一類wishart矩陣相對(duì)特征值的分布問題研究

衛(wèi) 飚

(南京政治學(xué)院 基礎(chǔ)部,江蘇 南京 210003)

一類wishart矩陣相對(duì)特征值的分布問題研究

衛(wèi) 飚

(南京政治學(xué)院 基礎(chǔ)部,江蘇 南京 210003)

在統(tǒng)計(jì)分析中，特征值的分布問題是重要內(nèi)容。從wishart矩陣的密度函數(shù)得到AB-1特征值以及在r≤m條件下AB-1特征值的密度函數(shù)。

wishart矩陣;特征值;密度函數(shù)

在多元統(tǒng)計(jì)中經(jīng)常遇到特征值的分布問題,若A～Wm(n,∑),n≥m,則A的密度函數(shù)為

A的密度函數(shù)就成了A的特征值的函數(shù),其次,在主成分分析、典型相關(guān)分析和不變檢驗(yàn)中都要遇到求AB-1的特征值分布問題,因此特征值的分布問題是多元分布理論中的重要內(nèi)容。

1 AB-1的特征值分布

引理2[1]設(shè)A是一個(gè)m×m隨機(jī)正定矩陣，其密度為f(A)，則A的特征值l1,…,lm的聯(lián)合密度為

其中H∈O(m)，滿足A=HLH′，而L=diag(l1,…,lm)，且L與H獨(dú)立。

引理3[1]設(shè)X是一個(gè)m×m正定矩陣，Y是一個(gè)m×m對(duì)稱矩陣，則

其中(dH)表示O(m)上的標(biāo)準(zhǔn)化不變測(cè)度。

diag(f1,…,fm),H∈O(m)

(1)

O(m)。所以有

由引理3

(2)

綜上由(1)和(2)即得AB-1的特征值f1,…,fm的聯(lián)合密度。

注：若M1=0，則Ω=0，此時(shí)AB-1的特征值f1,…,fm的聯(lián)合密度為

f1>f2>…>fm>0

2 r≤m條件下AB-1的特征值的密度函數(shù)

引理4[2]設(shè)A～Wm(n,∑)，n>m-1，M是k×m階矩陣，rk(M)=k，則

引理6[1]設(shè)Z是一個(gè)m×m復(fù)對(duì)稱矩陣，Re(Z)>0，Y是一個(gè)m×m對(duì)稱矩陣，則

且有

Wm(n-p,Im)

由于U′=H1T，其中H1∈Vm,r，這里Vm,r表示所有m×r列正交矩陣組成的Stiefel流形，根據(jù)引理5我們有

所以

于是上述聯(lián)合密度變?yōu)?/p>

現(xiàn)在對(duì)上式關(guān)于H1∈Vm,r積分

對(duì)該密度函數(shù)中關(guān)于G的因子積分

(3)

因?yàn)?/p>

由引理6 ，(3)式中有關(guān)因子的積分為

.

[1] 劉金山.Wishart分布引論[M].北京：科學(xué)出版社，2005.

[2] 朱道元，吳誠(chéng)鷗，秦偉良.多元統(tǒng)計(jì)分析與軟件SAS[M].南京：東南大學(xué)出版社，1999.

(責(zé)任編輯：張英健)

StudyontheDistributionProblemofaClassofWishartMatrixEigenvalue

WEI Biao

(Department of Mathematics, Southeast University, Nanjing Jiangsu 210003, China)

In the statistical analysis,the distribution of eigenvalue problem is an important content of the characteristics of the density function obtained from the density function of the Wishart matrix and eigenvalue in the conditions ofvalue.

wishart matrix; characteristic value; density function

2014-07-10

衛(wèi)飚(1977-),男,江蘇無錫人,講師,碩士,主要研究方向?yàn)楦怕式y(tǒng)計(jì)。

O211.4

A

1671-5322(2014)04-0021-04