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    小樣本下軸承可靠性評估方法對比分析

    2014-07-21 09:35:32高攀東陳曉陽沈雪瑾叢偉張小玲
    軸承 2014年12期
    關(guān)鍵詞:樣本量可靠性軸承

    高攀東,陳曉陽,沈雪瑾,叢偉,張小玲

    (1.上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院,上海 200072;2.蘇州軸承廠有限公司,江蘇 蘇州 215129)

    隨著軸承設(shè)計和制造水平的不斷提高,對軸承可靠性的要求也越來越高。尤其是用于航空航天和軍工等領(lǐng)域的軸承產(chǎn)品,一般具有長壽命、高可靠性的特點,由于研發(fā)和試驗成本、試驗周期、試驗條件等各方面因素的限制,這些軸承無法進行大量試驗,常進行小樣本可靠性試驗。

    工程實踐中,一般認為樣本容量n<30為小樣本[1]。但用在一些特殊場合的軸承產(chǎn)品,允許投入試驗的樣本量更少(n≤10),這種情況下要選用合適的小樣本數(shù)據(jù)分析方法。

    目前,小樣本參數(shù)估計常見方法主要有Bayes法[2]、Bootstrap法[3]、Bayes Bootstrap法[4]和Monte Carlo仿真法。自助法或隨機加權(quán)法大多針對正態(tài)分布進行研究,Bayes法多用于信息融合。文獻[5]提出了針對小樣本定時截尾下的自助最大熵法,該方法主要進行區(qū)間估計。文獻[6-7]提出了基于極大似然估計的修偏方法。文獻[8]在Weibull分布小樣本定時截尾情形下對最小二乘估計法、加權(quán)最小二乘估計法、極大似然估計法、基于極大似然估計法的修偏估計法和矩估計法研究后發(fā)現(xiàn)矩估計法優(yōu)于其他方法,但其估計結(jié)果均有偏差。文獻[9]在矩估計的基礎(chǔ)上提出了中值無偏矩估計法(Median Unbiased Moment Estimation, MUME),對矩估計法的評估結(jié)果進行一定的修偏,使之更適合于小樣本數(shù)據(jù)的分析。文獻[10]根據(jù)圖解法原理提出了一種針對小樣本數(shù)據(jù)的可靠性分析方法,即基于最小二乘法的中位秩法(The Least Square of Rank,LSR) ,該方法適用于樣本量n≤20時的近似中位秩公式。文獻[11]建議在樣本量n≤25時采用最佳線性不變估計法(Best Linear Invariant Estimate,BLIE),其適用于定數(shù)截尾。

    下文主要針對軸承在小樣本情況下(n≤10)的可靠性評估問題,將BLIE法、MUME法和LSR法進行比較分析,找到各自的適用范圍,為軸承的可靠性試驗數(shù)據(jù)處理尋找相對較好的分析方法,為實際應(yīng)用提供理論指導(dǎo)。

    1 Weibull分布可靠性評估

    Weibull分布是壽命數(shù)據(jù)分析中應(yīng)用最廣泛的分布之一,大多數(shù)電子產(chǎn)品、機械產(chǎn)品等的壽命都服從Weibull分布,其分布函數(shù)為

    (1)

    式中:t為壽命;η為尺度參數(shù),表示可靠度R=0.367 9時對應(yīng)的壽命值,η=t0.367 9;β為形狀參數(shù),反映函數(shù)的離散程度,β值越大,函數(shù)分布越集中。由Weibull分布函數(shù)可知,其可靠度函數(shù)、概率密度函數(shù)和失效率函數(shù)分別為

    (2)

    (3)

    (4)

    根據(jù)一組小樣本試驗數(shù)據(jù),估計出Weibull分布的2個參數(shù)β和η,將其代入(2)式即可算出Weibull型產(chǎn)品的可靠度R。Weibull分布的概率密度函數(shù)分布圖如圖1所示。

    圖1 形狀參數(shù)β對分布函數(shù)的影響

    由圖1可知,形狀參數(shù)β>1時,函數(shù)有一個峰值。根據(jù)軸承制造部門提供的數(shù)據(jù)[12],β=1.32(ISO推薦β取1.1~1.5);對于球軸承β=10/9,對于滾子軸承β=9/8[13]。文中的模擬參數(shù)都是基于β>1的情況。

    2 小樣本參數(shù)估計方法

    2.1 BLIE法

    (5)

    (6)

    式中:n為樣本容量;tin是在容量為n下的第i個試件的壽命值。

    2.2 MUME法

    對n個試件進行定時截尾試驗,當(dāng)試驗進行到預(yù)先設(shè)定的截尾時間T時,得到一系列觀察值t1,t2,…,tr,其中有r個數(shù)據(jù)是失效數(shù)據(jù),而剩余的n-r個未失效數(shù)據(jù)均等于截止時間T。則根據(jù)矩估計法可得估計值為

    (7)

    (8)

    (9)

    (10)

    (11)

    2.3 LSR法

    該方法的本質(zhì)是圖解法,即將失效數(shù)據(jù)運用中位秩法求得失效率后,再利用最小二乘法對數(shù)據(jù)進行回歸分析,從而得到小樣本下的可靠性評估。其原理是將Weibull分布函數(shù)經(jīng)過一系列的變換后,把ti~F(ti)的關(guān)系轉(zhuǎn)變成xi~yi的關(guān)系。應(yīng)用LSR進行Weibull可靠性分析過程與傳統(tǒng)的應(yīng)用Weibull概率紙?zhí)幚頂?shù)據(jù)的過程類似,其分析步驟如下:

    (1)將失效時間ti(廣義)按從小到大順序排列;

    (2)將數(shù)據(jù)進行預(yù)處理,令xi=lnti;

    (5)數(shù)據(jù)點[ti,F(xiàn)(ti)]變?yōu)閇xi,yi],應(yīng)用LSR法擬合該組數(shù)據(jù);

    (6)得出分布函數(shù)的2個參數(shù)估計值β和η。

    文中采用文獻[11]中的近似中位秩公式進行計算。

    3 3種方法的對比分析

    BLIE法是基于定數(shù)截尾提出的,而MUME法是基于定時截尾的,LSR法兩種情況都適用。因此要統(tǒng)一三者的適用條件才能進行對比分析。

    3.1 定數(shù)截尾與定時截尾

    在一定的樣本容量和分布母體下,使某一樣本結(jié)構(gòu)出現(xiàn)最大概率的截尾時間為某一區(qū)間上的任意值[8]。如果試驗中的定時截尾時間在該區(qū)間內(nèi),則定時截尾與定數(shù)截尾是統(tǒng)一的。當(dāng)試驗選定失效數(shù)時,對應(yīng)的定時截尾時間也就確定了,反之亦然。在該情況下的試驗數(shù)據(jù)符合3種分析方法,下文Monte Carlo模擬仿真基于這一結(jié)論進行。

    3.2 Monte Carlo模擬試驗及結(jié)果對比分析

    選取樣本量n=4,6,8和10分別對3種方法進行Monte Carlo模擬試驗,仿真選取形狀參數(shù)和尺度參數(shù)為β=3,η=10 000。為了比較不同方法的優(yōu)劣,采用高可靠度范圍內(nèi)的k個檢測時刻的可靠度估計值與真值(可靠度值在[0.9,1]內(nèi))進行比較,記為

    (12)

    護士應(yīng)叮囑患者在術(shù)前6小時,禁食禁水,使胃腸道處于排空狀態(tài)。在術(shù)前3小時,禁止患者服用抗凝藥物,以免在術(shù)中出現(xiàn)血流不止現(xiàn)象,增加手術(shù)患者的風(fēng)險。此外,還應(yīng)對手術(shù)患者進行常規(guī)備皮準備,并詳細向患者講解心臟起搏器工作原理以及治療方案,取得患者的理解的配合,提高手術(shù)治療效果。

    參數(shù)估計值β=3,η=10 000,樣本量n=10時,不同失效數(shù)r下3種方法的評估結(jié)果對比如圖2所示。

    圖2 評估結(jié)果隨失效數(shù)r變化的情況對比

    由圖2可知,失效數(shù)相同時,BLIE法的估計結(jié)果最優(yōu),MUME法次之,LSR法最差。樣本量相同時(n=10),隨失效數(shù)的增加,BLIE法和MUME法的評估結(jié)果越來越好,而LSR法的誤差卻有增大的趨勢。以MS≤5%作為評價指標,BLIE法和MUME法的評估結(jié)果均合格,LSR法的評估結(jié)果不合格,因此,當(dāng)樣本量n≤10時,LSR法不適用。

    當(dāng)失效數(shù)r一定(r=4,即T=8 000 h)時,3種方法的評估效果隨樣本量變化的規(guī)律如圖3所示。

    圖3 評估結(jié)果隨樣本量n變化的情況對比

    由圖3可知,當(dāng)失效數(shù)r不變時,3種方法的平均誤差均隨樣本量的增加而減小。以MS≤5%作為評價指標,BLIE法適用于n>6的情況,MUME法適用于n≥8的情況,當(dāng)樣本量n≤10時,LSR法仍不適用。LSR法是基于數(shù)據(jù)點進行曲線擬合,如果失效數(shù)或者樣本量較少,則擬合效果差,導(dǎo)致評估結(jié)果差。

    3.3 參數(shù)變化時的評估結(jié)果對比分析

    為了說明分析規(guī)律的一般性,現(xiàn)將Monte Carlo模擬參數(shù)變?yōu)棣?1.5,η=4 000。兩種情況下的截尾時間分別為4 000 h和10 000 h,樣本量n=8,失效數(shù)r=6,仿真及計算過程均同上,Weibull分布參數(shù)變化時的評估結(jié)果規(guī)律見表1。

    表1 不同參數(shù)下3種方法的評估結(jié)果對比

    由表1可知,當(dāng)參數(shù)變化時,3種方法的評估結(jié)果及規(guī)律不變,BLIE法最好,MUME法次之,LSR法最差。隨著參數(shù)的增大,3種方法的分析誤差均隨之增大,但仍是BLIE法的誤差最小,MUME法次之,LSR法最大。

    如果還以MS≤5%作為評價指標,在Weibull參數(shù)較小的情況下,3種方法適用的最小樣本量更小。對于一批給定的軸承,先大致確定Weibull分布參數(shù)的取值范圍,從而確定最小樣本量。

    3.4 極小樣本情況下的對比

    為了找到更適用于極小樣本下的可靠性評估方法,取模擬參數(shù)(β,η)為(2, 4 000),樣本量n=5,仿真及計算過程同上,3種方法的評估結(jié)果見表2。

    由表2可知,在極小樣本下,3種方法的評估效果及規(guī)律仍同前文所述。由于參數(shù)變小,BLIE法在樣本n=5時也滿足MS≤5%,另外兩種方法的誤差仍然較大。

    表2 極小樣本下3種方法的評估結(jié)果對比

    4 實例分析

    已觀測到5套陀螺電動機轉(zhuǎn)子軸承的失效時間由小到大依次為1 313,2 288,2 472,2 506,3 382 h[15]。按前文所述的方法將數(shù)據(jù)處理成定時截尾數(shù)據(jù),同時滿足定數(shù)截尾。取定時截尾時間為3 000 h,即失效數(shù)r=4。分別用3種方法處理上述數(shù)據(jù),并將完全樣本數(shù)據(jù)用極大似然估計法處理,3種方法的估計結(jié)果與極大似然估計結(jié)果對比見表3,其中,極大似然的估計結(jié)果為β=4.168,η=2 637.18。

    表3 3種方法的評估結(jié)果與極大似然估計法對比

    由表3可知,BLIE法的誤差最小,LSR法最大;樣本量和失效數(shù)增加,所得結(jié)果均符合要求。由于極大似然估計采用完全樣本信息,其他3種方法只用了一半的時間信息,估計誤差仍不到5%,由此說明3種方法對小樣本的適用性。

    5 結(jié)論

    當(dāng)樣本量(n≤10)和失效數(shù)變化時,3種方法的評估結(jié)果中BLIE法最優(yōu)、MUME法次之、LSR法最差。BLIE法和MUME法的計算均較復(fù)雜,但BLIE法程序用時比MUME法長,LSR法計算速度最快,但誤差太大,不適用于小樣本或極小樣本的精確估計。

    3種方法在小樣本下的評估結(jié)果都存在一定的誤差,隨樣本量和失效數(shù)的增加誤差均減小。以MS≤5%為評價指標,BLIE法適用于樣本量n>6的情況,MUME法適用于樣本量n≥8的情況,LSR法在樣本量n≤10時不適用。

    由于估計誤差隨Weibull分布參數(shù)的增大有增大的趨勢,所以適用于3種方法的最小樣本量隨參數(shù)的增加而增大,對小樣本可靠性試驗中選擇最小樣本量有一定的指導(dǎo)意義。

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