C余弦函數(shù)的概率型逼近問(wèn)題

李曉敏

(鹽城工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部,江蘇 鹽城 224051)

C余弦函數(shù)的概率型逼近問(wèn)題

李曉敏

(鹽城工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部,江蘇 鹽城 224051)

借助于算子值數(shù)學(xué)期望以及概率論方法,利用C余弦函數(shù)與C半群之間關(guān)系、Taylor展開(kāi)式、H?lder不等式及適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量矩生成函數(shù)等工具,得到C余弦函數(shù)概率型逼近表達(dá)式及其更一般的結(jié)論,并利用推得的結(jié)論從生成元的角度給出了C余弦函數(shù)概率型逼近的指數(shù)公式。

C余弦函數(shù)；泰勒展開(kāi)式；矩生成函數(shù)；概率型逼近

近年來(lái)算子的表示和逼近得到了廣泛的發(fā)展,Pfeifer[1-4]給出了C0半群的形式簡(jiǎn)單而又普遍適用的概率表示式，并提供了這些公式收斂速度的精確估計(jì)；陳文忠等[5-6]對(duì)于C0半群及C半群概率型的表示做了深入的研究;指數(shù)有界C余弦函數(shù)的概念由Tanaka[7]引入，同時(shí)在C具稠值域時(shí)引入了其完全無(wú)窮小生成元的概念，并給出了指數(shù)有界C余弦函數(shù)的生成定理極其對(duì)二階抽象cauchy問(wèn)題的應(yīng)用。

本文在半群概率型逼近基礎(chǔ)上討論了指數(shù)有界C余弦函數(shù)的概率型逼近問(wèn)題,利用指數(shù)有界C余弦函數(shù)與C半群之間關(guān)系推得的泰勒展開(kāi)式(引理3)及H?lder不等式，得到了C余弦函數(shù)概率型逼近表達(dá)式(定理2),從而推出了其更一般的概率型逼近結(jié)論(推論1),并利用所得結(jié)論從生成元的角度給出了C余弦函數(shù)概率型逼近的指數(shù)公式(定理3)。

1 C余弦函數(shù)的定義及性質(zhì)

假設(shè)X是Banach空間,B(X)為X上的一切有界線性算子的集合,D(A)表示A的定義域,R(A)表示A的值域,C∈B(X)。

定義1[7]設(shè)(X,‖·‖)是Banach空間,C∈B(X)為單射,若算子C:R→B(X)滿足

(1)C(t+s)C+C(t-s)C=2C(t)C(s),?t,s∈R；

(2)C(0)=C；

(3)t→C(t)x對(duì)每一固定的x∈X在R上是連續(xù)的；

(4)存在M,ω≥0,使得‖C(t)‖≤Meω|t|。

則C:R→B(X)稱為是X上的一個(gè)指數(shù)有界的強(qiáng)連續(xù)C余弦函數(shù),簡(jiǎn)稱為指數(shù)有界的C余弦函數(shù),記作C(t)∈G(M,ω)。

性質(zhì)2[8]設(shè)A是指數(shù)有界C余弦函數(shù)

C(t)的無(wú)窮小生成元,則下面結(jié)論成立

(3)?x∈D(A),C(t)x∈D(A),且

2 C余弦函數(shù)的概率型逼近問(wèn)題

引理1[2]設(shè)S(·)x是可測(cè)的,且對(duì)所有x∈X其賦值是獨(dú)立的,若‖S(·)‖≤g(·),其中g(shù)(g≥0)是一般意義下的可積函數(shù),則S是廣義Pettis可積的,且

引理3[6](泰勒展開(kāi)式)設(shè)B為C半群

{T(t)}t≥0的無(wú)窮小生成元,若x∈D(Br),r≥1,則對(duì)?s,t≥0,有：

T(t)x-T(s)x=

定理1 設(shè)A是C余弦函數(shù)C(t)的無(wú)窮小生成元,A=B2,若x∈D(Br),r≥1,則對(duì)?s,

t≥0,有：

C(t)x-C(s)x=

證明：

C(t)x-C(s)x=

(1)

其中x∈D(A)

(2)

其中x∈D(A2)

證明：當(dāng)x∈D(A)時(shí),由Taylor展開(kāi)式和H?lder不等式,得

‖E∫tU(U-u)h(u)Axdu‖≤

(1)式得證。

當(dāng)x∈D(A2)時(shí),由于

C(U)x-C(t)x=

所以

(2)式得證。

類似的,我們可以得到以下推論：

下面從生成元的角度給出一般形式的C余弦函數(shù)C(t)概率逼近式及指數(shù)公式

(3)

(4)

在(1)式中令p=2得

(4)式的證明同(3)式。

從而得出C余弦函數(shù)概率逼近指數(shù)公式。

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[9] 嚴(yán)士健,劉秀芳.測(cè)度與概率[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2003:308-309.

(責(zé)任編輯：張英健)

Probabilistic Approximations ofCCosine Functions

LI Xiaomin

(Department of Basic Education, Yancheng Institute of Technology, Yancheng Jiangsu 224051, China)

Probabilistic approximations and general conclusion are given forCcosine function by means of operator-valued

mathematical expect and probabilistic methods, using the Taylor expansion given by the association ofCcosine function andCsemigroups' inequality and moment-generating function. Finally, using these given conclusion, the exponential formula of probabilistic approximations forCcosine function is produced by virtue of generator.

Ccosine function；Taylor expansion；moment-generating function； probabilistic approximations

2014-09-29

李曉敏(1978-)，女，江蘇徐州人，助教，碩士，主要研究方向?yàn)樗阕影肴骸?/p>

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1671-5322(2014)04-0018-03