生活中的一次函數(shù)

劉頓

眾所周知，一次函數(shù)的表達(dá)式綜合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組等知識，并能較好地實現(xiàn)數(shù)與形的有機結(jié)合，在生活中的應(yīng)用極為廣泛，因此一次函數(shù)應(yīng)用題一直是中考試題中頻繁出現(xiàn)的考點，是近年中考數(shù)學(xué)命題的熱點之一。下面舉例說明。

一、行程問題

例1（2013年湖北省宜昌市中考題）A、B兩地相距1 100米，甲從A地出發(fā)，乙從B地出發(fā)，相向而行，甲比乙先出發(fā)2分鐘，乙出發(fā)7分鐘后與甲相遇，設(shè)甲、乙兩人相距y米，甲行進(jìn)的時間為t分鐘，y與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示。請你結(jié)合圖像探究：

（1）甲的行進(jìn)速度為每分鐘＿＿＿米，m＝＿＿＿分鐘。

（2）求直線PQ對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。

（3）求乙的行進(jìn)速度。

■

分析（1）由圖像知，2分鐘時，甲的行進(jìn)路程為1 100－980＝120（米），可得甲的行進(jìn)速度為60（米/分鐘），由圖像再結(jié)合題意可知，相遇時y＝0，此時m＝2+7＝9（分鐘）；（2）根據(jù)P、Q兩點坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求直線PQ對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）應(yīng)用相遇時路程和為1 100米列方程，即可求乙的行進(jìn)速度。

解（1）甲的行進(jìn)速度＝■＝60（米/分鐘），m＝2+7＝9（分鐘）。

（2）設(shè)PQ所在直線的解析式為y＝kt+b。因為P（0，1 100），Q（2，980）在直線PQ上，所以b=1 100,2k+b=980,解得k=-60,b=1100。所以直線PQ的函數(shù)關(guān)系式為

y＝－60t+1 100。

（3）設(shè)乙的行進(jìn)速度為x米/分鐘，由題意得60×9+7x＝1 100，解得x＝80（米／分鐘），所以乙的行進(jìn)速度為80米/分鐘。

二、方案選擇

例2（2013年湖北省襄陽市中考題）某社區(qū)活動中心為鼓勵居民加強體育鍛煉，準(zhǔn)備購買10副某種品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）個羽毛球，供社區(qū)居民免費借用。該社區(qū)附近A、B兩家超市都有這種品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的標(biāo)價均為30元，每個羽毛球的標(biāo)價均為3元，目前兩家超市同時在做促銷活動。

A超市：所有商品均打九折（按標(biāo)價的90%）銷售；

B超市：買一副羽毛球拍送2個羽毛球。

設(shè)在A超市購買羽毛球拍和羽毛球的費用為yA（元），在B超市購買羽毛球拍和羽毛球的費用為yB（元）。請解答下列問題：

（1）分別寫出yA和yB與x之間的關(guān)系式；

（2）若該活動中心只在一家超市購買，你認(rèn)為在哪家超市購買更劃算？

（3）若每副球拍配15個羽毛球，請你幫助該活動中心設(shè)計出最省錢的購買方案。

分析（1）根據(jù)題意，直接寫出yA和yB與x之間的關(guān)系式。（2）問在第（1）問的基礎(chǔ)上，分類討論，得到對應(yīng)的自變量x的取值范圍。（3）問須在（2）問的基礎(chǔ)上再次分類討論，特別需要提醒的是，這里不再限制“只在一家超市購買”，所以要考慮到B超市免費送羽毛球的情況，經(jīng)過計算、比較，得到最佳的購買方案。

解（1）依題意，得yA＝27x+270，yB＝30×10+3×（x-2）×10=30x+240。

（2）當(dāng)yA＝y(tǒng)B時，27x+270＝30x+240，解得x＝10；當(dāng)yA＞yB時，27x+270＞30x+240，解得x＜10；當(dāng)yA＜yB時，27x+270＜30x+240，解得x＞10。

所以當(dāng)2≤x＜10時，到B超市購買劃算；當(dāng)x＝10時，兩家超市都一樣；當(dāng)x＞10時，到A超市購買劃算。

（3）因為x＝15＞10，所以①選擇在A超市購買，yA＝27×15+270＝675（元）；②可先在B超市購買10副羽毛球拍，送20個羽毛球，后在A超市購買剩下的羽毛球（10×15－20＝130個），則共需費用：10×30+130×3×0.9＝651（元）。而651＜675，所以最省錢的購買方案是：先在B超市購買10副羽毛球拍，后在A超市購買130個羽毛球。

三、產(chǎn)品銷售

例3（2013年湖北省荊州市中考題）某個體戶購進(jìn)一批時令水果，20天銷售完畢。他將本次銷售情況進(jìn)行了跟蹤記錄，根據(jù)所記錄的數(shù)據(jù)可繪制如圖2所示的函數(shù)圖像，其中日銷售量y（千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2-甲所示，銷售單價p（元/千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2-乙所示。

（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）分別求出第10天和第15天的銷售金額。

■

分析（1）從圖像不難看出，y與x之間屬于分段函數(shù)關(guān)系，一段是正比例函數(shù)，一段是一次函數(shù)，根據(jù)圖像上的點(15，30)、(20，0)，運用待定系數(shù)法即可求解。（2）需要從圖2-甲中獲取第10天和第15天的日銷售量信息，從圖2-乙中計算這兩天的銷售單價，兩者之積即為銷售金額。

解（1）依題意得，當(dāng)0≤x≤15時，設(shè)其解析式為y＝kx，則有30＝15k，解得k＝2，所以y＝2x；當(dāng)15＜x≤20時，設(shè)其解析式為y＝kx+b，則有30=15k+b，0=20k+b。解得k=-6,b=120。

所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝2x（0≤x≤15），-6x+120（15＜x≤20）。

（2）設(shè)銷售單價p（元/千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系為

p＝kx+b（10≤x≤20），把(10，10)、(20，8)代入，得10k+b=10，20k+b=8。解得k=-■，b=12。所以p＝－■x+12（10≤x≤20）。當(dāng)x＝15時，p＝－■×15+12＝9（元/千克）。即第10天的銷售金額為：2×10×10＝200（元）；第15天的銷售金額為：30×9＝270（元）。

眾所周知，一次函數(shù)的表達(dá)式綜合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組等知識，并能較好地實現(xiàn)數(shù)與形的有機結(jié)合，在生活中的應(yīng)用極為廣泛，因此一次函數(shù)應(yīng)用題一直是中考試題中頻繁出現(xiàn)的考點，是近年中考數(shù)學(xué)命題的熱點之一。下面舉例說明。

一、行程問題

例1（2013年湖北省宜昌市中考題）A、B兩地相距1 100米，甲從A地出發(fā)，乙從B地出發(fā)，相向而行，甲比乙先出發(fā)2分鐘，乙出發(fā)7分鐘后與甲相遇，設(shè)甲、乙兩人相距y米，甲行進(jìn)的時間為t分鐘，y與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示。請你結(jié)合圖像探究：

（1）甲的行進(jìn)速度為每分鐘＿＿＿米，m＝＿＿＿分鐘。

（2）求直線PQ對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。

（3）求乙的行進(jìn)速度。

■

分析（1）由圖像知，2分鐘時，甲的行進(jìn)路程為1 100－980＝120（米），可得甲的行進(jìn)速度為60（米/分鐘），由圖像再結(jié)合題意可知，相遇時y＝0，此時m＝2+7＝9（分鐘）；（2）根據(jù)P、Q兩點坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求直線PQ對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）應(yīng)用相遇時路程和為1 100米列方程，即可求乙的行進(jìn)速度。

解（1）甲的行進(jìn)速度＝■＝60（米/分鐘），m＝2+7＝9（分鐘）。

（2）設(shè)PQ所在直線的解析式為y＝kt+b。因為P（0，1 100），Q（2，980）在直線PQ上，所以b=1 100,2k+b=980,解得k=-60,b=1100。所以直線PQ的函數(shù)關(guān)系式為

y＝－60t+1 100。

（3）設(shè)乙的行進(jìn)速度為x米/分鐘，由題意得60×9+7x＝1 100，解得x＝80（米／分鐘），所以乙的行進(jìn)速度為80米/分鐘。

二、方案選擇

例2（2013年湖北省襄陽市中考題）某社區(qū)活動中心為鼓勵居民加強體育鍛煉，準(zhǔn)備購買10副某種品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）個羽毛球，供社區(qū)居民免費借用。該社區(qū)附近A、B兩家超市都有這種品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的標(biāo)價均為30元，每個羽毛球的標(biāo)價均為3元，目前兩家超市同時在做促銷活動。

A超市：所有商品均打九折（按標(biāo)價的90%）銷售；

B超市：買一副羽毛球拍送2個羽毛球。

設(shè)在A超市購買羽毛球拍和羽毛球的費用為yA（元），在B超市購買羽毛球拍和羽毛球的費用為yB（元）。請解答下列問題：

（1）分別寫出yA和yB與x之間的關(guān)系式；

（2）若該活動中心只在一家超市購買，你認(rèn)為在哪家超市購買更劃算？

（3）若每副球拍配15個羽毛球，請你幫助該活動中心設(shè)計出最省錢的購買方案。

分析（1）根據(jù)題意，直接寫出yA和yB與x之間的關(guān)系式。（2）問在第（1）問的基礎(chǔ)上，分類討論，得到對應(yīng)的自變量x的取值范圍。（3）問須在（2）問的基礎(chǔ)上再次分類討論，特別需要提醒的是，這里不再限制“只在一家超市購買”，所以要考慮到B超市免費送羽毛球的情況，經(jīng)過計算、比較，得到最佳的購買方案。

解（1）依題意，得yA＝27x+270，yB＝30×10+3×（x-2）×10=30x+240。

（2）當(dāng)yA＝y(tǒng)B時，27x+270＝30x+240，解得x＝10；當(dāng)yA＞yB時，27x+270＞30x+240，解得x＜10；當(dāng)yA＜yB時，27x+270＜30x+240，解得x＞10。

所以當(dāng)2≤x＜10時，到B超市購買劃算；當(dāng)x＝10時，兩家超市都一樣；當(dāng)x＞10時，到A超市購買劃算。

（3）因為x＝15＞10，所以①選擇在A超市購買，yA＝27×15+270＝675（元）；②可先在B超市購買10副羽毛球拍，送20個羽毛球，后在A超市購買剩下的羽毛球（10×15－20＝130個），則共需費用：10×30+130×3×0.9＝651（元）。而651＜675，所以最省錢的購買方案是：先在B超市購買10副羽毛球拍，后在A超市購買130個羽毛球。

三、產(chǎn)品銷售

例3（2013年湖北省荊州市中考題）某個體戶購進(jìn)一批時令水果，20天銷售完畢。他將本次銷售情況進(jìn)行了跟蹤記錄，根據(jù)所記錄的數(shù)據(jù)可繪制如圖2所示的函數(shù)圖像，其中日銷售量y（千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2-甲所示，銷售單價p（元/千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2-乙所示。

（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）分別求出第10天和第15天的銷售金額。

■

分析（1）從圖像不難看出，y與x之間屬于分段函數(shù)關(guān)系，一段是正比例函數(shù)，一段是一次函數(shù)，根據(jù)圖像上的點(15，30)、(20，0)，運用待定系數(shù)法即可求解。（2）需要從圖2-甲中獲取第10天和第15天的日銷售量信息，從圖2-乙中計算這兩天的銷售單價，兩者之積即為銷售金額。

解（1）依題意得，當(dāng)0≤x≤15時，設(shè)其解析式為y＝kx，則有30＝15k，解得k＝2，所以y＝2x；當(dāng)15＜x≤20時，設(shè)其解析式為y＝kx+b，則有30=15k+b，0=20k+b。解得k=-6,b=120。

所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝2x（0≤x≤15），-6x+120（15＜x≤20）。

（2）設(shè)銷售單價p（元/千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系為

p＝kx+b（10≤x≤20），把(10，10)、(20，8)代入，得10k+b=10，20k+b=8。解得k=-■，b=12。所以p＝－■x+12（10≤x≤20）。當(dāng)x＝15時，p＝－■×15+12＝9（元/千克）。即第10天的銷售金額為：2×10×10＝200（元）；第15天的銷售金額為：30×9＝270（元）。

眾所周知，一次函數(shù)的表達(dá)式綜合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組等知識，并能較好地實現(xiàn)數(shù)與形的有機結(jié)合，在生活中的應(yīng)用極為廣泛，因此一次函數(shù)應(yīng)用題一直是中考試題中頻繁出現(xiàn)的考點，是近年中考數(shù)學(xué)命題的熱點之一。下面舉例說明。

一、行程問題

例1（2013年湖北省宜昌市中考題）A、B兩地相距1 100米，甲從A地出發(fā)，乙從B地出發(fā)，相向而行，甲比乙先出發(fā)2分鐘，乙出發(fā)7分鐘后與甲相遇，設(shè)甲、乙兩人相距y米，甲行進(jìn)的時間為t分鐘，y與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示。請你結(jié)合圖像探究：

（1）甲的行進(jìn)速度為每分鐘＿＿＿米，m＝＿＿＿分鐘。

（2）求直線PQ對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。

（3）求乙的行進(jìn)速度。

■

分析（1）由圖像知，2分鐘時，甲的行進(jìn)路程為1 100－980＝120（米），可得甲的行進(jìn)速度為60（米/分鐘），由圖像再結(jié)合題意可知，相遇時y＝0，此時m＝2+7＝9（分鐘）；（2）根據(jù)P、Q兩點坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求直線PQ對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）應(yīng)用相遇時路程和為1 100米列方程，即可求乙的行進(jìn)速度。

解（1）甲的行進(jìn)速度＝■＝60（米/分鐘），m＝2+7＝9（分鐘）。

（2）設(shè)PQ所在直線的解析式為y＝kt+b。因為P（0，1 100），Q（2，980）在直線PQ上，所以b=1 100,2k+b=980,解得k=-60,b=1100。所以直線PQ的函數(shù)關(guān)系式為

y＝－60t+1 100。

（3）設(shè)乙的行進(jìn)速度為x米/分鐘，由題意得60×9+7x＝1 100，解得x＝80（米／分鐘），所以乙的行進(jìn)速度為80米/分鐘。

二、方案選擇

例2（2013年湖北省襄陽市中考題）某社區(qū)活動中心為鼓勵居民加強體育鍛煉，準(zhǔn)備購買10副某種品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）個羽毛球，供社區(qū)居民免費借用。該社區(qū)附近A、B兩家超市都有這種品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的標(biāo)價均為30元，每個羽毛球的標(biāo)價均為3元，目前兩家超市同時在做促銷活動。

A超市：所有商品均打九折（按標(biāo)價的90%）銷售；

B超市：買一副羽毛球拍送2個羽毛球。

設(shè)在A超市購買羽毛球拍和羽毛球的費用為yA（元），在B超市購買羽毛球拍和羽毛球的費用為yB（元）。請解答下列問題：

（1）分別寫出yA和yB與x之間的關(guān)系式；

（2）若該活動中心只在一家超市購買，你認(rèn)為在哪家超市購買更劃算？

（3）若每副球拍配15個羽毛球，請你幫助該活動中心設(shè)計出最省錢的購買方案。

分析（1）根據(jù)題意，直接寫出yA和yB與x之間的關(guān)系式。（2）問在第（1）問的基礎(chǔ)上，分類討論，得到對應(yīng)的自變量x的取值范圍。（3）問須在（2）問的基礎(chǔ)上再次分類討論，特別需要提醒的是，這里不再限制“只在一家超市購買”，所以要考慮到B超市免費送羽毛球的情況，經(jīng)過計算、比較，得到最佳的購買方案。

解（1）依題意，得yA＝27x+270，yB＝30×10+3×（x-2）×10=30x+240。

（2）當(dāng)yA＝y(tǒng)B時，27x+270＝30x+240，解得x＝10；當(dāng)yA＞yB時，27x+270＞30x+240，解得x＜10；當(dāng)yA＜yB時，27x+270＜30x+240，解得x＞10。

所以當(dāng)2≤x＜10時，到B超市購買劃算；當(dāng)x＝10時，兩家超市都一樣；當(dāng)x＞10時，到A超市購買劃算。

（3）因為x＝15＞10，所以①選擇在A超市購買，yA＝27×15+270＝675（元）；②可先在B超市購買10副羽毛球拍，送20個羽毛球，后在A超市購買剩下的羽毛球（10×15－20＝130個），則共需費用：10×30+130×3×0.9＝651（元）。而651＜675，所以最省錢的購買方案是：先在B超市購買10副羽毛球拍，后在A超市購買130個羽毛球。

三、產(chǎn)品銷售

例3（2013年湖北省荊州市中考題）某個體戶購進(jìn)一批時令水果，20天銷售完畢。他將本次銷售情況進(jìn)行了跟蹤記錄，根據(jù)所記錄的數(shù)據(jù)可繪制如圖2所示的函數(shù)圖像，其中日銷售量y（千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2-甲所示，銷售單價p（元/千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2-乙所示。

（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）分別求出第10天和第15天的銷售金額。

■

分析（1）從圖像不難看出，y與x之間屬于分段函數(shù)關(guān)系，一段是正比例函數(shù)，一段是一次函數(shù)，根據(jù)圖像上的點(15，30)、(20，0)，運用待定系數(shù)法即可求解。（2）需要從圖2-甲中獲取第10天和第15天的日銷售量信息，從圖2-乙中計算這兩天的銷售單價，兩者之積即為銷售金額。

解（1）依題意得，當(dāng)0≤x≤15時，設(shè)其解析式為y＝kx，則有30＝15k，解得k＝2，所以y＝2x；當(dāng)15＜x≤20時，設(shè)其解析式為y＝kx+b，則有30=15k+b，0=20k+b。解得k=-6,b=120。

所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝2x（0≤x≤15），-6x+120（15＜x≤20）。

（2）設(shè)銷售單價p（元/千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系為

p＝kx+b（10≤x≤20），把(10，10)、(20，8)代入，得10k+b=10，20k+b=8。解得k=-■，b=12。所以p＝－■x+12（10≤x≤20）。當(dāng)x＝15時，p＝－■×15+12＝9（元/千克）。即第10天的銷售金額為：2×10×10＝200（元）；第15天的銷售金額為：30×9＝270（元）。