型空間線性等距算子的表現(xiàn)形式

梁曉斌,謝新華

(上饒師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,江西 上饒 334000)

梁曉斌,謝新華

(上饒師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,江西 上饒 334000)

利用共軛對偶化方法,首先將n維歐氏空間線性等距算子特征根的相關(guān)結(jié)果推廣到E(n)型Banach空間,然后獲得了型Banach空間等距線性算子的表現(xiàn)定理,利用表現(xiàn)定理得到了空間中Tingley問題成立的充要條件.

等距映射;表現(xiàn)定理;型空間

關(guān)于等距算子的形式,在Banach的名著中[1],首先給出了空間c上的表現(xiàn)定理,對于經(jīng)典的如賦p-范數(shù)實空間,在文獻(xiàn)[2-3]中,也有確定的結(jié)論.但是由于具體空間的具體賦范形式不同,導(dǎo)致不同的賦范空間的解決方法各異.在非確定的范數(shù)情形下,問題就變得復(fù)雜困難.文獻(xiàn)[4]首先考慮了一個比較一般的非具體賦范二維空間,得到了一個新的結(jié)果,并且提出了空間E(Γ)上的一個公開性問題.1987年,文獻(xiàn)[5]提出了單位球面等距延拓問題,此問題在二維空間上也還遠(yuǎn)沒有解決,但文獻(xiàn)[2-3]利用各自空間等距算子的表現(xiàn)形式,討論了一些經(jīng)典的Banach空間如lp(Γ)(1≤p<∞,p2,Γ為任意指標(biāo)集)等,文獻(xiàn)[6]討論了一般空間E到空間 C(?)的Tingley問題,得到了很好的結(jié)果.顯然,明確空間的線性等距算子的形式,對Tingley問題的解決有極大幫助.本文就是利用所獲得的空間上線性等距算子的表現(xiàn)定理,得到了此空間中Tingley問題成立的充要條件.該結(jié)論部分地對文獻(xiàn)[4]公開性問題給于肯定的回答.

1 基本定義

本文討論兩個有限維同類型的實Banach空間的實線性等距算子表現(xiàn)形式.文獻(xiàn)[4,7]中首先定義了E(Γ)空間,本文沿用類似定義.

定義 1.1設(shè)Γ={1,2,···,n}是一個指標(biāo)集,是Banach空間X的單位基,π為?！Ｒ灰挥成??x∈X,記為若有

(II)若 y∈X,對每個 s∈Γ,有 |x(s)|≤|y(s)|,則 x∈X 且 ∥x∥≤∥y∥.若存在 sN,使|x(sN)|<|y(sN)|,則∥x∥<∥y∥.

(III)若

當(dāng)且僅當(dāng)x(s)只有一者不為零.稱此實Banach空間為E(n)型空間,是為此空間的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范基.

如果(III)改為:(A)若x(s)至少兩者不為零,∥x∥=1,則

或者

(B)若x(s)至少兩者不為零,∥x∥=1,則

注 1.1性質(zhì)(I)為絕對對稱性,性質(zhì)(II)為范數(shù)等模性,性質(zhì)(III)為非歐性.例如在三維歐氏空間中,若{e1,e2,e3}是標(biāo)準(zhǔn)正交基,則

而如果對 n維實線性空間賦 p范數(shù) (1≤ p< ∞,p2),則其必為 E(n)型空間,顯然當(dāng)1≤p<2時為型空間,2

2 引理和定理

引理 2.1設(shè)V是兩個E(n)型空間X、Y之間的實等距線性算子,分別是X、Y空間的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范基,(V(e1),V(e2),···,V(en))T=A(γ1,γ2,···,γn)T,A=(aij)是n階實方陣,則A的特征根的模為1.

證明(反證) 若 AT存在特征根 λ=r(cosα+isinα),|r|<1;假設(shè)其對應(yīng)的特征向量ξ=(ξ1,ξ2,···,ξn)T=(u1+iv1,u2+iv2,···,un+ivn)T,uk,vk∈R,k=1,2,···,n.于是,

由(1)式加(2)式,得

又由(2)式乘i減去(1)式乘i,得

推得uk,vk=0,k=1,2,···,n.與ξ0矛盾.

若存在特征根λ,且|λ|>1,因為A?1是由Y→X的等距線性算子,A?1有特征根λ?1,且|λ?1|<1,由前面證明,A的特征根的模必須為1.

注 2.1引理2.1的證明是必要的.不能套用n維復(fù)希爾伯特空間上類似的冪等矩陣中已知結(jié)果或者類似的方法[8],因為定義的空間是一般實的Banach空間,A?1的特征向量不一定是屬于這個Banach空間,這里應(yīng)用共軛根證明的方法是新的.

引理 2.2型空間是由和型空間所構(gòu)成的.

證明(反證)若存在一型空間,標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范基,P,Q0滿足

簡記為∥P∥=1,∥P∥2<1,∥Q0∥=1,∥Q0∥2>1.

由E(n)型空間的性質(zhì),不妨設(shè)0

又由M1中至少有分量=λ1a1+(1?λ1)b1,=λ1a2+(1?λ1)b2不為0,所以∥M1∥<1.

記

取μ1>1,且滿足∥Q1∥=1,顯然有∥Q1∥2>1.

重復(fù)同樣的步驟,令

于是可以構(gòu)造Q2,存在μ2使∥Q2∥=1,∥Q2∥2>1.

這樣可以構(gòu)造點列

滿足

又因為∥P∥<1,∥Q∥2≥1,有a1∥Q∥矛盾.

定理 2.1設(shè)V是兩個賦相同范數(shù)的型空間X、Y之間的等距線性算子,則V的形

式必為:V(ei)=θiγπ(i),θi=±1,i=1,2,···,n.其中π為一{1,2,···,n}→{1,2,···,n}的一一映射.

證明假設(shè) A=(aij)是 V所對應(yīng)的等距線性算子 (n階實矩陣),設(shè)存在 i,行向量(ai1,ai2,···,ain)中至少有兩元素不為0,由性質(zhì)(III),有

可知,A=(aij)=(aij)至少有一特征根模小于1,這和引理2.1矛盾.所以矩陣A=(aij)每行n個元素只有一者不為0且其絕對值為1.定理得證.

定理 2.2如果V0是型空間X、Y單位球面間的實等距算子,則V0可延拓成為的全空間的等距線性算子??V0的形式必為:V0(ei)=θiγπ(i),θi=±1,i=1,2,···,n.其中π:{1,2,···,n}→{1,2,···,n}為一一映射,且

證明 充分性?x∈E(n),令

顯然,V為V0的延拓,由性質(zhì)(I)(II)不難驗證V亦為線性等距算子.

必要性由定理2.1即可推出.

注 2.2根據(jù)定理2.1和定理2.2,對文獻(xiàn)[2]提出的問題在型空間給以肯定回答.但是要對E(n)型空間有肯定結(jié)論,還需證明空間.

推論 2.1在)型空間中為標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范基,若把視為同一類,標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范基唯一(即不存在其他形式的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范基具有相同的賦范).

注 2.3對于n維實希爾伯特空間,推論并不成立.正交變換可得到新的標(biāo)準(zhǔn)正交基.

關(guān)于非賦p-和范數(shù)E(n)型空間的例子,對自然基賦p-和范數(shù)(1≤p<∞,p2)的n維空間其必為E(n)型空間.事實上,設(shè)

規(guī)定

或者

[1]Banach S.Theoriˇe Desopˇerations Linˇeairs Banach[M].Warszawa:Monografje Matematyczne,1932.

[2]Ding Guanggui.The isometric extension problem in the unit spheres of lp(Γ)(p>1)type spaces[J].Science in China,Ser.A,2002,32(11):991-995.

[3]定光桂.兩個l∞-型空間單位球面滿等距映射的表現(xiàn)理論及其在等距延拓問題上的應(yīng)用[J].中國科學(xué):A輯, 2004,34(2):157-164.

[4]梁曉斌,黃時祥.兩個同類的E2型空間線性等距映射的表現(xiàn)定理[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報,2010,30(4):1088-1093.

[5]Tingley D.Isometries of the unit sphere[J].Geometric Dediceta,1987,22:271-378.

[6]Fang Xinian,Wang Jianhua.Extension of isometries between the unit spheres of normed space E and C(?)[J].Acta Mathematica Sinica,2006,22(6):1819-1824.

[7]梁曉斌,黃時祥,王建華.關(guān)于無限直和空間E(χ)中弱緊集上的單值遠(yuǎn)達(dá)點[J].數(shù)學(xué)雜志,2009,29(5):661-670.

[8]張俊敏,成立花,李祚.冪等矩陣線性組合的可逆性[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2007,23(2):231-234.

On the representation of linear isometries between thetype real spaces

Liang Xiaobin,Xie Xinhua
(Department of Mathematics,Shangrao University,Shangrao 334000,China)

In the paper,by the use of dual methods of conjugate,we promote this conclusion on the eigenvalues of linear isometry in Hilbert space toType Banach Spaces f i rstly,with this result,and then we got the representation theorem of isometric linear operators inType Banach spaces,this result is new.Finally,we also used the representation theorem to obtain a necessary and sufficient condition of Tingley issues inthe space.

isometry,representation,space

O177.3

A

1008-5513(2014)02-0143-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.02.004

2013-10-24.

江西省自然科學(xué)基金(2010GZC0186).

梁曉斌(1972-),碩士,副教授,研究方向：泛函分析.

2010 MSC:46B20