基節(jié)誤差作用下少齒差行星齒輪輪齒載荷分析

劉斌彬

（福建工程學(xué)院 機械與汽車工程學(xué)院，福建 福州 350108）

在少齒差行星齒輪傳動中，理論嚙合線附近的齒對齒廓面間的間隙γ非常小，若齒輪副受載較大而產(chǎn)生的較大的彈性變形時，間隙γ將消失，形成多對齒接觸共同承擔(dān)載荷的情況，齒輪副的實際承載能力提高.前蘇聯(lián)的YASTREBOV最早預(yù)言了上述現(xiàn)象，張文照等［1］通過對少齒差齒輪副進(jìn)行應(yīng)變試驗確實觀測到了該現(xiàn)象，但并未給出載荷在各齒對間的分配比例計算方法.考慮到制造誤差相對上述間隙γ較大，若計入誤差，則間隙γ將發(fā)生不小的變化，齒輪副嚙合時實際同時接觸承載的齒對數(shù)將發(fā)生變化.黃霞等［2］通過多元回歸分析認(rèn)為齒輪的基節(jié)誤差是影響間隙γ的最重要因素.應(yīng)廣馳等［3］建立了多對齒嚙合時載荷分配的數(shù)學(xué)模型，但對誤差的處理只簡單校核單齒對嚙合時的彎曲靜強度.

因此，為充分發(fā)揮少齒差行星齒輪傳動應(yīng)有的承載能力，必須建立考慮基節(jié)誤差的載荷分配數(shù)學(xué)模型.

1 基節(jié)誤差及載荷分配數(shù)學(xué)模型

輪齒間的基節(jié)誤差服從正態(tài)分布［4］，且相互獨立.根據(jù)3σ準(zhǔn)則（σ代表標(biāo)準(zhǔn)差），可得基節(jié)誤差的期望μfpbi和標(biāo)準(zhǔn)差fpbi：

式中：fpb為基節(jié)極限偏差.

現(xiàn)將內(nèi)外齒輪中各輪齒及嚙合線附近的齒對按圖1所示進(jìn)行編號.各齒對編號為Lc（c＝0，1，2，…，n），處于理論嚙合線上的齒對為L0；內(nèi)齒輪各輪齒編號為i（圖中3≤i≤z2－3）（z2為內(nèi)齒輪齒數(shù)）；外齒輪各輪齒編號為j（3≤j≤z1－3）（z1為外齒輪齒數(shù)）；Lc，（i，j）表示由內(nèi)齒輪上輪齒i及外齒輪上齒輪j所構(gòu)成的齒對，編號為Lc.

圖1 少齒差齒輪副示意圖Fig.1 Schematic diagram of the small teeth difference planetary gear transmission

圖中ra2，ra1分別為內(nèi)外齒輪的齒頂圓半徑；rf2，rf1分別為內(nèi)外齒輪的齒根圓半徑；r2，r1分別為內(nèi)外齒輪的分度圓半徑；O2，O1分別為內(nèi)外齒輪的中心；a′為兩個齒輪的中心距.

基節(jié)誤差將導(dǎo)致各齒對Lc（c≠0）齒廓面間的相對位置發(fā)生改變，其變化量ec可以用式（2）計算［2］：

式中：Δfpb2，c，Δfpb1，c為 內(nèi) 外 齒 輪 相 應(yīng) 輪 齒 的 基 節(jié)誤差.

齒輪副受載產(chǎn)生彈性變形，根據(jù)相對運動，若假定內(nèi)齒輪固定，外齒輪將產(chǎn)生逆行星輪自轉(zhuǎn)方向的附加轉(zhuǎn)角θc.若彈性變形足夠，轉(zhuǎn)角θc將填補原有齒廓工作面間的理論間隙角φc、由彈性變形所引起的轉(zhuǎn)角φδc及齒廓面間位置偏差ec引起的轉(zhuǎn)角φec，即：

其中，彈性變形所引起的轉(zhuǎn)角φδc可由下式計算得到：

式中：Fc，kc分別為齒對Lc所承擔(dān)的法向載荷和法向剛度；B為齒輪的接觸寬度；rb1為外齒輪的基圓半徑.

位置偏差ec引起的轉(zhuǎn)角φec為

對于外齒輪，應(yīng)有：

將式（3）—（5）代入式（6）并化簡，得：

注意到齒輪副承擔(dān)的總載荷F應(yīng)為各齒對承受的載荷Fc之和，即

將式（7）與式（8）聯(lián)立，即得：

求解該矩陣方程即得齒輪副在某時刻嚙合時同時接觸承載的齒對數(shù)n以及載荷在各接觸齒對間的分配情況.引入彈性載荷比例系數(shù)Kc，（i，j）來反映接觸齒對Lc，（i，j）實際所承擔(dān)載荷的比例：

為驗證該模型的正確性，現(xiàn)以某參數(shù)齒輪副為例，參數(shù)見表1，加工精度為7級，建立有限元模型［5］如圖2，分別對大量不同的誤差組通過有限元模型以及式（9）分別進(jìn)行計算，圖3所示為其中的8組誤差的計算結(jié)果.

從圖3可以看出，在不同誤差作用下，無論是同時接觸承載的齒對數(shù)n還是載荷在各齒對間的分配情況，兩模型相差不大，表明本文所建立的載荷分配數(shù)學(xué)模型具有較高的可靠性.

表1 某少齒差齒輪副主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of a small teeth difference planetary gear

圖2 齒輪副嚙合有限元模型Fig.2 Finite element model of a small teeth difference planetary gear transmission

圖3 有限元模型與數(shù)值模型對應(yīng)齒輪副承載情況Fig.3 Bearing situation of Gear pair in finite element model and mathematical model

2 用蒙特卡羅方法分析基節(jié)誤差

基節(jié)誤差屬于隨機制造誤差，為分析其對某參數(shù)齒輪副承載時同時嚙合齒對數(shù)及載荷在各嚙合齒對間分配情況的影響，必須對大量不同的隨機誤差進(jìn)行計算并統(tǒng)計，為此可引入蒙特卡羅（MC）方法.MC法即統(tǒng)計模擬方法，即對已知的數(shù)學(xué)模型的有關(guān)變量按其概率分布進(jìn)行抽樣計算并統(tǒng)計結(jié)果，隨機樣本越多，結(jié)果越準(zhǔn)確［6］.

圖4 MC法流程圖Fig.4 Flowchart of Monte Carlo method

2.1 單個齒輪副的嚙合情況分析

式中：j為外齒輪輪齒編號；Δz為內(nèi)外齒輪齒數(shù)差.

圖5 內(nèi)齒輪嚙合情況分析流程圖Fig.5 Analysis flowchart of gear pair meshing

式中：u是材料指數(shù).

2.2 大量齒輪副的分析

采用上述的算法，遍歷大量具有隨機分布基節(jié)誤差的齒輪副an，對其進(jìn)行分析，計算各齒輪副的當(dāng)量載荷系數(shù)K（a1）eq，K（a2）eq，…，K（an）eq，而后對這些數(shù)值進(jìn)行統(tǒng)計，得到其概率曲線，設(shè)計時按可靠度代入齒根彎曲應(yīng)力計算公式中.

3 實例

以某少齒差行星齒輪減速器為例進(jìn)行說明，通過MATLAB軟件生成2500對具有隨機分布基節(jié)誤差的齒輪副，圖6為某齒輪副a內(nèi)外齒輪各齒基節(jié)誤差的具體數(shù)值.

圖6 某齒輪副a的基節(jié)誤差分布圖Fig.6 Base section error distribution of one gear pair

通過圖4所示的算法對2 500對齒輪副進(jìn)行計算并統(tǒng)計，結(jié)果如圖7，8所示，其中KPeq，max為內(nèi)外齒輪相應(yīng)的最大當(dāng)量載荷系數(shù).

圖7 齒輪副K（a）eq的分布直方圖Fig.7 K（a）eq distribution histogram of gear pairs

圖8表明，可靠度為99%的設(shè)計當(dāng)量載荷系數(shù)K（a）eq為86.53%，即該參數(shù)齒輪副在嚙合時理論嚙合輪齒L0實際承擔(dān)的載荷占總載荷的比例可按85.83%等效計算.而在不考慮基節(jié)誤差的情況下，該值僅為49.53%，可見基節(jié)誤差對齒輪對實際承擔(dān)載荷的影響很大.實際嚙合過程可能出現(xiàn)兩種極端：①少數(shù)輪齒誤差較大使得各輪齒間隙加大，嚙合時出現(xiàn)單齒對完全承載，圖9為某誤差下的有限元仿真結(jié)果，可以看到載荷僅由一對齒輪承擔(dān)；②誤差抵消了部分齒廓間隙，齒廓間隙減小，同時接觸的齒對數(shù)增加.圖10為某誤差下的有限元仿真結(jié)果，可以看到出現(xiàn)5對齒同時接觸承載.

圖8 齒輪副K（a）eq的概率曲線Fig.8 K（a）eq probability curve of gear pairs

圖9 單對齒嚙合承載的情況Fig.9 Situation of bearing load by a single pair of teeth

圖10 5對齒接觸承載的情況Fig.10 Situation of bearing load by five pairs of teeth

4 結(jié)論

本文建立了考慮基節(jié)誤差的載荷分配數(shù)學(xué)模型并通過有限元仿真驗證了該模型的正確性；將蒙特卡羅方法引入到載荷分配模型中分析了基節(jié)誤差對少齒差行星齒輪嚙合情況的影響，并給出了分析的流程和算法.結(jié)果表明：計入基節(jié)誤差后少齒差行星齒輪傳動的實際承載能力將較理想情況有一定的下降，故應(yīng)考慮基節(jié)誤差的影響.

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