高維四輪轉(zhuǎn)向汽車側(cè)向動力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

劉春輝，方 沂，杜 峰

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)汽車與交通學(xué)院，天津 300222）

目前，汽車主動安全的研究越來越重要，四輪轉(zhuǎn)向在這種背景下引起了廣泛的關(guān)注[1-2]。但是，大量研究成果以兩自由度線性車輛模型為基礎(chǔ)，對于四輪轉(zhuǎn)向汽車轉(zhuǎn)向穩(wěn)定性的非線性研究還尚不完善。四輪轉(zhuǎn)向汽車模型的非線性主要是指輪胎的非線性。當(dāng)前，經(jīng)驗—半經(jīng)驗輪胎模1型（魔術(shù)公式、Duggof模型等）被廣泛應(yīng)用[3-5]，它們很好地擬合了輪胎的各種非線性力，但利用它們進(jìn)行解析分析的還很少。利用解析方法對四輪轉(zhuǎn)向失穩(wěn)的研究還很不夠[6]。

本文以二次多項式平方輪胎模型作為建立四輪轉(zhuǎn)向高維非線性動力學(xué)模型的基礎(chǔ)，應(yīng)用中心流形定理進(jìn)行降維，將高維四輪轉(zhuǎn)向動力系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一維系統(tǒng)，研究四輪轉(zhuǎn)向汽車發(fā)生分岔的條件及類型，并進(jìn)行時域仿真。

1 四輪轉(zhuǎn)向汽車動力學(xué)模型

四輪轉(zhuǎn)向汽車動力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 四輪轉(zhuǎn)向汽車動力學(xué)模型圖

動力學(xué)模型的微分方程表示為[7]：

式中：m為車輛質(zhì)量；ms為懸掛質(zhì)量；β為質(zhì)心側(cè)偏角；v為速度；r為橫擺角速度；φ為質(zhì)心側(cè)偏角；Izz為汽車關(guān)于橫擺軸的轉(zhuǎn)動慣量；Fy(f，l)、Fy(f，r)、Fy(r，l)、Fy(r，r)為前左、前右、后左、后右輪的地面?zhèn)认蚍醋饔昧?；Ixx為汽車關(guān)于側(cè)傾軸的轉(zhuǎn)動慣量；Kφ為側(cè)傾剛度；Cφ為側(cè)傾阻尼；h為懸掛質(zhì)量質(zhì)心到側(cè)傾軸的距離；M為附加橫擺力矩；lf為質(zhì)心到前軸的距離；lr為質(zhì)心到后軸的距離。

二次多項式平方輪胎模型[7]表示為：

其中，

式中：Fi為轉(zhuǎn)向力；Fzi為正壓力；Ci為側(cè)偏剛度；Cj1、Cj2為經(jīng)驗系數(shù)；αi為側(cè)偏角；μi為附著系數(shù)。

令一根車軸上左右輪胎的側(cè)偏角相同，即αfl=αfr=αf，αrl= αrr= αr，前后軸的側(cè)偏角 αf、αr可近似表示為：

汽車轉(zhuǎn)向時側(cè)傾力矩在前后軸上的分布表示為：

考慮側(cè)向載荷轉(zhuǎn)移的輪胎垂直載荷的變化可表示為：

假設(shè)左右輪胎的附著系數(shù)不同并分別用μl和μr表示。令和 θ =，（1）、（2）、（3）可寫為：

具體表示為：

式中：a11、a12、…、a19，a21、a22，a23、a24、…、a27，a41、a42、…、a49的具體形式均可計算求得。

2 非線性穩(wěn)定性臨界狀態(tài)分析

若平衡點滿足det（L）=0，則平衡點為奇異點，奇異點處系統(tǒng)發(fā)生分岔[8]。

四輪轉(zhuǎn)向汽車的前輪轉(zhuǎn)向角δf和車速v是影響轉(zhuǎn)向穩(wěn)定性的主要參數(shù)。代入四輪轉(zhuǎn)向汽車結(jié)構(gòu)參數(shù)求解式（17），可得到不同比例系數(shù)、不同車速對應(yīng)的臨界前輪轉(zhuǎn)角，如圖2和圖3所示。

計算中選取的后輪轉(zhuǎn)角表示為：

圖2 bl—δf臨界參數(shù)平面

圖3 v—δf臨界參數(shù)平面

3 中心流形降維

以前輪轉(zhuǎn)向角δf為可變參數(shù)，求解式（17）可得某一車速下的奇異點，將式（14）在奇異點處泰勒展開，得到

式中：A為坐標(biāo)轉(zhuǎn)以后系統(tǒng)在奇異點（0，0）處的Jacobian矩陣；F（，δf）為非線性項。做線性變換X=TY，式（18）可化為：

將δf視為變量，式（19）變?yōu)椋?/p>

該系統(tǒng)的中心流形在奇異點處與（y1，δf）相切，設(shè)

且滿足

求得ki1、ki2、ki3后，利用公式（18），即得到中心流形上流的方程（即約化方程）。約化方程解的定性性態(tài)與原方程的定性性態(tài)是一致的。

4 分岔類型判斷

計算 A 的特征值為：λ1，2=-6.545 6 ± 11.719 4i，λ3=-0.392 9，λ4=0。可以看出存在一個零特征值，系統(tǒng)存在一維中心流形。按照第3部分所述，得到中心流形上流的方程：

容易判斷系統(tǒng)（21）在奇異點處發(fā)生鞍結(jié)分岔，奇異點即鞍結(jié)點。

約化系統(tǒng)的分岔圖如圖4所示。分岔后產(chǎn)生了兩支曲線，上半支穩(wěn)定，下半支不穩(wěn)定。當(dāng)初始狀態(tài)在上半支上方及上下半支之間時，系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)初始狀態(tài)在下半支上方及下半支下方時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

圖4 約化系統(tǒng)的分岔圖

5 仿真分析

在初始狀態(tài)[0，0，0，0]下，分別取前輪轉(zhuǎn)向角為0.065 rad和0.075 rad進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖5至圖8所示。

圖5 側(cè)偏角

圖6 橫擺角速度

圖7 側(cè)傾角

圖8 側(cè)傾角速度

仿真結(jié)果顯示：前輪轉(zhuǎn)角不超過分岔點的轉(zhuǎn)向角時，四輪轉(zhuǎn)向汽車的側(cè)偏角、橫擺角速度、側(cè)傾角及側(cè)傾角速度響應(yīng)在2 s左右穩(wěn)定下來，系統(tǒng)穩(wěn)定，四輪轉(zhuǎn)向汽車可完成穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向；隨著前輪轉(zhuǎn)角的增大，當(dāng)超過對應(yīng)分岔點的轉(zhuǎn)向角時，四輪轉(zhuǎn)向汽車的側(cè)偏角、橫擺角速度、側(cè)傾角及側(cè)傾角速度均在1.6 s左右急劇變化，意味著系統(tǒng)失去穩(wěn)定性，需要通過采取措施加以控制。

6 結(jié)束語

選取適合于解析分析的二次多項式平方輪胎模型建立四輪汽車動力學(xué)模型，利用中心流形定理實現(xiàn)了高維轉(zhuǎn)向動力系統(tǒng)的降維。隨著車速和前輪轉(zhuǎn)角的增加，四輪轉(zhuǎn)向汽車會發(fā)生鞍結(jié)分岔，分岔使得汽車的狀態(tài)參量急劇變化，汽車失去穩(wěn)定性，可以通過采取一些措施來改變其分岔特性（如狀態(tài)反饋對分岔點鎮(zhèn)定），通過主動控制的方式延緩分岔的發(fā)生。

［1］趙又群，林棻，郭孔輝.矩陣攝動法在四輪轉(zhuǎn)向汽車運動穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用［J］.機械科學(xué)與技術(shù)，2004，23（7）：796-798.

［2］MASAO N，ETSUHIRO U.Nonlinear design approach to Four-Wheel-Steering system using neural networks［J］.Vehicle System Dynamics，1995，24 ：329-342.

［3］趙又群，尹浩，張麗霞，等.兩種輸入控制模型下的汽車非線性運動穩(wěn)定性分析［J］.機械科學(xué)與技術(shù)，2005，24（10）：1138-1140.

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［7］楊秀建，王增才.高維汽車側(cè)向動力學(xué)系統(tǒng)的分岔及失穩(wěn)分析［J］．農(nóng)業(yè)機械學(xué)報，2008，39（12）：45-50.

［8］張琪昌，王洪禮，竺致文，等.分岔與混沌理論及應(yīng)用［M］.天津：天津大學(xué)出版社，2005.