一類熱源在邊界點(diǎn)的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的邊界控制

郭春麗

(四川文理學(xué)院數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)學(xué)院，四川達(dá)州635000)

一類熱源在邊界點(diǎn)的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的邊界控制

郭春麗

(四川文理學(xué)院數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)學(xué)院，四川達(dá)州635000)

利用邊界控制的backstepping方法研究了一類熱源在邊界點(diǎn)x=1的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng).由于熱源在邊界，backstepping方法中常用的Voltegral變換失效，為了利用backstepping方法設(shè)計(jì)控制器，文章改進(jìn)了原有的Voltegral變換，從而設(shè)計(jì)出反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的控制器，最后，通過閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性驗(yàn)證了控制器的有效性.

反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)；邊界控制；backstepping方法；穩(wěn)定性

0 前言

熱傳導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型是眾所周知的，常見的熱傳導(dǎo)現(xiàn)象有化學(xué)反應(yīng)、生物發(fā)酵、燃燒問題等，[1]這些常見的現(xiàn)象都涉及到溫度的傳導(dǎo)問題，而溫度的傳導(dǎo)問題常用偏微分方程中的反應(yīng)擴(kuò)散方程來描述：

ut(x,t)=uxx(x,t)+f(u(x,t))

其中，u(x,t)表示規(guī)范化的溫度；f是光滑函數(shù)，表示熱源；f(u(x,t))可以有不同的形式，對(duì)于具體的工程問題，有其特定的形式.[1][2]所以，研究反應(yīng)擴(kuò)散方程的穩(wěn)定性問題對(duì)實(shí)際生活有著重要意義.

對(duì)于反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)，可采用多種控制方式設(shè)計(jì)控制器實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其中邊界輸出反饋控制方式運(yùn)用最為廣泛.邊界輸出反饋控制的方法有：Lyapunov函數(shù)法、damping法、backstepping方法等.近年來，Miroslav Krstic、Andrey Smyshlyaev 等人將backstepping方法引入到偏微分方程的邊界控制中，[3-6]由于該方法計(jì)算簡(jiǎn)單且容易實(shí)現(xiàn)，因此得到很大發(fā)展.本文就運(yùn)用邊界控制的backstepping方法研究一類反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.

1 問題陳述

考慮如下的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)：

(1)

其中，u(x,t)是狀態(tài)變量，U(t)是控制輸入，λ>0是較大的常數(shù).控制系統(tǒng)(1)中反應(yīng)擴(kuò)散方程里反應(yīng)項(xiàng)為λu(1,t)，反應(yīng)項(xiàng)只與右端點(diǎn)x=1處的溫度有關(guān)系，也就是控制系統(tǒng)(1)所涉及到的是熱源在右端的熱傳導(dǎo)問題.

2 控制的設(shè)計(jì)

運(yùn)用backstepping方法設(shè)計(jì)控制器，引入變換

(2)

其中，k(x,y)和r(x,y)是待定的核函數(shù).[7][8]

變換(2)將控制系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為指數(shù)穩(wěn)定的目標(biāo)系統(tǒng):[3]

(3)

在(2)式兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)有:

(4)

在上式中取x=1可得控制輸入：

U(t)=ux(1,t)=k(1,1)u(1,t)+

(5)

3 核函數(shù)的計(jì)算

為了得到控制輸入(5)，需找到核函數(shù)k(x,y)和r(x,y)，下面由變換(2)將控制系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)(3)得到核函數(shù)滿足的方程，然后由核函數(shù)滿足的方程組求解出核函數(shù).

首先，在變換(2)兩邊同時(shí)關(guān)于x求二階偏導(dǎo)有：

(6)

其中，

類似地，在變換(2)兩邊同時(shí)關(guān)于t求偏導(dǎo)，并由控制系統(tǒng)(1)有：

運(yùn)用分部積分法和控制系統(tǒng)(1)中的邊界條件有：

(7)

由(6)、(7)可得：

(8)

為滿足目標(biāo)系統(tǒng)中的方程wt(x,t)=wxx(x,t)，選擇核函數(shù)滿足方程組

及相容性條件

(10)

由wx(0,t)=0、ux(0,t)=0及(4)有：

從而，k(0,0)=0，rx(0,y)=0.由k(0,0)=0和k'(x,x)=0可得k(x,x)=0，因此核函數(shù)k(x,y)滿足方程組

從而，解得[3]

(11)

其次，運(yùn)用偏微分方程的變量分離法解核函數(shù)r(x,y)，然后驗(yàn)證相容性的條件(10).設(shè)r(x,y)=p(x)q(y)，則p(x)和q(y)滿足方程組

(12)

其中，a>0是待定的常數(shù).

由(12)解得

p(x)=bcosh(ax),q(y)=csinh(ay-a)

(13)

其中，b,c是待定的常數(shù).

下面通過驗(yàn)證相容性條件，得到常數(shù)a,b,c需滿足的條件.由(11)、(13)及r(x,y)=p(x)q(y)可得

(14)

由(13)及r(x,y)=p(x)q(y)可得

(15)

從而，由(13)、(14)、(15)及r(x,y)=p(x)q(y)可得

因此，為滿足相容性條件(10)，取

(16)

則由(13)、(16)及r(x,y)=p(x)q(y)可得，

(17)

由(11)、(17)可得

(18)

4 反饋控制器

由核函數(shù)的解(17)、(18)可得到控制系統(tǒng)(1)的反饋控制器為

(19)

事實(shí)上，變換(2)是可逆變換，且逆變換具有如下形式

(20)

其中，l(x,y),h(x,y)是待定的核函數(shù).

逆變換(20)將目標(biāo)系統(tǒng)(3)轉(zhuǎn)化為控制系統(tǒng)(1)，運(yùn)用第3節(jié)類似的方法可計(jì)算得到逆變換中的核函數(shù)，最后由變換(3)、(20)及目標(biāo)系統(tǒng)的穩(wěn)定性可證明得到原控制系統(tǒng)(1)在反饋控制器(19)的作用下是指數(shù)穩(wěn)定的[8].

[1] 葉其孝. 反應(yīng)擴(kuò)散方程簡(jiǎn)介[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1984(2)：48-57.

[2] J.Smoller.Shockwaveandreaction-diffusionequations[M]. Springer-Verlag, New York: 1994:43.

[3] M. Krstic, A. Smyshlyaev.BoundarycontrolofPDEs:Acourseonbacksteppingdesign[M]. SIAM, Philadelphia，2008:72.

[4] D. M. Boskovi, M. Krstic.Stabilizationofasolidpropellantrocketinstabilitybystatefeedback[J]. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 2003(13):483-495.

[5] A. Smyshlyaev, M. Krstic.Closedformboundarystatefeedbacksforaclassofpartialintegro-differentialequations[J]. IEEE Transanction on Automatic Control, 2004(49):2185-2202.

[6] M. Krstic , B. Z .Guo , A.Balogh , A. Smyshlyaev.Output-feedbackstabilizationofanunstablewaveequation[J]. Automatic , 2008(44):63-74.

[7] Z. C. Zhou, C. L. Guo.Stabilizationoflinearheatequationwithaheatsourceatintermediatepointbyboundarycontrol[J].Automatica, 2013(49): 448-456.

[8] C. L. Guo, C. K. Xie, Z. C. Zhou.Stabilizationofaspatiallynon-causalreaction-diffusionequationbyboundarycontrol[J].Int. J. Robust. Nonlinear Control, 2012(10):64.

[責(zé)任編輯 鄧 杰]

Stabilization of a Reaction-diffusion Equation with the Heat Source on the Boundary

GUO Chun-li

(Mathematics and Finance-Economics Department of Sichuan University of Arts and Science, Dazhou Sichuan 635000, China)

In this paper, the stabilization of a reaction-diffusion equation with the heat source on the boundary is considered by using boundary control. For the new system, the Voltegral transformation of backstarting method is invalid. A new back-stepping transformation is introduced,in which there are two kernels. Because the number of kernels is increased, the kernel equations and computation are more complicated. Through a series of mathematical tricks, the exact solutions of kernels are obtained, and a control law is obtained specifically. Finally, stability of the closed-loop system is established.

reaction-diffusion system; back-stepping method; boundary control;stabilization

2013-11-26

四川文理學(xué)院資助項(xiàng)目(2012Z002Q)

郭春麗(1987—)，女，四川渠縣人. 助教，碩士，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.

O231.5

A

1674-5248(2014)02-0023-04