參數(shù)激勵下帶橫向振動不穩(wěn)定特性實測與計算

曾祥坤，喻菲菲，王小莉

(1.廣東技術(shù)師范學(xué)院 機電學(xué)院，廣州510665；2.華南理工大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院，廣州510641)

參數(shù)激勵下帶橫向振動不穩(wěn)定特性實測與計算

曾祥坤1，喻菲菲1，王小莉2

(1.廣東技術(shù)師范學(xué)院 機電學(xué)院，廣州510665；2.華南理工大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院，廣州510641)

以發(fā)動機前端附件驅(qū)動系統(tǒng)中兩相鄰輪帶段為研究對象，將帶簡化成軸向運動的粘彈性弦線，建立軸向運動弦線在張力和帶速的參數(shù)激勵下的非線性動力學(xué)方程；采用Galerkin方法將非線性運動偏微分方程離散為一組常微分方程，并用攝動法計算引起帶橫向振動不穩(wěn)定特性的主/次諧共振頻率范圍。介紹發(fā)動機前端附件驅(qū)動系統(tǒng)中輪的角速度和帶橫向振動的實驗裝置和測試方法，識別出引起帶橫向振動不穩(wěn)定特性的參數(shù)激勵頻率范圍，帶橫向振動不穩(wěn)定特性的共振頻率范圍計算值與實驗值具有較好的一致性。實驗結(jié)果表明帶參數(shù)激勵下橫向振動的不穩(wěn)定特性主要發(fā)生在帶的次諧共振頻率范圍內(nèi)；帶段伸縮張力幅值越大，帶在參數(shù)激勵下橫向振動的主/次諧共振頻率范圍就越大。

振動與波；多楔帶；參數(shù)激勵；共振頻率；實測分析

帶的橫向振動是汽車發(fā)動機前端附件驅(qū)動(FEAD)系統(tǒng)的主要動態(tài)特性之一[1，2]。在帶的伸縮張力和帶速的參數(shù)激勵下，帶的橫向振動會表現(xiàn)出較強的不穩(wěn)定特性[3—6]，即帶的橫向振動位移較大。帶的橫向振動位移過大，會產(chǎn)生較大的噪聲并縮短皮帶使用壽命。為此，帶橫向振動在參數(shù)激勵下的不穩(wěn)定特性已成為學(xué)者們重要的研究內(nèi)容[7—9]。

在帶張力波動的激勵下，Mockenstrum等人[7]建立了軸向運動弦線運動方程；推導(dǎo)出皮帶橫向振動主諧共振頻率范圍的解析表達式。Pakdemirli等人[8]研究了在帶速波動的激勵下，軸向加速運動弦線橫向振動的穩(wěn)定邊界條件。以上兩文獻均基于單頻率成分的參數(shù)激勵，而在汽發(fā)動機FEAD系統(tǒng)中，帶的參數(shù)激勵頻率受發(fā)動機點火頻率以及各帶輪負載扭矩力的影響，皮帶的張力波動以及帶速的波動均是多頻率成分。Parker等人[9]在文獻[7、8]的研究基礎(chǔ)上，將皮帶看成軸向運動弦/梁模型，基于計算模型研究在多頻率成分帶伸縮張力和帶速激勵下，皮帶橫向振動的不穩(wěn)定特性。

采用Galerkin離散方法，將軸向運動弦線方程轉(zhuǎn)化為在參數(shù)激勵(帶的張力波動和帶的穩(wěn)態(tài)速度)下的非線性動力學(xué)方程；采用攝動法得到帶橫向振動的主/次諧共振頻率的計算模型。介紹了FEAD系統(tǒng)動特性的實驗裝置、帶輪角速度和帶段橫向位移的測試方法；以FEAD系統(tǒng)中最緊邊帶段為測試對象，識別出引起帶橫向振動不穩(wěn)定特性的參數(shù)激勵主/次諧共振頻率范圍。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 軸向運動弦線模型

FEAD系統(tǒng)中，兩旋轉(zhuǎn)中心位置固定的輪之間軸向運動弦線的運動方程[10]

其中ρA為帶的線密度；V為帶的橫向位移；角下標‘T’、‘X’分別表示對時間和帶縱向位置的偏導(dǎo)；c為帶的速度；Ps為帶的靜態(tài)張力；Pd為動態(tài)張力

其中EA為帶的縱向剛度；L為帶段長度；U(L,T)、U(0,T)分別為帶段L兩端點的縱向位移。為簡化計算模型，對式(2)中相關(guān)參數(shù)進行無量綱轉(zhuǎn)化

方程(1)的無量綱化后的方程為

其中帶的張力波動為

帶速的波動為

相對于帶縱向伸縮引起帶的張力波動，可以忽略帶橫向位移即方程(4)中積分項對帶張力的影響。將式(5)和(6)帶入方程(4)中，并假設(shè)帶的軸向運動速度為常數(shù)γ0，得到軸向運動弦線無量綱運動方程為

將方程(7)寫成狀態(tài)方程的形式

其中

1.2 帶的主/次諧共振頻率的計算模型

采用Galerkin離散的方法，設(shè)方程(8)中帶的橫向振動響應(yīng)的表達式為

其中Φn為特性向量。在軸向運動弦線模型中，非參數(shù)激勵下基于Galerkin法得到的特性向量Φn的表達式[11]

其中

將式(12)帶入方程(8)中，得到

帶橫向振動位移隨時間的變化，以及固有頻率用攝動法展開，即

將式(14)帶入方程(13)中，得到

其中，

式(15)的周期解為

將式(18)帶入式(16)中,得到

式(19)中唯一的久期項是jr1aeiω?nt。當激勵頻率接近2ωn時，又出現(xiàn)了其它的久期項，系統(tǒng)的周期響應(yīng)解要求消去久期項，則有

由式(20)得到

將式(21)代入式(17)中，得到參數(shù)激勵下帶的主諧共振頻率范圍計算式

由式(10)、式(11)和式(13)得到

由式(19)可見，jr1aeiω?nt中的r1為零，且任意激勵頻率ωl接近ωn時，式(19)將會出現(xiàn)久期項。消除式(22)中的久期項，得到參數(shù)激勵下帶主諧共振頻率范圍為

由式(22)和式(23)可見，帶的參數(shù)不穩(wěn)定激勵頻率與帶段張力波動的相位無關(guān)。參數(shù)激勵的頻率若是帶的某1階固有頻率的兩倍將會引起帶的主諧共振，若與帶的某1階固有頻率相等將會引起帶的次諧共振。這兩種參數(shù)激勵頻率下，都會引起帶在參數(shù)激勵下的不穩(wěn)定特性。

2 實驗部分

2.1 實驗裝置

測試對象為直列四缸1.8 t發(fā)動機FEAD系統(tǒng)。該系統(tǒng)由多楔帶連接曲軸(CS)、空調(diào)壓縮機(AC)、惰輪1(IDL1)、交流電機(ALT)、動力轉(zhuǎn)向泵(PS)、惰輪2(IDL2)、水泵(WP)和張緊器(TEN)共8個帶輪組成。多楔帶的型號為6PK型。采用德國Rotec數(shù)采系統(tǒng)采集信號和分析數(shù)據(jù)。FEAD系統(tǒng)實物圖和傳感器連接示意圖分別見圖1和圖2[12]。

角度編碼器3.6°等角度采樣，用于測量CS、AC的角速度。激光位移傳感器采樣頻率為12.5 kHz，用于測量最緊邊或最長邊帶段中點的橫向位移。激光位移傳感器應(yīng)垂直于皮帶布置，且距離皮帶的有效測量距離為15 mm～30 mm。

圖1 FEAD系統(tǒng)測試現(xiàn)場

圖2 FEAD系統(tǒng)傳感器的布置示意圖

測試前，應(yīng)啟動發(fā)動機試運行幾分鐘，以確保測試過程中皮帶的參數(shù)特性基本一致。停機后，用皮帶張力計測定帶段L1的靜態(tài)張力，取三次測試張力的平均值。發(fā)動機轉(zhuǎn)速從1 000 r/min勻加速到5 500 r/min(約30 s)，作為FEAD系統(tǒng)的動態(tài)測試工況。

2.2 數(shù)據(jù)處理

假設(shè)帶與輪之間不打滑；帶以準靜態(tài)方式伸縮；忽略各輪包角處帶蠕變的影響。角度編碼器對信號是等角度采樣，經(jīng)Rotec分析軟件得到帶輪角位移和角速度并不是等時間間隔的數(shù)據(jù)。可采用線性差分法將各帶輪角位移或角速度換算成等時間間隔的數(shù)據(jù)[13]。角位移等時間間隔重采樣原理見圖3(角速度重采樣原理與之類似)。

設(shè)θ1(t)、θ2(t)分別是CS和AC等時間間隔點處的角位移(單位：rad)，θ˙1(t)、θ˙2(t)分別是CS和AC等時間間隔點處的角速度(單位：rad/s)。帶段L1的伸縮長度為

帶段L1的縱向速度為

圖3 角位移等時間間隔重采樣示意圖

3 結(jié)果分析

用張力計測定帶段L1的靜態(tài)張力為550 N。由式wn=nπ(1-)計算得到無量綱化后帶的一階固有頻率ω1為2.67 rad(約140 Hz)。考慮到本實驗對象為一臺4缸發(fā)動機，二階為曲軸帶輪旋轉(zhuǎn)運動的主階次，選取曲軸轉(zhuǎn)速為4 200 r/min時作為研究工況。

實驗得到帶段L1中點橫向振動位移隨曲軸轉(zhuǎn)速變化關(guān)系見圖4，其橫向振動位移瀑布圖見圖5。

圖4 帶段L1中點的橫向振動位移隨轉(zhuǎn)速的變化關(guān)系

由圖4可見，曲軸轉(zhuǎn)速在1 000 r/min～1 500 r/ min范圍內(nèi)，皮帶的橫向振動位移較大，這主要是由于激勵幅值較大所引起的。隨著轉(zhuǎn)速的增加，帶段L1中點的橫向振動位移在4 200 r/min附近出現(xiàn)了較大值，位移幅值達到6 mm。結(jié)合圖5看出，在4 200 r/min附近，帶段L1中點的橫向振動不穩(wěn)定的參數(shù)激勵頻率范圍為130 Hz～160 Hz。

圖5 帶橫向振動位移的瀑布圖

發(fā)動機轉(zhuǎn)速在4 200 r/min時，由式(25)計算出帶段L1伸縮長度主要的階次項的幅值和頻率，忽略伸縮長度幅值較小的其它階次項影響。由于帶縱向速度的波動相對于張力波動對帶的橫向振動影響較小，可忽略帶速波動的影響，假設(shè)帶速為一常數(shù)c0(由曲軸轉(zhuǎn)速和曲軸帶輪半徑確定)。帶參數(shù)激勵下的共振頻率計算模型中的相關(guān)參數(shù)見表1、表2和表3。

表1 輪的相關(guān)參數(shù)

表2 多楔帶的相關(guān)參數(shù)

表3 實驗得到的相關(guān)參數(shù)

由計算模型得到帶橫向振動不穩(wěn)定的參數(shù)激勵頻率隨帶段張力幅值變化的關(guān)系曲線見圖6。其中‘?’是對應(yīng)發(fā)動機轉(zhuǎn)速為4 200 r/min時，實驗得到帶在參數(shù)激勵下無量綱化的共振頻率范圍。

由圖6可見，帶的主諧共振頻率范圍要明顯比次諧共振頻率范圍大；張力波動幅值越大，帶的主/次諧共振頻率范圍也越大。4 200 r/min時，實驗得到帶在參數(shù)激勵下的共振頻率范圍(圖6中‘?’)剛好在次諧共振頻率范圍內(nèi)，且共振頻率范圍的計算值與實驗值基本一致。由于FEAD系統(tǒng)中，帶張力波動的頻率值一般小于帶一階固有頻率的兩倍，因此，帶的不穩(wěn)定參數(shù)激勵一般不會引起帶的主諧共振。

圖6 參數(shù)激勵下帶的主、次諧共振頻率范圍

4 結(jié)語

文中采用Galerkin離散方法和攝動法，建立了參數(shù)激勵下，帶橫向振動不穩(wěn)定特性的主/次諧共振頻率的計算模型。實驗識別出了在張力波動和帶速的參數(shù)激勵下，帶橫向振動的不穩(wěn)定特性以及參數(shù)激勵下共振頻率范圍。得到以下相關(guān)結(jié)論：

(1)對于軸向運動的帶，在參數(shù)激勵頻率為帶的某一階固有頻率兩倍和一倍時，將分別出現(xiàn)帶橫向振動的主諧共振和次諧共振現(xiàn)象。主諧共振頻率范圍要比次諧共振頻率范圍大；

(2)汽車前端附件驅(qū)動(FEAD)系統(tǒng)中，帶在參數(shù)激勵下的橫向振動不穩(wěn)定特性容易發(fā)生在曲軸轉(zhuǎn)速較高的時候，而且主要出現(xiàn)在次諧共振頻率范圍內(nèi)；

(3)實驗驗證了帶在參數(shù)激勵下的橫向振動不穩(wěn)定特性的次諧共振頻率的計算模型。該計算模型為FEAD系統(tǒng)的前期設(shè)計，包括帶輪位置布置、帶段的靜態(tài)張力等設(shè)計提供參考。

[1]Wen-Bin Shangguan,Xiang-kun Zeng.Experimental and calculation analysis of rotational vibration responses for an engine front end accessory drive system∶Part I Experiments and measurement results[J].ASME Journal of Vibration andAcoustics,2013,135(3)∶031002,1-14.

[2]上官文斌，王紅云，張智.多楔帶傳動系統(tǒng)振動建模及帶段橫向振動控制的研究[J].振動工程學(xué)報，2009，22(3)：250-255.

[3]Rhodes J.E.Jr.Parametric self-excitation of a belt into transverse vibration[J].Journal of Applied Mechanics, 1970,37(1)∶1055-1060.

[4]Ulsoy A.G.,Whitesell J.E.,Hooven M.D.Design of belttensioner systems for dynamic stability[J].Journal of Vibration andAcoustics,1985,107(4)∶282-290.

[5]周明剛，陳源，黃濤，周敬東.動力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與非線性行為的一種分析計算方法[J].噪聲與振動控制，2010，30(4)：22-24.

[6]嚴巧赟，丁虎，陳立群.黏彈性軸向運動變張力梁非線性動力學(xué)[J].噪聲與振動控制，2013，33(3)：16-20.

[7]Mockensturm E.M.,Perkins N.C.and Ulsoy A.G.Stability and limit cycles of parametrically excited,axially moving strings[J].Journal of Applied Mechanics,1996, 118(1)∶346-351.

[8]Pakdemirli M.and Ulsoy A.G.Stability analysis of an axially accelerating string[J].Journal of Sound and Vibration,1997,203(5)∶815-832.

[9]Parker R.,Lin Y.Parametric instability of axially moving media subjected to multifrequency tension and speed fluctuation[J].Journal of Applied Mechanics,2001,68 (1)∶49-57.

[10]Thurman A.L.and Mote C.D.Jr.Free periodic nonlinear oscillation of an axially moving string[J].Journal ofApplied Mechanics,1969,36(1)∶83-91.

[11]Jha R.,Parker R.Spatial discretization of axially moving media vibration problems[J].Journal of Vibration and Acoustics,2000,122(1)∶290-294.

[12]曾祥坤，上官文斌，侯之超.發(fā)動機前端附件驅(qū)動系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)振動實測與計算方法的研究[J].內(nèi)燃機學(xué)報，2011，29(4)：355-363.

[13]Michon G.,Manin L.,et al.Parametric instability of an axiallymovingbeltsubjectedtomultifrequency excitations∶experiments and analytical validation[J].Journal ofApplied Mechanics,2008,75(1)∶041004.

Measurement and Computation of Instability Performance of Transverse Vibration for Serpentine Belt under Parametric Excitation

ZENG Xiang-kun1,YU Fei-fei1,WANG Xiao-li2

(1.College of Electromechanical Engineering,Guangdong Polytechnic Normal University, Guangzhou 510665,China; 2.School of Mechanical andAutomotive Engineering,South China University of Technology, Guangzhou 510641,China)

∶The serpentine belt between two adjacent pulleys in an engine’s Front End Accessory Drive(FEAD)system is simplified as an axially moving viscoelastic string.Nonlinear dynamical equation is established for investigating the stability of the axially moving string subjected to parametric excitation resulted from tension and translation-speed oscillations.Galerkin method is used to discrete the nonlinear partial differential equations into a group of ordinary differential equations.Perturbation method is used for calculating the primary and secondary instability frequencies of the belt’s transverse vibration.An experiment was carried out for getting the angular velocity of the pulleys and the vibration of the belt in the FEAD system,and the parametric excitation frequencies of the belt’s transverse vibration were identified.The parametric excitation frequencies in the experiment agreed well with those of calculated results.Experiment results show that the instability of belt’s transverse vibration occurs in the regions of belt’s secondary resonant frequencies.When the tensile force of the belt increases,the regions of belt primary and secondary resonant frequencies under the parametric excitation also increase greatly.

∶vibration and wave;serpentine belt;parametric excitation;instability frequencies;measuring analysis

TH132.3；TK423.42< class="emphasis_bold">文獻標識碼：ADOI編碼：

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.06.003

國家自然科學(xué)基金資助項目(51305085)

曾祥坤（1984-），男，博士，講師，江西省南康市人，主要從事汽車振動與控制、汽車NVH特性等方向的研究工作。

E-mail∶zxiangkun8422@163.com

1006-1355(2014)06-0012-05

2014-04-28