數(shù)學(xué)問題開放化與學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的意義

安嵩

所謂先“學(xué)會怎么做，再懂得為什么”的教學(xué)方法，雖然可以有效地提高學(xué)生的解題正確率與卷面成績，卻可能隱藏著“知其然而不知其所以然”的隱患。即學(xué)生只擅長在理想化條件中按照特定的模式得到答案，而不具備運用數(shù)學(xué)手段解決實際生活中問題的能力。上世紀80年代美國數(shù)學(xué)教育工作者們也發(fā)現(xiàn)學(xué)生雖有一定的計算技能和數(shù)學(xué)知識，但卻嚴重缺乏運用數(shù)學(xué)知識去解決實際問題的能力。因此，以構(gòu)建主義為原則，以“解決問題”為中心的數(shù)學(xué)課程應(yīng)運而生，并實行了20余年，而此“解決問題”中所指的“問題”即開放性問題。

1.“封閉”的數(shù)學(xué)教育與創(chuàng)造力和數(shù)感的喪失。

學(xué)校教育或許成為讓學(xué)生降低甚至喪失數(shù)感和數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的一個重要因素。我在近些年曾經(jīng)做過一項研究，讓華東某省會城市一所小學(xué)四至六年級的各兩個班的學(xué)生分別去解答一系列相同的開放性問題，再比較不同年級學(xué)生的解題方法與最終答案。此項研究的結(jié)果并不符合教師們常規(guī)的預(yù)期，即高年級學(xué)生應(yīng)該具有更成熟、更多樣化的解題方法，以及更準確的答案，恰恰相反，我們的研究發(fā)現(xiàn)中年級學(xué)生反而展現(xiàn)出了更具創(chuàng)造性和可行性的解題方法；同時，正是由于低年級學(xué)生的解題方法往往更基于生活常識背景，且更少地受純數(shù)學(xué)公式和概念的限制，他們的最終答案的準確率也普遍高于他們的高年級學(xué)哥學(xué)姐們。

在此項研究中有一道題目是讓四至六年級的學(xué)生們估算，用他們自己的方法和工具去測量學(xué)校體育場的面積。此體育場（類似標準田徑場）是一個由直線和圓弧所組成的“不規(guī)則形狀”，學(xué)生無法套用幾何面積計算公式直接得出準確答案。然而，很多高年級學(xué)生在估算和測量體育場面積時傾向于選擇他們所學(xué)過的“最高級”面積單位（如公頃和平方千米），幾何計算公式（如圓的面積公式）和測量工具（如卷尺）。在估算方面，高年級學(xué)生更多地選擇公頃和平方千米作為估算基準單位同時配以圓的面積公式來“精確”他們的答案；在測量工具選擇方面，高年級學(xué)生往往只局限于使用有精準刻度的卷尺。然而，公頃和平方千米作為“大面積單位”在測量體育場面積時顯然過大，加上大部分學(xué)生對這兩個面積單位缺乏感性認識，導(dǎo)致很多學(xué)生過大地估算了體育場的面積；圓的面積公式作為一種理想化的“規(guī)則面積公式”在此例中也不適于進行估算與計算體育場面積；另外，卷尺作為一種相對精準的標準化測量工具在此例中的使用與其他“非標準化的測量工具”相比也絲毫不占優(yōu)勢。最后，相當一部分六年級的學(xué)生確信他們估算答案的準確性，選擇了不去體育場做實地測量而直接用估算答案作為他們的測量答案，從而導(dǎo)致了較高的錯誤率。

反觀四年級學(xué)生的估算和測量方法，我們得到了很多驚喜。驚喜之一是學(xué)生們使用了相對適合的面積單位進行估算。在估算方面，“平方米”作為一個他們在日常生活中所熟知的面積單位被廣泛地使用，這是由于學(xué)生對“平方米”這個計量單位有著較為準確的感性認識，在估算時，往往可以得到較為精確的答案；個別有著農(nóng)村生活體驗的學(xué)生甚至使用了一些教科書中不太涉及的面積單位“畝”作為他們估算的基準單位，使用這個單位的學(xué)生們也都相對準確地估算出了體育場的面積。驚喜之二是學(xué)生們使用了極具多樣性的測量工具進行實地測量，大掃帚、樹枝、跳繩、竹竿等超過13種日常生活用品被學(xué)生當成測量工具，這些他們在日常生活中所熟知的物品在手中變成了比“卷尺”更加靈活的非標準化測量工具，讓他們得出了比高年級學(xué)生更為精準的答案。

四年級學(xué)生帶給我們的驚喜也正是我們的擔憂所在：當這批學(xué)生升入高年級后，他們在面對開放性問題時所展現(xiàn)出的創(chuàng)造性，數(shù)感的靈活性是否會被反復(fù)的、封閉的數(shù)學(xué)訓(xùn)練所磨滅？他們在升入高年級后是否會陷入和他們前輩一樣的誤區(qū)？這些問題值得我們反思。

2.簡單的數(shù)學(xué)題也需要“開放化”。

學(xué)生問：“1+1在什么情況下不等于2？”作為一名合格的教師該如何回答學(xué)生這樣的提問？“在算錯的情況下不等于2！”如果簡單地用喜劇小品中的語言來應(yīng)付學(xué)生的話，會造成學(xué)生對數(shù)理認識和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生很大的誤區(qū)。其實，1+1在很多情況下是可以不等于2的。例如，在2進制中1+1=10（注：此處的10只代表數(shù)字1和0，與數(shù)字“十”有著完全不同的意義）。這個例子說明開放性的問題，并不一定需要具體的生活背景和嚴格的文字表述，即便簡單的數(shù)字，經(jīng)過條件的改變也是可以設(shè)計出開放性的問題的。

一個普遍的誤區(qū)是把開放性問題簡單等同于“文字題”或“應(yīng)用題”，認為有若干文字描述的非選擇題和非單純性數(shù)字計算題都是開放性問題。然而，在大多數(shù)情況下，我們提供給學(xué)生的“應(yīng)用題”缺乏足夠的彈性空間，學(xué)生難以用自己的方法去進行探索并驗證答案。此處我們所指的開放并不只是指題目和答案的開放，而是一種思維的開放和探究的開放，即學(xué)生需要有一個開放的探索空間和合作環(huán)境來利用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)知識和手段去獲取和理解新的數(shù)學(xué)知識。

數(shù)學(xué)，對于低年級學(xué)生來說是一種新的“語言”，是需要有著充分“開放”的思維空間來理解和感悟其結(jié)構(gòu)與規(guī)律的。數(shù)字，作為這個新的“語言系統(tǒng)”中的元素，對大部分剛剛接觸數(shù)學(xué)教育的低年級學(xué)生來說是陌生的。通過不斷重復(fù)的訓(xùn)練，我們確實可以讓學(xué)生看似“懂得了”數(shù)學(xué)，但在大多數(shù)情況下，學(xué)生對“數(shù)學(xué)究竟是什么？”缺乏基本的理解。例如，大部分學(xué)生可以輕松地算出4與6之和等于10，然而真正懂得“6+4為什么等于10？為什么兩個一位數(shù)（4和6）相加會變成一個兩位數(shù)（10）？”的學(xué)生卻并不多。在進行基礎(chǔ)教育的時候，教師們可以把這些簡單的數(shù)學(xué)問題開放化，讓學(xué)生有自由探索與思考數(shù)學(xué)的機會，從而理解數(shù)學(xué)?？梢宰寣W(xué)生探究在不同進制中（9進制、8進制和7進制中）6+4的答案，并在此過程中了解每個數(shù)位和數(shù)字的真正含義。

3.促進思維開放化，給學(xué)生更多的機會去理解數(shù)學(xué)。

在日常生活中，人們往往根據(jù)不同情況和需要去選擇合適的交通工具。每個人都知道“坐車”與“開車”，“騎車”和“走路”在不同的環(huán)境中，有著各自不同的利弊，僅僅使用一種交通工具是無法滿足人們的日常需要的。然而，在數(shù)學(xué)教育中，有些教師恰恰犯了這樣的常識性的“錯誤”，即只教授學(xué)生如何“在快車道上行駛”而忽略了學(xué)生在“慢車道上騎車”和“在人行道上走路”的訓(xùn)練。在許多情況下，為了追求運算速度和正確率，教師們往往指定學(xué)生去“記住答案”和“套用公式”直接得到答案。例如，有些教師在學(xué)生缺乏充分探究和理解的情況下，即要求學(xué)生強記基本運算結(jié)果（如7+8=15，8×9=72等）和套用基本運算公式（如必須使用豎式進行乘除法的計算等），此教學(xué)方法雖然可以迅速提高學(xué)生的運算速度，卻讓學(xué)生喪失了對“數(shù)學(xué)世界”的理解。

數(shù)學(xué)，對于很多學(xué)生來說，是一個浩瀚的世界，但知道數(shù)學(xué)世界中每個“景點”之間有著千絲萬縷的聯(lián)系并不多。如果教師只提供給學(xué)生一種方法去探索數(shù)學(xué)世界，學(xué)生對這個世界的理解將必然是片面的。只有提供給學(xué)生不同的方法，尤其是讓他們根據(jù)自己的喜好，選擇適合自己的“交通工具”來探索才能相對全面地了解數(shù)學(xué)。例如，在進行乘法教學(xué)的時候，我們大可不必過早讓學(xué)生強記“口訣”，在記下“口訣”前，我們可以讓學(xué)生自己去尋找加法和乘法的聯(lián)系以及不同數(shù)字之間乘法的關(guān)系，如4×9=2×9+（9+9）=6×6。在學(xué)生充分理解了乘法的本質(zhì)和規(guī)律后再進行口訣記憶，會大大提高學(xué)生的應(yīng)變能力。尤其是在高年級進行復(fù)雜數(shù)學(xué)學(xué)習時遇到傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法行不通的情形，學(xué)生可以及時地改換思路，使用自己發(fā)明的方法從而順利地得到正確的答案。簡言之，讓學(xué)生去運用教科書所提到的公理和公式之前，我們是要學(xué)生有充分的機會，來探索、使用他們自己的方法來總結(jié)一些數(shù)學(xué)規(guī)律的。

4.機遇與挑戰(zhàn)——基于構(gòu)建主義，以開放性問題為核心的數(shù)學(xué)教學(xué)模式。

基于開放性問題的教學(xué)和基于構(gòu)建主義的教學(xué)是兩個一脈相承的概念，在當代數(shù)學(xué)教育中，此二者不可分割：基于開放性問題的教學(xué)是指在教學(xué)中提供給學(xué)生獨立思考與獨立探究的機會；基于構(gòu)建主義的教學(xué)是指在教學(xué)中提供給學(xué)生團隊合作，分享知識的機會。我們傳統(tǒng)的教學(xué)方法，是以教師講課為主的，然后學(xué)生模仿教師的例題來進行大量訓(xùn)練。在此過程中，學(xué)生缺乏自己去“研究數(shù)學(xué)”的機會。作為教師，我們要讓學(xué)生交流他們對數(shù)學(xué)的感悟并用自己的話說出對數(shù)學(xué)的理解。好的教師需要關(guān)注學(xué)生想出的每一種不同的方法，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)不是只有唯一的方法，解題也并不需要遵循某種特定的過程。在一個以開放性問題為核心的數(shù)學(xué)課堂里，教師不再是這個課堂的唯一的權(quán)威而只是作為一個引導(dǎo)者：提供給學(xué)生一個開放的研究環(huán)境，讓他們自己去尋找和探索新舊知識間的聯(lián)系，并且在學(xué)生的探索完成后，來總結(jié)學(xué)生們的研究成果。通過讓學(xué)生對比自己的方法和同學(xué)們的方法之后，評價各種方法的優(yōu)劣，最后再把教科書中“正式的”和“最優(yōu)的”數(shù)學(xué)知識教給學(xué)生。

（作者單位：美國得克薩斯大學(xué)）