基于模糊隨機變量的資產組合選擇模型研究

鄧永輝

（湖南財政經濟學院，湖南 長沙 410205）

基于模糊隨機變量的資產組合選擇模型研究

鄧永輝

（湖南財政經濟學院，湖南 長沙 410205）

本文利用隨機變量表示各種投資的收益率，在概率理論和隨機機會規(guī)劃理論的基礎上建立了投資組合的決策模型，導出與原問題有緊密聯(lián)系的附屬問題及求解這類問題的一種有效算法.

資產組合選擇；模糊隨機變量；隸屬函數(shù)；測度空間

如何把投資資金分配到不同的資產中，以達到分散風險并確保收益的目的，這是資產組合選擇(Portfolio selection)研究的問題.現(xiàn)實中由于證券市場中存在著很多種不確定因素，因此，Portfolio selection問題常常伴隨著許多的不確定性.以概率論為基礎，從上個世紀60年代開始，許多學者對隨機資產組合選擇理論進行了深入研究，取得了顯著的研究成果.例如，Markowitz提出用資產組合收益的數(shù)學期望和方差度量投資收益和風險，提出了資產組合選擇問題的均值方差模型[1].此外，Roy從不同的思路提出了資產組合選擇的安全第一模型[2].實際上，無論是均值方差模型，還是安全第一模型，以及后來諸多學者提出的擴展模型，這些資產組合選擇模型都有一個共同的前提條件，那就是假設證券市場中的各種不確定性事件，不論其表現(xiàn)形式與性質如何，都是受到隨機因素影響的結果.然而，實踐經驗告訴我們，事件的不確定性主要有兩種不同的表現(xiàn)形式，即隨機性和模糊性隨機性.隨機性是指事件是否發(fā)生的不確定性，而模糊性則是指事件本身狀態(tài)的不確定性.

在絕大多數(shù)資產組合選擇模型中，考慮到諸多隨機因素的影響以及投資專家的經驗、知識和判斷在證券投資分析中發(fā)揮的不可忽視的作用，各證券的收益率被假設為隨機變量或者模糊變量.然而，正是因為證券市場中隨機性和模糊性這兩種不確定性同時并存，所以單單從隨機不確定性或者從模糊不確定性的角度都無法全面的描述證券市場中存在的多重不確定性，如果將隨機因素的影響以及投資專家的經驗和知識這兩方面結合起來考慮，無疑對證券收益率的估計會更加合理，同時有助于建立更加符合實際情況的資產組合選擇模型，從而制定出更合理的投資策略.本文在前人研究的基礎上，假設投資者的投資收益為模糊隨機變量，以模糊隨機變量為研究工具，建立模糊隨機環(huán)境下的資產組合選擇模型，并利用參數(shù)二次規(guī)劃找到了解決原問題的一種算法.

1 模糊隨機變量

由于實際情況中隨機因素和模糊信息常常同時出現(xiàn)，而且人們無法將隨機性與模糊性分離出來，因此，他們假設資產的未來收益率為模糊隨機變量.

定義1設(Ω,FΩ,P)為一概率空間，(Θ,FΘ)為一測度空間，其中，Ω為集合，Θ為模糊集，F(xiàn)Ω和FΘ是σ－代數(shù)，P為概率測度，模糊變量X是Ω到Θ的可測映射.即?A∈FΘ，都有{w|X(w)∈A}∈FΩ.

定理1設x是概率空間(Ω,FΩ,P)到測度空間(T,FT)的一個可測映射，X為Ω到Θ的映射，如果存在一個雙向映射h:Θ→T，則存在一個測度空間(Θ,FΘ)，且(Ω,FΩ,P)到(Θ,FΘ)的映射X是模糊隨機變量.

推論1 設X是Ω到Θ的映射，假設?w∈Ω，模糊集合X(w)的隸屬函數(shù)μX(w)關于函數(shù)f(u;θ)都有μX(w)=f(u;x(w)).其中，θ是參數(shù)向量，當θ1≠θ2時，f(u；θ1)≠f(u；θ2).因此X是模糊隨機變量.

2 模糊隨機資產組合選擇模型

假設資產的未來收益率為模糊隨機變根據(jù)單因素模型[3]，可知：

其中dj表示資產j的收益率，rj表示無風險資產的收益率，rm表示市場組合的收益率，且為資產j的 β值，αj為資產j的α值(1-βj)則有

假設dj=αj(w)+βjrm，其中αj(w)為模糊隨機變量，且有以下形式的隸屬函數(shù)

其中L為基準函數(shù)，αdj(w)服從正態(tài)分布

當f(0)=1，g(z)為連續(xù)單調遞增的函數(shù)時，l(t)也是連續(xù)單調遞增的函數(shù).則模糊隨機資產組合選擇模型為是隨機事件，t∈[0,1]為投資者事先給定的概率置信水平值.

3 模糊隨機資產組合選擇模型的最優(yōu)解

可將M2化為：

其中Kt與t的標準正態(tài)分布函數(shù)F的關系為Kt=F-1(t) >0，分別通過最優(yōu)值x*和h*可以求出模型M的最優(yōu)解.

x(h)和Y(h)分別是M模型的最優(yōu)解中的最優(yōu)值，又由于目標函數(shù)P(h)是關于x嚴格凸函數(shù)，因此在最優(yōu)解中x(h)是唯一確定的.

〔1〕Markow itzH.Portfolioseleetion.Journal of Finanee，1952，7：7－91．

〔2〕Roy A．D．Safety-first and the holding of assets．Econometrics，1952．20：431－449．

〔3〕W.F.Sharpe,“Capital Asset Prices:A Theory of Market Equilibrium under Conditions of R isk,”J.O f Finance,Vo1.19,1964,pp.425-442．

〔4〕鄧永輝，鄧永紅.溶質運移模型的有限元數(shù)值解[J].海南大學學報自科版,2011（1）:25-28.

O211；O242.1

A

1673-260X（2014）10-0011-02

湖南省社科基金項目（K201110）