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    一種基于評價函數(shù)的三維矩形布局遺傳算法

    2014-07-20 08:00:42甄士剛王金敏
    關鍵詞:矩形布局遺傳算法

    甄士剛,王金敏

    (天津職業(yè)技術師范大學機械工程學院,天津 300222)

    布局問題廣泛存在于生產生活實際中,例如貨物的運輸、機械零部件的分布、車間廠房的布置等,對布局問題的有效解決,具有極大的現(xiàn)實意義。長期以來,人們主要通過啟發(fā)式算法[1]解決布局問題。例如張德富等[2]將構造啟發(fā)式算法與模擬退火算法結合,提出一種求解三維布局問題的混合模擬退火算法;Bortfeldt等[3]將多線程搜索應用于禁忌搜索算法,提出一種并行禁忌搜索算法;Gehring等[4]提出了解決三維布局問題的并行遺傳算法;Parreno等[5]基于最大空間概念的構造堆算法,進一步發(fā)展和改進了一種貪心隨機自適應搜索算法;He等[6]基于古語“金角銀邊草肚皮”提出一種針對三維矩形布局問題的高效定位啟發(fā)式算法。本文針對三維矩形布局問題,通過將構造啟發(fā)式算法的定位和定序結合,提出一種基于評價函數(shù)的布局遺傳算法。

    1 三維矩形布局問題

    三維矩形布局問題的數(shù)學模型描述如下:

    設布局空間的體積為V,布局空間的體積利用率為f,則目標函數(shù)

    式中:lk、wk、hk分別為第k個已布入矩形塊的長、寬、高;n為布入的矩形塊塊數(shù)。布局結果由體積利用率f來衡量,f值越大布局結果越好。約束條件

    式中:L、W、H分別表示布局容器的長、寬、高;(xi,yi,zi)和(xj,yj,zj)分別為第i個和第j個已布入物體的中心點坐標,且i≠j,i、j∈k。這里布局容器的左下前角為坐標原點(0,0,0)。li、wi、hi和lj、wj、hj分別為第i個和第j個已布入矩形塊的長、寬、高。式(2)(3)(4)保證物體完全布入到布局空間中,式(5)(6)(7)保證兩布入物體之間不發(fā)生干涉。

    另外,本文算法中矩形空間以及矩形塊的長>寬>高,矩形塊的長寬高尺寸不做交換,即矩形塊滿足方向約束,在布局過程中不可以旋轉。

    2 基于評價函數(shù)的構造啟發(fā)式算法

    構造啟發(fā)式算法通過一個一個地增加解的構造元素來求得可行解,它的循環(huán)次數(shù)與問題解的構造元素個數(shù)成正比,而與解空間的大小無關,因此,計算速度很快。

    布局問題中的構造啟發(fā)式算法主要由定序規(guī)則和定位規(guī)則所決定,不同的定序規(guī)則和定位規(guī)則可以產生不同的構造布局算法。定序規(guī)則確定每一個矩形塊放入布局空間中的先后順序;定位規(guī)則確定每一個矩形塊在布局空間中的擺放位置。定序和定位規(guī)則一旦確定,布局過程也就確定。本文所采用的定序規(guī)則和定位規(guī)則介紹如下。

    2.1 定序規(guī)則

    通常,人們通過比較矩形塊的某一項或某幾項屬性(如體積、面積等)來建立定序規(guī)則。本文提出一種基于評價函數(shù)的定序規(guī)則。評價函數(shù)為:

    式中:vi、li、wi、hi分別為第i個布局塊的體積、長、寬、高;v、l、w、h分別為布局空間的體積、長、寬、高;α、β、χ、δ均為參數(shù),且α+β+χ+δ=1。

    本文算法先確定α、β、χ、δ這4個參數(shù)值,然后根據(jù)已知矩形塊和布局空間的長寬高計算出每個矩形塊對應的函數(shù)值。當所有矩形塊計算完之后,依據(jù)從大到小的順序對函數(shù)值進行排序。函數(shù)值的排列順序也就是相應矩形塊的布局順序。例如最大函數(shù)值對應標號為5的矩形塊,那么標號為5的矩形塊將首先布局。

    該定序規(guī)則包含了一般情況下人們所使用的定序規(guī)則。在式(8)所示評價函數(shù)中取α=1,其余參數(shù)得0。這時按照評價函數(shù)函數(shù)值遞減布局,也就是按照體積遞減布局。在式(8)中,當取β=1,其余參數(shù)得0。結果恰好是按照最長邊遞減布局。

    若是2個或2個以上矩形塊評價函數(shù)函數(shù)值相等,則先計算函數(shù)值的矩形塊先于其他矩形塊布入。

    2.2 定位規(guī)則

    本文采用吸引子定位評價函數(shù)對矩形塊進行定位。吸引子法可參見文獻[7]。

    定位評價函數(shù)的具體形式為:

    式中:f(xi,yi,zi)為總的定位評價函數(shù);fi(xi,yi,zi)為關于各個吸引子的定位評價函數(shù);m為吸引子的個數(shù),這里m=4;t=1、2、3、4表示吸引子分別位于布局空間4個角點,如圖1中4個黑點所示;xot、yot、zot代表吸引子在布局空間中的3個坐標;ωt為各個吸引子定位函數(shù)之間的權重為每個吸引子定位函數(shù)內部權重,αt+ βt+ γt=1。

    圖1 吸引子位置

    類似定序規(guī)則的建立,定位規(guī)則首先確定定位評價函數(shù)的12個參數(shù)。然后通過比較備選布局點的函數(shù)值,將函數(shù)值最小的備選點作為矩形塊的布局位置。

    3 布局遺傳算法

    基于評價函數(shù)的構造啟發(fā)式算法共有15個可供選擇的參數(shù)。參數(shù)值不同,布局過程不同,布局結果也不同。要想使布局空間利用率最大,需要找到與之對應的15個參數(shù)的參數(shù)值。顯然,三維矩形布局問題的求解可化為一個15維的函數(shù)優(yōu)化問題。本文采用遺傳算法[8]來優(yōu)化參數(shù)?;谠u價函數(shù)的構造啟發(fā)式算法加上遺傳算法優(yōu)化構成布局遺傳算法。

    3.1 遺傳算法

    3.1.1 編碼策略

    采用實數(shù)編碼的方式,每個染色體是變量為20維的解向量。編碼向量表示為:S=(B1,B2,…,B20)。各個分向量分別對應算法的20個參數(shù)。

    3.1.2 適應度函數(shù)及初始化

    算法的適應度函數(shù)取布局空間的體積利用率f。適應度值越大,布局空間的利用率就越大,個體的性能也就越好。

    本文在產生初始種群時,采用如下方式進行:

    首先由計算機隨機產生,然后再做歸一化處理得到具體參數(shù)值。例如,隨機之后B1=0.7,B2=0.6,B3=0.4,B4=0.3;為保證參數(shù)之和等于1,分別用各個參數(shù)除以4個參數(shù)之和,結果對應定序評價函數(shù)α=0.7/(0.7+0.6+0.4+0.3)=0.35,同理 β=0.3,χ=0.2,δ=0.15。

    3.1.3 選擇算子

    在選擇配對個體時采用蜜蜂進化選擇法[9],其主要步驟:

    ①選取第N代種群中的最優(yōu)個體與上一代蜂王(適應度最好值)比較,優(yōu)勝者作為第N代蜂王,記為Queen。

    ②通過選擇算子從第N代種群中選出(n/2)λ(0≤λ≤1)個個體,隨后隨機產生(n/2)(1- λ)個個體。

    ③上述(n/2)個個體和第N代蜂王作為配對交叉的父本。

    3.1.4 交叉算子

    令選擇算子中的Queen分別與上述(n/2)個個體交叉配對。具體交叉策略為:

    (1)單點交叉。隨機生成一個交叉位點,將兩父代中交叉位點之前的基因進行整體交換,被交換基因之間的相對順序不變,從而生成2個新的子代個體;

    (2)雙點交叉。隨機生成2個交叉位點,將兩父代交叉位點之間的基因進行整體交換,被交換基因之間的相對順序不變,從而生成2個新的子代個體。

    3.1.5 變異算子

    對當前種群中的個體進行變異操作,是產生新解和維持種群多樣性的有效手段。本算法采用均勻變異:設新的個體中的分向量為Xk;k∈N且k∈[1,20],隨機產生一個變異位,用新產生的[0,1]之間的數(shù)代替這個基因。

    3.2 布局遺傳算法流程

    算法首先設定進化代數(shù)N、交叉概率PXOVER、變異概率PMUTATION以及蜜蜂進化選擇算子比例系數(shù)λ,然后隨機產生初始種群,計算個體適應度。算法以最大進化代數(shù)作為停止條件,若滿足停止條件,則停止計算;否則,對個體進行選擇、交叉、變異操作。當滿足終止條件時,輸出優(yōu)化參數(shù)值和布局方案。

    具體步驟如下:

    ①設定最大進化代數(shù)、交叉變異概率以及蜜蜂進化選擇算子系數(shù),隨機生成初始種群。

    ②基于初始種群確定的20個參數(shù)的參數(shù)值,計算出各個矩形塊的評價函數(shù)值,得出相應的定序和定位規(guī)則,實現(xiàn)布局過程。

    ③計算種群中所有個體的適應度,將最優(yōu)個體(即第N=0代蜂王)保存到best中。

    ④N=N+1。

    ⑤如果滿足停止條件,算法輸出結果并停止運行;否則,繼續(xù)。

    ⑥利用蜜蜂進化選擇算子,從A(N-1)中選出父代個體。

    ⑦父代個體進行交叉操作產生種群B(N)。

    ⑧對B(N)執(zhí)行變異操作,得到種群C(N)。

    ⑨基于種群C(N)確定的20個參數(shù)的參數(shù)值,計算出各個矩形塊的評價函數(shù)值,得出相應的定序和定位規(guī)則,實現(xiàn)布局過程。

    ⑩計算種群C(N)中所有個體的適應度,將適應度最大的個體記為newbest。

    ?如果newbest的適應度值大于best的適應值,用newbest代替best;否則,用newbest代替C(N)中最差的個體;得到第N代種群。

    ?轉到④。

    4 算例分析

    本文的基于評價函數(shù)的布局遺傳算法采用C++實現(xiàn),計算環(huán)境為:Pentium D C-PU,2 GB內存,2.79 GHz PC機。在以下計算中,算法進化代數(shù)、交叉概率、變異概率以及蜜蜂選擇算子的比例系數(shù)分別取N=20,PXOVER=0.85,PMUTATION=0.15,λ =0.8。具體計算中,每組數(shù)據(jù)計算10次,選取最好的計算結果作為最終結果。

    本文采用文獻[10]的后6組數(shù)據(jù)。每組有100個算例。所有矩形塊的尺寸均為整數(shù),矩形塊的長寬高尺寸區(qū)間分別為[30,120]、[25,100]和[20,80]。具體的算例計算和比較結果見表1。

    表1 各算法計算結果的利用率%

    表1中利用率為平均利用率,是將100個算例最終結果相加取平均得到。對于這些算例,很多學者都進行了研究測試。Bischoff等[10]提出啟發(fā)式算法H_BR;Gehring等[11]提出GA_GB算法;Bortfeld等[12-13]提出禁忌搜索法TS_BG和混合遺傳算法HGA_BG以及并行遺傳算法PGA_GB[4];Moura等[14]提出GRASP算法。

    從表1可以看出,BR14、BR15高出了其他所有算法結果,BR15高出對應最大值1.33%,BR14高出對應最大值0.94%。算例BR10—BR13結果雖然沒能高出其它所有算法,但是均高于上述其余6個算法結果中的4~5個,整體來看算法效果良好。

    5 結束語

    本文針對三維矩形布局問題,通過提出基于評價函數(shù)的定序和定位規(guī)則,創(chuàng)造性地將決定定序和定位規(guī)則的參數(shù)編碼于同一個基因向量中,從而將布局問題轉化為參數(shù)優(yōu)化問題。經過算例測試和分析,本文算法取得了良好的計算結果。另外,算法也存在一些需要解決的問題,例如,如何通過初始化參數(shù)的方法進一步優(yōu)化布局結果,如何通過將本文基于評價函數(shù)的定序規(guī)則與分割空間策略結合來進一步優(yōu)化布局結果,這將是今后的工作內容。

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