一次函數(shù)常見錯(cuò)解剖析

喻俊鵬

一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中“數(shù)與代數(shù)”部分的重要內(nèi)容，同學(xué)們在初學(xué)時(shí)，由于對其概念理解不透，忽視限制條件，分析考慮問題不全面，常常會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤。下面就同學(xué)們出現(xiàn)的一些常見錯(cuò)解進(jìn)行分類剖析。

一、概念理解不清出錯(cuò)

例1已知下列函數(shù)：①y=2013x；②y-8x=13；③y=■-1；④y=3x2+7；

⑤y=-■x-5，其中y是關(guān)于x的一次函數(shù)的是（ ）。

A．①③④⑤ B．②③⑤

C．①②⑤ D．②⑤

錯(cuò)解選擇“B”或“D”。

剖析形如y=kx+b（k≠0）的函數(shù)叫一次函數(shù)，其中k、b為常數(shù)，k≠0，但b可以為0，當(dāng)b=0時(shí)，函數(shù)y=kx（k≠0）為正比例函數(shù)，它是一次函數(shù)的特殊情形，上述錯(cuò)解中選擇“D”的同學(xué)就是忽略了這一點(diǎn)，而函數(shù)③、④根本就不符合一次函數(shù)的定義，選擇“B”的同學(xué)正是由于對一次函數(shù)的概念理解不清而出錯(cuò)。

正解觀察上述各函數(shù)的表達(dá)式，對照一次函數(shù)的定義，可知正確的選擇應(yīng)該是“C”。

二、忽視限制條件出錯(cuò)

例2已知函數(shù)y=（m-3）x｜m｜-2-7是一次函數(shù)，則m=_________。

錯(cuò)解由｜m｜-2=1，解得m=±3。所以所求m的值為m=3或m=-3。

剖析上述錯(cuò)誤出在忽視了一次函數(shù)y=kx+b中要求k≠0這一限制條件，因?yàn)楫?dāng)m=3時(shí)，m-3=0，此時(shí)函數(shù)解析式為y=-7，它是平行于x軸的一條直線，其直線上任意點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為-7，是一個(gè)常數(shù)函數(shù)，而非一次函數(shù)。

正解由｜m｜-2=1，解得m=±3。當(dāng)m=3時(shí)，m-3=0，故舍去，所以m=-3。

三、函數(shù)圖像與直線關(guān)系混淆出錯(cuò)

例3 已知直線y=mx-5m+4不經(jīng)過第四象限，則m的取值范圍是 ________。

錯(cuò)解由題意可知，直線過一、二、三象限或一、三象限，

所以m＞0，-5m+4≥0。解得0＜m≤■。則m的取值范圍是0＜m≤■。

剖析一次函數(shù)的圖像是直線，但直線并不一定是一次函數(shù)。本題題設(shè)中的直線就沒有說明它一定是一次函數(shù)的圖像，因此，直線y=mx-5m+4，當(dāng)m=0時(shí)，y=4，其圖像也不經(jīng)過第四象限，所以m=0也符合題設(shè)條件。上述解法正是忽視了直線y=b（b＞0）的圖像不經(jīng)過第四象限這一情況而導(dǎo)致出錯(cuò)。

正解由題設(shè)可知，直線過一、二、三象限或一、三象限，

所以m≥0，-5m+4≥0。解得0≤m≤■。則所求m的取值范圍是0≤m≤■。

四、思考問題不全面出錯(cuò)

例4已知一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)-3≤x≤1時(shí)，對應(yīng)的y的取值為1≤y≤9，則b2-k3的值等于________。

錯(cuò)解由題意知，當(dāng)x=-3時(shí)，y=1；當(dāng)x=1時(shí)，y=9，

所以-3k+b=1，k+b=9。解得k=2，b=7。所以b2-k3=72-23=41。

剖析上面的解法只考慮了y隨x的增大而增大的情形，由于題設(shè)中并沒有告訴k的取值范圍，這說明k的值可為正也可為負(fù)，因此y也可隨x的增大而減小，上面的解法正是沒有全面考慮到這一點(diǎn)而導(dǎo)致出現(xiàn)漏解錯(cuò)誤。

正解由上面的解法可求得k=2，b=7。所以b2-k3=72-23=41。

又因?yàn)楫?dāng)x=-3時(shí)，y=9；當(dāng)x=1時(shí)，y=1。

所以-3k+b=9，k+b=1。解得k=-2，b=3。所以b2-k3=32-（-2）3=17。

所以b2-k3的值為41或17。

五、讀取圖像信息出錯(cuò)

例5 甲、乙兩人在直線跑道上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速跑步500米，先到終點(diǎn)的人原地休息。已知甲先出發(fā)2秒，在跑步過程中，甲、乙兩人間的距離y（米）與乙出發(fā)的時(shí)間t（秒）之間的關(guān)系如圖1所示，有下列結(jié)論：

①a=8；②b=92；③c=123，其中正確的結(jié)論是（ ）。

■

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

錯(cuò)解選擇“B”或“C”。

剖析觀察圖像，當(dāng)t=100時(shí)，乙到達(dá)終點(diǎn)，誤認(rèn)為此時(shí)b=500，是錯(cuò)誤選擇“C”的原因所在，而錯(cuò)誤計(jì)算甲到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間為c=500÷4=125，則是錯(cuò)選“B”的主要原因。

正解由題意及讀取圖像信息可知，當(dāng)t=100時(shí)，甲已出發(fā)2秒，跑了8米，所以甲的速度是4米／秒，當(dāng)t=100時(shí)，乙到達(dá)終點(diǎn)，所以乙的速度是5米／秒，此時(shí)甲、乙兩人之間的距離為5×100-4×（100+2）=92（米），即b=92，故②正確；當(dāng)t=a時(shí)，乙追上甲，所以5a=4a+8，解得a=8（秒），所以①正確；當(dāng)t=c時(shí)，甲到達(dá)終點(diǎn)，所以c=500÷4-2=123（秒），因此③也正確，故正確答案應(yīng)選擇“A”。

一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中“數(shù)與代數(shù)”部分的重要內(nèi)容，同學(xué)們在初學(xué)時(shí)，由于對其概念理解不透，忽視限制條件，分析考慮問題不全面，常常會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤。下面就同學(xué)們出現(xiàn)的一些常見錯(cuò)解進(jìn)行分類剖析。

一、概念理解不清出錯(cuò)

例1已知下列函數(shù)：①y=2013x；②y-8x=13；③y=■-1；④y=3x2+7；

⑤y=-■x-5，其中y是關(guān)于x的一次函數(shù)的是（ ）。

A．①③④⑤ B．②③⑤

C．①②⑤ D．②⑤

錯(cuò)解選擇“B”或“D”。

剖析形如y=kx+b（k≠0）的函數(shù)叫一次函數(shù)，其中k、b為常數(shù)，k≠0，但b可以為0，當(dāng)b=0時(shí)，函數(shù)y=kx（k≠0）為正比例函數(shù)，它是一次函數(shù)的特殊情形，上述錯(cuò)解中選擇“D”的同學(xué)就是忽略了這一點(diǎn)，而函數(shù)③、④根本就不符合一次函數(shù)的定義，選擇“B”的同學(xué)正是由于對一次函數(shù)的概念理解不清而出錯(cuò)。

正解觀察上述各函數(shù)的表達(dá)式，對照一次函數(shù)的定義，可知正確的選擇應(yīng)該是“C”。

二、忽視限制條件出錯(cuò)

例2已知函數(shù)y=（m-3）x｜m｜-2-7是一次函數(shù)，則m=_________。

錯(cuò)解由｜m｜-2=1，解得m=±3。所以所求m的值為m=3或m=-3。

剖析上述錯(cuò)誤出在忽視了一次函數(shù)y=kx+b中要求k≠0這一限制條件，因?yàn)楫?dāng)m=3時(shí)，m-3=0，此時(shí)函數(shù)解析式為y=-7，它是平行于x軸的一條直線，其直線上任意點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為-7，是一個(gè)常數(shù)函數(shù)，而非一次函數(shù)。

正解由｜m｜-2=1，解得m=±3。當(dāng)m=3時(shí)，m-3=0，故舍去，所以m=-3。

三、函數(shù)圖像與直線關(guān)系混淆出錯(cuò)

例3 已知直線y=mx-5m+4不經(jīng)過第四象限，則m的取值范圍是 ________。

錯(cuò)解由題意可知，直線過一、二、三象限或一、三象限，

所以m＞0，-5m+4≥0。解得0＜m≤■。則m的取值范圍是0＜m≤■。

剖析一次函數(shù)的圖像是直線，但直線并不一定是一次函數(shù)。本題題設(shè)中的直線就沒有說明它一定是一次函數(shù)的圖像，因此，直線y=mx-5m+4，當(dāng)m=0時(shí)，y=4，其圖像也不經(jīng)過第四象限，所以m=0也符合題設(shè)條件。上述解法正是忽視了直線y=b（b＞0）的圖像不經(jīng)過第四象限這一情況而導(dǎo)致出錯(cuò)。

正解由題設(shè)可知，直線過一、二、三象限或一、三象限，

所以m≥0，-5m+4≥0。解得0≤m≤■。則所求m的取值范圍是0≤m≤■。

四、思考問題不全面出錯(cuò)

例4已知一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)-3≤x≤1時(shí)，對應(yīng)的y的取值為1≤y≤9，則b2-k3的值等于________。

錯(cuò)解由題意知，當(dāng)x=-3時(shí)，y=1；當(dāng)x=1時(shí)，y=9，

所以-3k+b=1，k+b=9。解得k=2，b=7。所以b2-k3=72-23=41。

剖析上面的解法只考慮了y隨x的增大而增大的情形，由于題設(shè)中并沒有告訴k的取值范圍，這說明k的值可為正也可為負(fù)，因此y也可隨x的增大而減小，上面的解法正是沒有全面考慮到這一點(diǎn)而導(dǎo)致出現(xiàn)漏解錯(cuò)誤。

正解由上面的解法可求得k=2，b=7。所以b2-k3=72-23=41。

又因?yàn)楫?dāng)x=-3時(shí)，y=9；當(dāng)x=1時(shí)，y=1。

所以-3k+b=9，k+b=1。解得k=-2，b=3。所以b2-k3=32-（-2）3=17。

所以b2-k3的值為41或17。

五、讀取圖像信息出錯(cuò)

例5 甲、乙兩人在直線跑道上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速跑步500米，先到終點(diǎn)的人原地休息。已知甲先出發(fā)2秒，在跑步過程中，甲、乙兩人間的距離y（米）與乙出發(fā)的時(shí)間t（秒）之間的關(guān)系如圖1所示，有下列結(jié)論：

①a=8；②b=92；③c=123，其中正確的結(jié)論是（ ）。

■

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

錯(cuò)解選擇“B”或“C”。

剖析觀察圖像，當(dāng)t=100時(shí)，乙到達(dá)終點(diǎn)，誤認(rèn)為此時(shí)b=500，是錯(cuò)誤選擇“C”的原因所在，而錯(cuò)誤計(jì)算甲到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間為c=500÷4=125，則是錯(cuò)選“B”的主要原因。

正解由題意及讀取圖像信息可知，當(dāng)t=100時(shí)，甲已出發(fā)2秒，跑了8米，所以甲的速度是4米／秒，當(dāng)t=100時(shí)，乙到達(dá)終點(diǎn)，所以乙的速度是5米／秒，此時(shí)甲、乙兩人之間的距離為5×100-4×（100+2）=92（米），即b=92，故②正確；當(dāng)t=a時(shí)，乙追上甲，所以5a=4a+8，解得a=8（秒），所以①正確；當(dāng)t=c時(shí)，甲到達(dá)終點(diǎn)，所以c=500÷4-2=123（秒），因此③也正確，故正確答案應(yīng)選擇“A”。

一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中“數(shù)與代數(shù)”部分的重要內(nèi)容，同學(xué)們在初學(xué)時(shí)，由于對其概念理解不透，忽視限制條件，分析考慮問題不全面，常常會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤。下面就同學(xué)們出現(xiàn)的一些常見錯(cuò)解進(jìn)行分類剖析。

一、概念理解不清出錯(cuò)

例1已知下列函數(shù)：①y=2013x；②y-8x=13；③y=■-1；④y=3x2+7；

⑤y=-■x-5，其中y是關(guān)于x的一次函數(shù)的是（ ）。

A．①③④⑤ B．②③⑤

C．①②⑤ D．②⑤

錯(cuò)解選擇“B”或“D”。

剖析形如y=kx+b（k≠0）的函數(shù)叫一次函數(shù)，其中k、b為常數(shù)，k≠0，但b可以為0，當(dāng)b=0時(shí)，函數(shù)y=kx（k≠0）為正比例函數(shù)，它是一次函數(shù)的特殊情形，上述錯(cuò)解中選擇“D”的同學(xué)就是忽略了這一點(diǎn)，而函數(shù)③、④根本就不符合一次函數(shù)的定義，選擇“B”的同學(xué)正是由于對一次函數(shù)的概念理解不清而出錯(cuò)。

正解觀察上述各函數(shù)的表達(dá)式，對照一次函數(shù)的定義，可知正確的選擇應(yīng)該是“C”。

二、忽視限制條件出錯(cuò)

例2已知函數(shù)y=（m-3）x｜m｜-2-7是一次函數(shù)，則m=_________。

錯(cuò)解由｜m｜-2=1，解得m=±3。所以所求m的值為m=3或m=-3。

剖析上述錯(cuò)誤出在忽視了一次函數(shù)y=kx+b中要求k≠0這一限制條件，因?yàn)楫?dāng)m=3時(shí)，m-3=0，此時(shí)函數(shù)解析式為y=-7，它是平行于x軸的一條直線，其直線上任意點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為-7，是一個(gè)常數(shù)函數(shù)，而非一次函數(shù)。

正解由｜m｜-2=1，解得m=±3。當(dāng)m=3時(shí)，m-3=0，故舍去，所以m=-3。

三、函數(shù)圖像與直線關(guān)系混淆出錯(cuò)

例3 已知直線y=mx-5m+4不經(jīng)過第四象限，則m的取值范圍是 ________。

錯(cuò)解由題意可知，直線過一、二、三象限或一、三象限，

所以m＞0，-5m+4≥0。解得0＜m≤■。則m的取值范圍是0＜m≤■。

剖析一次函數(shù)的圖像是直線，但直線并不一定是一次函數(shù)。本題題設(shè)中的直線就沒有說明它一定是一次函數(shù)的圖像，因此，直線y=mx-5m+4，當(dāng)m=0時(shí)，y=4，其圖像也不經(jīng)過第四象限，所以m=0也符合題設(shè)條件。上述解法正是忽視了直線y=b（b＞0）的圖像不經(jīng)過第四象限這一情況而導(dǎo)致出錯(cuò)。

正解由題設(shè)可知，直線過一、二、三象限或一、三象限，

所以m≥0，-5m+4≥0。解得0≤m≤■。則所求m的取值范圍是0≤m≤■。

四、思考問題不全面出錯(cuò)

例4已知一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)-3≤x≤1時(shí)，對應(yīng)的y的取值為1≤y≤9，則b2-k3的值等于________。

錯(cuò)解由題意知，當(dāng)x=-3時(shí)，y=1；當(dāng)x=1時(shí)，y=9，

所以-3k+b=1，k+b=9。解得k=2，b=7。所以b2-k3=72-23=41。

剖析上面的解法只考慮了y隨x的增大而增大的情形，由于題設(shè)中并沒有告訴k的取值范圍，這說明k的值可為正也可為負(fù)，因此y也可隨x的增大而減小，上面的解法正是沒有全面考慮到這一點(diǎn)而導(dǎo)致出現(xiàn)漏解錯(cuò)誤。

正解由上面的解法可求得k=2，b=7。所以b2-k3=72-23=41。

又因?yàn)楫?dāng)x=-3時(shí)，y=9；當(dāng)x=1時(shí)，y=1。

所以-3k+b=9，k+b=1。解得k=-2，b=3。所以b2-k3=32-（-2）3=17。

所以b2-k3的值為41或17。

五、讀取圖像信息出錯(cuò)

例5 甲、乙兩人在直線跑道上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速跑步500米，先到終點(diǎn)的人原地休息。已知甲先出發(fā)2秒，在跑步過程中，甲、乙兩人間的距離y（米）與乙出發(fā)的時(shí)間t（秒）之間的關(guān)系如圖1所示，有下列結(jié)論：

①a=8；②b=92；③c=123，其中正確的結(jié)論是（ ）。

■

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

錯(cuò)解選擇“B”或“C”。

剖析觀察圖像，當(dāng)t=100時(shí)，乙到達(dá)終點(diǎn)，誤認(rèn)為此時(shí)b=500，是錯(cuò)誤選擇“C”的原因所在，而錯(cuò)誤計(jì)算甲到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間為c=500÷4=125，則是錯(cuò)選“B”的主要原因。

正解由題意及讀取圖像信息可知，當(dāng)t=100時(shí)，甲已出發(fā)2秒，跑了8米，所以甲的速度是4米／秒，當(dāng)t=100時(shí)，乙到達(dá)終點(diǎn)，所以乙的速度是5米／秒，此時(shí)甲、乙兩人之間的距離為5×100-4×（100+2）=92（米），即b=92，故②正確；當(dāng)t=a時(shí)，乙追上甲，所以5a=4a+8，解得a=8（秒），所以①正確；當(dāng)t=c時(shí)，甲到達(dá)終點(diǎn)，所以c=500÷4-2=123（秒），因此③也正確，故正確答案應(yīng)選擇“A”。