閾值策略下二元對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型

周金樂，王傳玉

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

閾值策略下二元對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型

周金樂，王傳玉

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

在閾值分紅策略下研究了獨(dú)立二元對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型，得出了公司直到破產(chǎn)時(shí)刻為止的累積紅利期望現(xiàn)值函數(shù)所滿足的兩個(gè)積分-微分方程，求出了這種情況下的廣義Lundberg基本方程，最后運(yùn)用Laplace變換得出了微積分的解。

對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型；閾值分紅策略；積分-微分方程；Laplace變換

風(fēng)險(xiǎn)是對(duì)損失不確定性的一種度量，現(xiàn)代金融學(xué)研究的一個(gè)重要課題就是對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的刻畫。精算學(xué)是以保險(xiǎn)行業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)為主要研究對(duì)象，以概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)以及隨機(jī)過程為主要研究工具，通過建立數(shù)理模型來估計(jì)、分析未來不確定事件產(chǎn)生的影響，為保險(xiǎn)人在現(xiàn)實(shí)中進(jìn)行有效的風(fēng)險(xiǎn)管理和控制提供理論和技術(shù)支持。在保險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)的范疇內(nèi)，破產(chǎn)理論是風(fēng)險(xiǎn)理論的核心內(nèi)容。破產(chǎn)理論研究的是保險(xiǎn)人長(zhǎng)期的財(cái)務(wù)狀況的變化，更確切地，是研究和監(jiān)督保險(xiǎn)人的盈余隨著業(yè)務(wù)的發(fā)展而產(chǎn)生的變化，當(dāng)盈余為負(fù)時(shí)則認(rèn)為破產(chǎn)。但是經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型是一類最簡(jiǎn)單的隨機(jī)過程模型，出發(fā)點(diǎn)是為了使研究更加方便，而在實(shí)際的應(yīng)用中，這種風(fēng)險(xiǎn)模型往往具有一定的局限性。為此將原來一種索賠情況推廣到多種索賠情況使得模型更加貼近于現(xiàn)實(shí)情況，對(duì)保險(xiǎn)公司的決策將會(huì)更加有利。文獻(xiàn)[1]在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的基礎(chǔ)上考慮了兩類獨(dú)立的索賠問題,其中第一類索賠次數(shù)為一個(gè)Poisson過程,另外一類則為更新過程,求出在無限時(shí)間的情況下對(duì)應(yīng)的破產(chǎn)概率。

破產(chǎn)理論中的紅利問題最早是由De Finetti[2]在紐約第15屆精算師代表大會(huì)上發(fā)表的一篇文章中提出來的，由此便產(chǎn)生了風(fēng)險(xiǎn)理論最前沿也最流行的分支：分紅策略的研究。保險(xiǎn)公司為了吸引更多的用戶，將分紅策略考慮進(jìn)了很多保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中，即投保人可以得到傳統(tǒng)保單規(guī)定的保險(xiǎn)責(zé)任外，還可以從保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)中獲得較高的投資回報(bào)。文獻(xiàn)[3]就是在Gamma-Omega 模型中考慮了帶障礙策略的分紅問題，并獲得當(dāng)盈余為負(fù)值的時(shí)候，公司經(jīng)過自己的再發(fā)展而不能起死回生的破產(chǎn)概率；文獻(xiàn)[4]討論的是在一個(gè)復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)模型中考慮閾值策略，計(jì)算出直到破產(chǎn)為止的紅利貼現(xiàn)值，以及使得紅利貼現(xiàn)值達(dá)到最大時(shí)的最優(yōu)閾值；文獻(xiàn)[5]推導(dǎo)出經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中對(duì)偶模型下滿足總貼現(xiàn)紅利期望條件的一類積分微分方程，并以此得出在障礙策略下的紅利表達(dá)式以及最初盈余和障礙值之間的獨(dú)立關(guān)系；文獻(xiàn)[6]在障礙策略下考慮一個(gè)廣義Erlang(n)對(duì)偶模型，獲得滿足邊界條件時(shí)股利貼現(xiàn)的期望以及矩母函數(shù)所滿足的積分微分方程;文獻(xiàn)[7]是在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上將對(duì)偶模型從障礙策略情況推廣到閾值策略，得出了相似的結(jié)論并且得出障礙策略就是閾值策略的極限情況。

本文基于以上情況，在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上，將原來在閾值策略下對(duì)一元對(duì)偶模型的研究推廣到獨(dú)立二元對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型，從而更加貼近于風(fēng)險(xiǎn)多樣化和復(fù)雜化的現(xiàn)實(shí)情況，為科研工作者發(fā)明創(chuàng)造所遇到的風(fēng)險(xiǎn)提供了更好的風(fēng)險(xiǎn)刻畫和監(jiān)督。

1 模型介紹

考慮兩類收入獨(dú)立的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型，它們的盈余過程可以表示為

(1)

該式中u=U(0)為初始資金；c為花費(fèi)率；S(t)表示t時(shí)刻的總利潤(rùn)。{N1(t);t≥0}，{N2(t);t≥0}分別表示收入X與收入Y在[0,t]內(nèi)收到的收入個(gè)數(shù)且分別服從參數(shù)為λ1與λ2的泊松過程，{Xi;i≥1}和{Yj;j≥1}分別表示收入X與收入Y在第i次與第j次的利潤(rùn)額。{N1(t);t≥0}，{N2(t);t≥0}，{Xi;i≥1}以及{Yj;j≥1}是兩兩獨(dú)立的隨機(jī)變量序列。設(shè)它們的分布函數(shù)分別是F(x)與G(y)，密度函數(shù)分別為f(x)和g(y),均值分別為μx和μy。

對(duì)盈余過程考慮一個(gè)閾值為b的閾值策略，當(dāng)U(t)b的時(shí)候，費(fèi)用率為c2，且c2>c1，紅利以c2-c1的比率來支付。則

(2)

設(shè)T=inf{t:U(t)=0}表示破產(chǎn)時(shí)刻，利息率為δ(δ>0)，所以到破產(chǎn)時(shí)刻為止總紅利的貼現(xiàn)值為

所以直到破產(chǎn)為止總的紅利貼現(xiàn)值的期望為

同時(shí)令

2 積分—微分方程

2.1 分紅函數(shù)在0

定理1 當(dāng)0

(3)

證明：考慮在區(qū)間(0，dt]內(nèi)收入產(chǎn)生的情況，可以分為如下的幾種情形:

(1) 在(0，dt]內(nèi)第1類收入X′沒有產(chǎn)生收入，第2類收入Y′也沒有產(chǎn)生收入，即不產(chǎn)生任何的收入，則其概率為(1-λ1dt)(1-λ2dt)；

(2) 在(0，dt]內(nèi)第1類收入X′產(chǎn)生收入，第2類收入Y′沒有產(chǎn)生收入,則其概率為λ1dt(1-λ2dt)；

(3) 在(0，dt]內(nèi)第1類收入X′沒有產(chǎn)生收入，第2類收入Y′產(chǎn)生收入，則其概率為λ2dt(1-λ1dt)；

(4) 在(0，dt]內(nèi)兩類都產(chǎn)生了收入，則其概率為λ2dtλ1dt=0(dt)。

則當(dāng)0

(4)

運(yùn)用二階泰勒展開式知E[V1(u-c1dt;b)]=

(5)

而

(6)

對(duì)于 E{V1[(u-c1dt)+z1;b]I[z1∈

(7)

同時(shí) E{V2[(u-c1dt)+z1;b)I(z1∈

(8)

同理可知

(9) 把(5)、(6)、(7)、(8)、(9)代入(4)并經(jīng)過化簡(jiǎn)，再將等式兩邊同時(shí)除以dt；并令dt→0，則可以得到(3)，即我們所要得到的結(jié)果。

2.2 分紅函數(shù)在b

定理2 當(dāng)b

λ1∫0+∞V2(u+x;b)dF(x)+

λ2∫0+∞V1(u+x;b)dG(x)+c2-c1=0

(10)

證明與定理1的相同，這里省略。

3 運(yùn)用Laplace變換求V(u;b)

3.1 廣義Lundberg方程

由于上面的積分—微分方程的解與廣義Lundberg方程的根有關(guān)，接下來討論廣義Lundberg方程。記

分別是P(X)與Q(X)的矩母函數(shù)。

定理3 上述(4)式所對(duì)應(yīng)的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型的廣義Lundberg方程為

λ1[MX′(θ)-1]+λ2[MY′(θ)-1]-cθ=δ

(11)

證明：由文獻(xiàn)[10]中的定理5知道，存在一個(gè)δ滿足下面的鞅條件

故

當(dāng)上式等于eθu，即要求

所以它的廣義Lundberg方程為

λ1[MX′(θ)-1]+λ2[MY′(θ)-1]-cθ=δ。

注:該模型的廣義Lundberg方程有一個(gè)唯一的非正根。因?yàn)榱?/p>

所以m(θ)在(-∞,0)是凸的，所以m(θ)具有一個(gè)唯一的非正根。

3.2 運(yùn)用V1(u;b)求V(u;b)

定理4 一個(gè)獨(dú)立二元的復(fù)合泊松對(duì)偶模型，在沒有紅利的前提下，它對(duì)應(yīng)的花費(fèi)率是常數(shù)c，那么破產(chǎn)時(shí)間T的Laplace變換可以表示為

這里的Rδ是廣義Lundberg方程λ1[MX′(θ)-1]+λ2[MY′(θ)-1]-cθ=δ的唯一的非正根。

證明：定義一個(gè)過程{Zθ(t):t≥0}，其中

定理5 當(dāng)u>b時(shí)，有

(12)

這個(gè)證明與文獻(xiàn)[7]定理2的證明類似，故省略。

定理6 令z=b-u并且令w(z;b)=V(b-z;b)，則

(13)

證明：將(12)式代入(3)式得

所以，

令z=b-u,定義W(z;b)=V(b-z;b)(0≤z≤b),將其代入上面的等式,則

式中，初始條件和邊界條件分別是

記w(z)=W(z;b),對(duì)上面的方程兩邊同時(shí)運(yùn)用Laplace變換，則可以得到

即

同理可以得出

所以當(dāng)c2→+∞的時(shí)候

當(dāng)λ1=0即S2(t)不存在的時(shí)候，就與文獻(xiàn)[7]中的推論4.1一樣，同時(shí)當(dāng)c2→+∞這里的w與在障礙策略下的值相同，也就是說當(dāng)c2→+∞的時(shí)候，閾值策略就是障礙策略。

4 結(jié)論

本文在閾值策略條件下研究了獨(dú)立二元對(duì)偶模型，比一元的情況更加符合實(shí)際，很有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。本文得出的在二元情況下障礙策略依然是閾值策略的極限形式的結(jié)論，從紅利方面為投資者投資提供一些指導(dǎo)建議。

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(責(zé)任編輯:張英健)

A Binary Dual Risk Model Under the Threshold Strategy

ZHOU Jinle,WANG Chuanyu

(Coll.of Math.and Pht., Anhui Polytechnic University, Wuhu Anhui 241000, China)

In this paper, we study the binary dual independent risk model under a threshold dividend strategy and derive a set of two integro-differential equations satisfied by the expected total discounted dividends until ruin and find the basic equations of the generalized Lundberg in this case. In the end we use the Laplace transform and obtain calculus.

a dual risk model; threshold strategy; integro-differential equations; Laplace transform

2014-06-17

周金樂(1989-)，男,安徽蕪湖人，碩士生，主要研究方向?yàn)榻鹑诠こ膛c金融衍生物。

O211.9

A

1671-5322(2014)04-0013-05