慣量張量并矢式及其應(yīng)用

李文略

(湛江師范學(xué)院 基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東 湛江 524037)

慣量張量并矢式及其應(yīng)用

李文略

(湛江師范學(xué)院 基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東 湛江 524037)

對慣量張量并矢式進行改造，得到新的慣量張量并矢式.新的并矢式有助于理解慣量張量的不變性.給出算例，計算出勻質(zhì)長方體剛體對過定點的任意轉(zhuǎn)軸、對其面對角線、體對角線和勻質(zhì)圓錐體對其母線的轉(zhuǎn)動慣量.

慣量張量并矢式；主軸坐標(biāo)系；轉(zhuǎn)動慣量；長方體剛體；圓錐體剛體

慣量張量是以純矩陣的形式表示的[1-4].慣量張量除了用純矩陣的方法表示，還可以用并矢式表示.文獻[5]提出了慣量張量的并矢式，但并未做太多的討論.其實，慣量張量并矢式對學(xué)生理解慣量張量，特別是慣量張量對定點的不變性是非常有幫助的.引用黃寶宗先生的話[6]:“張量……特別是并矢記法，既在總體上有不變性特點，又包含了標(biāo)架和分量，因此更便于初學(xué)者在張量運算中應(yīng)用.”本文將在文獻[5]的基礎(chǔ)上改造慣量張量并矢式，得到新的慣量張量并矢式，闡述其物理含義.由新的慣量張量并矢式還能得到計算一類勻質(zhì)剛體轉(zhuǎn)動慣量的新方法.給出算例，計算出勻質(zhì)長方體剛體對過定點(質(zhì)心)的任意軸、對其面對角線和其體對角線的轉(zhuǎn)動慣量以及勻質(zhì)圓錐體對其母線的轉(zhuǎn)動慣量.

1 新的慣量張量并矢式及其物理含義

剛體(分立系統(tǒng))對于定點(坐標(biāo)原點)慣量張量并矢式定義為[5]

(1)

慣量張量并矢式(1)以簡潔的形式出現(xiàn)，可對式(1)進行矩陣改造如下，

(2)

若剛體的質(zhì)量連續(xù)分布，則式(2)寫為

(3)

(4)

由式(3)和(4)，可得

(5)

2 算例

對于一類勻質(zhì)、對稱性高的剛體，很容易找出其主軸坐標(biāo)系并計算出其主轉(zhuǎn)動慣量，即確定剛體在主軸坐標(biāo)系下的慣量張量并矢式.以此為基礎(chǔ)，應(yīng)用主軸坐標(biāo)系與任意坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可簡捷地計算出剛體對過定點的任意轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，從而避免繁瑣的積分計算.現(xiàn)以勻質(zhì)長方體剛體和圓錐體為例，用本文的方法計算勻質(zhì)長方體對過原點的任意軸，對面對角線、體對角線和勻質(zhì)圓錐體對其母線的轉(zhuǎn)動慣量.

2.1 勻質(zhì)長方體剛體的轉(zhuǎn)動慣量

(6)

圖1 長方體剛體Fig.1 Rectangular rigid body

(7)

將式(6)代入式(7)中，進行矩陣運算得

(8)

結(jié)合式(8)與圖2進行以下討論.

圖2 主軸坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動示意圖Fig.2 Rotation diagram of coordinates of principal axes

2.2 勻質(zhì)圓錐體對母線的轉(zhuǎn)動慣量

(9)

圖3 圓錐體剛體Fig.3 The cone body

(10)

3 結(jié)語

現(xiàn)行的理論力學(xué)教材比較注重慣量張量的正定特性，并以此為基礎(chǔ)進行主軸變換，使慣量張量對角化，得到主軸坐標(biāo)系和主轉(zhuǎn)動慣量.本文對慣量張量并矢式進行了改造，新的慣量張量并矢式能使學(xué)生加深對慣量張量定點不變性的理解，并易于計算一類勻質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動慣量，可作為慣量張量教學(xué)上的補充.文中給出了算例，計算了勻質(zhì)長方體剛體對過定點的任意軸、對面對角線、體對角線的轉(zhuǎn)動慣量和勻質(zhì)圓錐剛體對母線的轉(zhuǎn)動慣量，所用的方法不同于傳統(tǒng)的定義積分法和慣量主軸法，拓寬了學(xué)生的解題思路.

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The Dyadic of Inertia Tensor and Its Application

LI Wen-lue

(CollegeofBasicEducation，InstituteofZhanjiangNormalUniversity，Zhanjiang524037,China)

A novel dyadic of inertia tensor, which contributes to the students’ understanding of the invariance and easy application of Inertia Tensor, is obtained by modifying the old one. The moment of inertia tensor of any rotating shaft, opposite diagonal, body diagonal of a homogeneous rectangular rigid body and that of generatrix of a homogeneous cone are calculated by exemplifying.

dyadic of inertia tensor； coordinates of principal axes； moment of inertia； rectangular rigid body； cone rigid body

2014-06-28

湛江師范學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院科研資助項目成果之一(XM1302)

李文略(1981—)，男，廣東茂名人，湛江師范學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院講師.

10.3969/j.issn.1007-0834.2014.04.012

O313.3

A

1007-0834(2014)04-0047-05