斐波那契數(shù)列的探究性學(xué)習(xí)教學(xué)設(shè)計

邱香蘭

數(shù)學(xué)探究性課題學(xué)習(xí)是指學(xué)生圍繞某個數(shù)學(xué)問題，自主探究、學(xué)習(xí)的過程。這個過程，包括：觀察分析數(shù)學(xué)事實，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋或證明。

一、斐波那契數(shù)列的探究式教學(xué)設(shè)計

（1）學(xué)情及學(xué)習(xí)任務(wù)分析。斐波那契數(shù)列是人民教育出版社《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)·必修5》第37頁的閱讀材料，是學(xué)習(xí)完數(shù)列概念與表示方法后安排的一節(jié)課外學(xué)習(xí)內(nèi)容。斐波那契數(shù)列是個較復(fù)雜的數(shù)列，有奇妙的性質(zhì)，有有趣的通項公式，有廣泛的應(yīng)用價值。如果按教材上的安排來探究斐波那契數(shù)列，學(xué)生可能難以全面理解。因此，筆者將它放到數(shù)列這一章的末尾來學(xué)習(xí)。

（2）教學(xué)目標(biāo)設(shè)計。通過了解斐波那契數(shù)列，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體會抽象數(shù)學(xué)概念的實際意義；通過展示生活中的數(shù)學(xué)，讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)的外在美和體會數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，欣賞數(shù)學(xué)的藝術(shù)美；通過證明斐波那契數(shù)列的通項公式，體會構(gòu)造法的神奇；讓學(xué)生學(xué)會在現(xiàn)代技術(shù)條件下如何從網(wǎng)絡(luò)上選擇知識、學(xué)習(xí)知識進而解決問題。

（3）教學(xué)重點與難點。讓學(xué)生全方位了解斐波那契數(shù)列是重點，證明斐波那契數(shù)列的通項公式是教學(xué)難點。

（4）教學(xué)過程設(shè)計。

①展示情景，引發(fā)問題。通過欣賞小說《達(dá)芬奇密碼》片斷，引起學(xué)生探究“1332211185”的欲望。

②學(xué)生自學(xué)教材，解決問題。通過自學(xué)教材內(nèi)容，操作（13-3-2-21-1-1-8-5）→（1-1-2-3-5-8-13-21），學(xué)生恍然大悟，原來“1332211185”是斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，

55，……的前8項打亂排列次序之后形成的一串?dāng)?shù)。學(xué)生猜想斐波拉契數(shù)列之聞名，可能還跟美國懸疑作家丹·布朗有關(guān)，因為他在他的小說《達(dá)芬奇密碼》之中巧妙地運用了該數(shù)列。

③小組自主探究，合作交流。分小組探究下列情景中的問題：斐波那契數(shù)列的原型——兔子繁殖問題，斐波那契數(shù)列與植物生長，斐波那契數(shù)列與動物生長，斐波那契數(shù)列與螺線。第一小組匯報。一般而言，兔子在出生兩個月后，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子？（篇幅所限，圖略）。第二小組匯報。一棵樹一年后長出一條新枝，新枝隔一年后成為老枝，老枝又可每年長出一條新枝，如此下去，十年后新枝將有多少？第三小組匯報。從蜜蜂的繁殖來看，蜜蜂的生長規(guī)律很有趣：雄蜂只有母親，沒有父親，因為蜂后產(chǎn)的卵，受精的孵化為雌蜂（即工蜂或蜂后），未受精的孵化為雄蜂。人們在追溯雄蜂的祖先時，發(fā)現(xiàn)一只雄蜂的第n代的祖先數(shù)目剛好就是斐波那契數(shù)列的第n項Fn. （篇幅所限，雄蜂的家屬結(jié)構(gòu)圖略）。第四小組匯報。薊，它們的頭部幾乎呈球狀。根據(jù)教學(xué)中出示的圖片，可以看出，順時針旋轉(zhuǎn)的螺旋一共有13條，而逆時針旋轉(zhuǎn)的則有21條。例如帶小花的大向日葵的管狀小花排列成兩組交錯的斐波那契螺旋，并且順時針和逆時針螺旋的條數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中相鄰的兩項，其中順時針的螺旋有34條，逆時針的螺旋有55條。蒲公英和松塔、蜘蛛網(wǎng)、水流的旋渦、蝸牛殼的螺紋以及星系內(nèi)星球的分布等，也是按照斐波那契螺旋排列的。

④抽象出斐波那契數(shù)列概念。第一、二、三組發(fā)現(xiàn)，若用Fn表示第n個月兔子的總對數(shù)、n年后新枝的條數(shù)、一只雄蜂的第n代的祖先數(shù)目，則可以看出斐波那契數(shù)列是一個由遞推關(guān)系F1=1，F(xiàn)2=1，F(xiàn)n=Fn-1+Fn-2給出的數(shù)列。第四組發(fā)現(xiàn)薊順時針旋轉(zhuǎn)的與逆時針旋轉(zhuǎn)的螺旋條數(shù)分別是斐波那契數(shù)列的第七項和第八項。

⑤探求斐波那契數(shù)列通項公式、前n項和公式。探究結(jié)果：通項公式為an=■[（■）n -（■）n ] ，前n項和公式Sn=■[（■）n+2 -（■）n+2 ]-1，Sn=an+2-1. 學(xué)生發(fā)現(xiàn)一個很有趣的事實：一個完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項公式居然是用無理數(shù)來表達(dá)的。

⑥利用初等數(shù)學(xué)知識驗證上述公式。教師提示學(xué)生通過構(gòu)造等比數(shù)列來求斐波那契數(shù)列的通項公式。匯報結(jié)果：已知a1=1，a2=1，an=an-1+an-2.

1）首先構(gòu)建等比數(shù)列。設(shè)an+αan-1=β（an-1+αan-2） ，則an=（β-α）an-1+αβan-2，比較系數(shù)可得：β-α=1，αβ=1。不妨設(shè)β > 0，α > 0，解得：α=■，β=■，即an+αan-1為等比數(shù)列。

2）求出數(shù)列an+αan-1. 由以上可得：an+1+αan=（a2+αa1）βn-1=（1+α）βn-1+βn，變形得：■+■■=■， 令bn=■，則bn+1+■bn=■。

3）求數(shù)列bn進而得到an. 設(shè)bn+1+λ=-■（bn+λ） ，解得λ=-■，故數(shù)列bn+λ為等比數(shù)列，即有bn+λ=（-■）n-1（b1+λ） ，而b1=■，故有bn+λ=（-■）n-1（■+λ）。又有bn=■，λ=-■，β-α=1，αβ=1，故有： an=-（-α）nβ-β2λ（-α）n-λβn=-β（1+βλ）（-α）n-λβn=-λ[βn-（-α）n]。又α=■，β=■，故an=■[（■） n-（■） n]，得出an 的通項公式。

⑦教師小結(jié)。今天同學(xué)探究到的僅僅是斐波那契數(shù)列的一部分知識，該數(shù)列還有很多奇妙的屬性。比如：隨著數(shù)列項數(shù)的增加，前一項與后一項之比逼近黃金分割0.6180339887……其實，我國現(xiàn)行的高中教材中提及了楊輝三角，斐波那契數(shù)列可在其中尋得。另有斐波那契數(shù)列的變式，比如：帕多瓦數(shù)列。

⑧練習(xí)。1）一只蜜蜂從0號蜂房開始爬，只能往比原來的房號大的蜂房爬，最后爬到9號蜂房，問有多少種不同的爬法？（2003年全國希望杯數(shù)學(xué)邀請賽） 2）有一條n級樓梯，如果每步只能跨上一級或兩級，要登上第n級臺階，共有幾種走法？

二、教學(xué)設(shè)計的評述

本節(jié)課精心設(shè)計了斐波那契數(shù)列的探究實驗活動。首先，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，激起學(xué)生探究興趣。其次，過渡到學(xué)生自學(xué)教材，小組自主探究，合作交流。然后，抽象出斐波那契數(shù)列的概念、通項公式、前n項和公式。最后，引導(dǎo)學(xué)生證明結(jié)論。另外，教師小結(jié)時，注意引導(dǎo)學(xué)生把探究學(xué)習(xí)從課內(nèi)延伸到課外，讓學(xué)生養(yǎng)成探究的習(xí)慣。學(xué)生在了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論的產(chǎn)生過程中，學(xué)會查詢資料、收集信息、閱讀文獻，體驗了數(shù)學(xué)研究的過程和創(chuàng)造的激情，提高了發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力，發(fā)揮了自己的想象力和創(chuàng)新精神。如果離開信息技術(shù)，便難以達(dá)到這樣的教學(xué)效果。這也充分說明利用信息技術(shù)進行數(shù)學(xué)探究是很有必要的。

參考文獻：

[1]教育部.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）[S].北京：人民教育出版

社，2003.

（江西萍鄉(xiāng)學(xué)院）