即中學(xué)高級(jí)水平考試），還有SATS（即標(biāo)準(zhǔn)成績(jī)考試），并依據(jù)考試成績(jī)?cè)诿襟w上公布學(xué)校的排名。他們與我們的區(qū)別在于評(píng)價(jià)理念和方法。比如不搞一考定終身，可以申請(qǐng)重考刷分；實(shí)施等級(jí)制；對(duì)考試有選擇權(quán)，同樣的課程、同樣的年級(jí)可以考不同級(jí)別的試卷；選修類(lèi)課程可以揚(yáng)長(zhǎng)避短等。

更可貴的是，英國(guó)教育雖然重視知識(shí)，但他們認(rèn)為兒童的創(chuàng)造性比知識(shí)更重要。在學(xué)習(xí)交流期間，我們和英國(guó)的老師把一份江蘇小學(xué)畢業(yè)會(huì)考試卷與一份英國(guó)中學(xué)七年級(jí)招生考試試卷進(jìn)行了全面的比較分析，力圖通過(guò)評(píng)價(jià)取向的對(duì)比來(lái)發(fā)現(xiàn)中英數(shù)學(xué)教育理念上的差別。

其一，我們的試卷中填空、判斷、選擇、計(jì)算、畫(huà)圖、解決問(wèn)題等各類(lèi)題型一一排列，刻板、沒(méi)有兒童氣息。英國(guó)的試卷如同一本故事書(shū)，有人物、有情節(jié)，環(huán)環(huán)相扣、引人入勝，孩子完成一份數(shù)學(xué)試卷就是一次情境化的“微生活”歷練。

其二，我們的試卷中知識(shí)考查的成分多，計(jì)算技能要求高，題型有“套路”，數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)性小。英國(guó)的試卷中考查直接應(yīng)用定義、概念、公式等現(xiàn)成知識(shí)的內(nèi)容少，用計(jì)算器計(jì)算，自定義、自操作、自規(guī)則的內(nèi)容多，問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)性很強(qiáng)。

其三，我們的試卷中幾乎每題都有標(biāo)準(zhǔn)答案，評(píng)價(jià)時(shí)看重解題的規(guī)范、完整與嚴(yán)密。即便所謂的開(kāi)放題，結(jié)論的可能性也有限，更多的是關(guān)注知識(shí)的掌握和技能的形成。英國(guó)試卷中有固定答案的試題比例不到40%，很多題目都需要學(xué)生自己探究，通過(guò)舉證或論證發(fā)現(xiàn)結(jié)論。試卷沒(méi)有所謂的標(biāo)準(zhǔn)答案，更重視個(gè)性化的數(shù)學(xué)表達(dá)、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。他們強(qiáng)調(diào)兒童自己的見(jiàn)識(shí)比書(shū)本知識(shí)更可貴、更難得，更多地關(guān)注思維力和創(chuàng)造力的發(fā)展。

用英國(guó)老師的話說(shuō)，真理不重要，重要的是自圓其說(shuō)。在他們看來(lái)，兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個(gè)漫長(zhǎng)而又愉快的探險(xiǎn)歷程，探險(xiǎn)的主角永遠(yuǎn)是兒童，一次有價(jià)值的測(cè)評(píng)就是孩子探險(xiǎn)歷程中一次成功的闖關(guān)，要不斷地給他們自己發(fā)現(xiàn)、自己創(chuàng)造和遇挫反思的機(jī)會(huì)。