Hom-李超代數(shù)的結構

高宇佳,孫麗萍,劉文德

(1.哈爾濱師范大學數(shù)學系,黑龍江 哈爾濱 150025; 2.哈爾濱理工大學應用科學學院,黑龍江 哈爾濱 150080)

Hom-李超代數(shù)的結構

高宇佳1,孫麗萍2,劉文德1

(1.哈爾濱師范大學數(shù)學系,黑龍江 哈爾濱 150025; 2.哈爾濱理工大學應用科學學院,黑龍江 哈爾濱 150080)

類比于單李超代數(shù)的結構性質,證明了單Hom-李超代數(shù)沒有任何非平凡的左(右)理想、理想.通過給出保積Hom-李超代數(shù)的若干性質,建立了保積Hom-李超代數(shù)與李超代數(shù)之間的關系.特別地,證明了正則Hom-李超代數(shù)是可解(冪零)的充要條件是其容許李超代數(shù)是可解(冪零)的,并給出了正則Hom-李超代數(shù)是單的必要條件為其容許李超代數(shù)是單的.

單Hom-李超代數(shù);保積Hom-李超代數(shù);可解性

1 引言

2006年,Hartwing,Larsson和 Silvestrov為了研究Witt代數(shù)與 Virasoro代數(shù)的形變,提出了 Hom-李代數(shù)的概念[13].事實上,這個概念已經(jīng)隱含在許多更早期的文獻中,例如,文獻[4-7].Hom-李代數(shù)理論對微積分、物理學等領域的發(fā)展起到了很大的促進作用[8],研究Hom-李代數(shù)結構是李理論中的活躍課題.例如,2012年,生云鶴研究了Hom-李代數(shù)的伴隨表示與平凡表示,以及 Hom-李代數(shù)的導子、形變、中心擴張等[9].2000年,文獻[10]將Hom-李代數(shù)推廣到Hom-李超代數(shù)上.2012年,文獻[11]證明了復數(shù)域上有限維單李超代數(shù)只有平凡的保積Hom-李超代數(shù)結構.

類比李超代數(shù)的方法,本文證明了單Hom-李超代數(shù)沒有任何非平凡的左(右)理想、理想并給出了保積Hom-李超代數(shù)的一些基本性質.本文結構如下:第1節(jié)介紹了基本概念與基本性質;第2節(jié)給出單Hom-李超代數(shù)沒有任何非平凡的左(右)理想、理想這一定理及其證明;第3節(jié)研究保積Hom-李超代數(shù)的基本性質,特別地,證明了正則Hom-李超代數(shù)是可解(冪零)的充要條件為其容許李超代數(shù)是可解(冪零)的,并給出了正則Hom-李超代數(shù)是單的必要條件為其容許李超代數(shù)是單的.今后擬將本文的結果應用于研究超交換環(huán)上的微分算子構成的代數(shù)結構上的Hom-李超代數(shù),參見文獻[12].

本文約定所有的代數(shù)都是有限維的,且定義在特征零的代數(shù)閉域上.

2 基本概念與基本性質

設V,W 為超空間,φ:V→W 是一個線性映射.φ稱為偶的,如果φ(Vα)?Wα;φ稱為奇的,如果

設V是超空間,γ:V→V是一線性映射,使得對任意x∈Vα,α∈Z2,有γ(x)=(?1)|x|x,稱γ是符號映射.以下如無特殊說明,γ表示符號映射.顯然,γ是線性同構,特別地,γ2=idV.

引理 2.1若V是超空間,W 是V的子空間.則W 是Z2-階化子空間當且僅當W 是γ的不變子空間.

設X,Y是代數(shù)G的兩個非空子集,用符號XY表示所有形如xy的元素張成的子空間,其中x∈X,y∈Y.代數(shù)G的子空間B稱為G的子代數(shù),如果B關于G的乘法封閉,即BB?B.代數(shù)G的子空間J稱為G的左(右)理想,如果GJ?J(JG?J).如果J既是左理想又是右理想,則稱之為理想.

設G為代數(shù),稱

為代數(shù)G的導出序列G(k),k∈.若存在正整數(shù)n,使得G(n)=0,則稱代數(shù)G是可解的.稱

為代數(shù)G的降中心列Gk,k∈.若存在正整數(shù)n,使得Gn=0,則稱代數(shù)G是冪零的.

設G,L是兩個代數(shù),線性映射f:G→L稱為代數(shù)同態(tài),若f(xy)=f(x)f(y),對于任意的x,y∈G.

引理 2.2符號映射γ是超代數(shù)G的自同構.

證明如前所述,γ是線性同構,因此只需證明γ保持乘法運算.對于任意

綜上,γ是超代數(shù)G的同構映射.

引理 2.3設G是超代數(shù),J是G的子空間,則J是G的左(右)理想當且僅當γ(J)是G的左(右)理想.

證明首先證明命題對于左理想成立.由于γ是G的自同構且γ2=idG,所以只需證明必要性成立.對于任意的

則γ(J)是左理想.同理,命題對于右理想仍然成立.

設G為域F上的超代數(shù),若α:G→G是偶的線性映射,則稱(G,α)為Hom-超代數(shù),α為G的Hom-結構.若α是G的自同態(tài),則稱(G,α)為保積Hom-超代數(shù);若α是G的自同構,則稱(G,α)為正則Hom-超代數(shù).

定義 2.1設(G,α)為Hom-超代數(shù),其雙線性乘法用[?,?]表示.若G中的任意齊次元素x,y,z,滿足:

則稱(G,[?,?],α)為Hom-李超代數(shù).

定義 2.2設(G,[?,?],α)為Hom-李超代數(shù),若α是(G,[?,?],α)的自同態(tài)(自同構),則稱(G,[?,?],α)為保積(正則)Hom-李超代數(shù).

定義 2.3若 Hom-李超代數(shù) (G,[?,?],α)沒有任何非平凡的 Hom--階化理想且[G,G]/=0,則稱Hom-李超代數(shù)(G,[?,?],α)為單Hom-李超代數(shù).

定義 2.4設(G,[?,?]α,α)為Hom-李超代數(shù),若G上存在一個雙線性的乘法[?,?],使得(G,[?,?])是一個李超代數(shù),并且

則稱(G,[?,?]α,α)為李型Hom-李超代數(shù),并稱(G,[?,?])為其容許李超代數(shù).

3 單Hom-李超代數(shù)

由定義2.3,單Hom-李超代數(shù)沒有任何非平凡的Hom--階化理想,因此從邏輯上說,單Hom-李超代數(shù)可能有非-階化的Hom-理想.根據(jù)李超代數(shù)理論,有限維單李超代數(shù)沒有任何非平凡的左(右)理想、理想,見文獻[13]的定理1.2.2.下面將此結論推廣到Hom-李超代數(shù)上,即單Hom-李超代數(shù)沒有任何非平凡的Hom-左(右)理想、Hom-理想(這里的Hom-左(右)理想、Hom-理想不要求是-階化的).為此,首先證明下面引理成立:

引理 3.1設(G,[?,?],α)是單Hom-李超代數(shù),τ:G→G是奇的線性映射.若τ?α= α?τ,且對于任意的x,y∈G,有τ([x,y])=[x,τ(y)],則τ=0.

證明由于τ(α(kerτ))=(τ?α)(kerτ)=(α?τ)(kerτ)=α(τ(kerτ))=0,所以kerτ在α之下不變.同理有Im τ在α之下也不變,因此kerτ與Im τ均是(G,[?,?],α)的Hom-理想.由于|τ|=,則kerτ與Im τ都是(G,[?,?],α)的Hom-階化理想.又由(G,[?,?],α)的單性可知,τ=0或τ是雙射.

假設τ是雙射,下面欲推出矛盾.

此時,(4)式的左邊是對稱的,右邊是斜對稱的.

此時,(4)式的左邊是斜對稱的,右邊是對稱的.

綜上,等式(4)關于x,y一邊是對稱的,而另一邊是斜對稱的,從而?τ2([y,x])=0.又由于τ是雙射,所以[y,x]=0.

從而,[G,G]=0,這與G是單Hom-李超代數(shù)矛盾,于是τ=0.

下面定理證明思路與文獻[13]的定理1.2.2類似,但注意證明過程與Hom-結構的關聯(lián)性.

定理 3.1單Hom-李超代數(shù)沒有任何非平凡Hom-左(右)理想、Hom-理想.

證明設(G,[?,?],α)是單Hom-李超代數(shù),首先分步證明命題對于Hom-左理想成立:

(1)符號映射γ是(G,[?,?],α)的自同構.

事實上,由引理2.2可知,γ是一般超代數(shù)的自同構,因此只需證γ?α=α?γ即可.注意α為偶的線性映射,對于任意的有

由 x的任意性知,γ?α=α?γ,從而γ是 (G,[?,?],α)的自同構.

(2)設J是(G,[?,?],α)的非零左Hom-理想,則γ(J)也是(G,[?,?],α)的非零左Hom-理想.

事實上,由引理2.3知,γ(J)是一般超代數(shù)的左理想.又由于

故γ(J)在α之下不變,所以γ(J)是(G,[?,?],α)的非零左Hom-理想.

(3)G有非零左Hom-理想的直和分解:G=J⊕γ(J).

事實上,由(2)知,J+γ(J),J∩γ(J)是(G,[?,?],α)的非零左Hom-理想.又由于γ2是恒等映射,則J+γ(J),J∩γ(J)在γ下不變,根據(jù)引理1.1,J+γ(J),J∩γ(J)是(G,[?,?],α)的非零左Hom--階化理想.由(G,[?,?],α)的單性可知,J+γ(J)=G,J∩γ(J)=0,從而G=J⊕γ(J).

事實上,對于任意的x∈G,顯然有

包含關系“?”顯然成立.

(5)由 (3)知存在線性映射 τ:G→ G是線性映射,滿足

由τ的定義可知,顯然有τ2=idG成立.

當x∈G,y∈J時,由于J是理想,有

當x∈G,y∈γ(J)時,由于γ(J)是理想,有

從而對于任意的 x,y∈G,τ([x,y])=[x,τ(y)]成立.這與引理 3.1矛盾,故假設不成立,即單Hom-李超代數(shù)沒有任何非平凡的左Hom-理想.

同理,命題對于右理想成立,從而對于理想成立.

4 保積Hom-李超代數(shù)

命題 4.1設(G,[?,?]α,α)為正則Hom-李超代數(shù),則(G,[?,?]α,α)是李型Hom-李超代數(shù),且其容許李超代數(shù)為(G,[?,?]),其中[?,?]=α?1[?,?]α.

證明首先證明 (G,[?,?])為李超代數(shù),只需證明超 Jacobi-恒等式成立.對于任意的x,y,z∈G,

命題 4.2李型Hom-李超代數(shù)是保積Hom-李超代數(shù).

證明設為李型Hom-李超代數(shù),為其容許李超代數(shù),由定義2.4知,

引理 4.1設I為保積Hom-李超代數(shù)的Hom-理想,則為保積Hom-李超代數(shù),其中如(5)與(6)式規(guī)定.

命題 4.3設為保積 Hom-李超代數(shù),則為保積 Hom-李超代數(shù).特別地,當 k為使得 kerαk=kerαk+1成立的最小正整數(shù)時,為李型Hom-李超代數(shù).

證明由于αk(α(kerαk))=αk+1(kerαk)=0,從而kerαk在α之下不變,且

對于任意x,y∈G,設

那么

則 x?y∈kerαk+1=kerαk,從而 x+kerαk=y+kerαk,故為雙射.由命題 4.1知,為李型Hom-李超代數(shù).

定理 4.1設(G,[?,?]α,α)為正則Hom-李超代數(shù),則(G,[?,?]α,α)可解(冪零)的充分必要條件是其容許李超代數(shù)(G,[?,?])可解(冪零).

證明用和分別表示和(G,[?,?])的Hom-導出序列,用和分別表示(G,[?,?]α,α)和(G,[?,?])的Hom-降中心列.首先用歸納法證明

當k=m時,

定理 4.2設 (G,[?,?]α,α)為正則 Hom-李超代數(shù),(G,[?,?])為其容許李超代數(shù).若(G,[?,?])是單李超代數(shù),則(G,[?,?]α,α)是單Hom-李超代數(shù).

證明 反證法令I為(G,[?,?]α,α)的非平凡的Hom--階化理想,那么

由于α是(G,[?,?])的自同構,則α(I)=I,α(G)=G,從而

綜上所述,(G,[?,?]α,α)為單Hom-李超代數(shù).

定理 4.3設為李型Hom-李超代數(shù),φ:G→G′是線性映射且α′可逆.則φ是到的同構映射當且僅當φ是其容許李超代數(shù)到的同構映射并且滿足

證明設φ為到的同構映射,則

由定義2.4,可得

根據(jù)α′是可逆的,得φ([x,y])=[φ(x),φ(y)]′,即φ為(G,[?,?])到(G′,[?,?]′)的同構映射.

反之,若φ為(G,[?,?])到(G′,[?,?]′)的同構映射,在α′?φ=φ?α的條件下,以上過程是可逆的.從而φ也是到的同構映射.

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The structures of Hom-Lie superalgebras

Gao Yujia1,Sun Liping2,Liu Wende1
(1.Department of Mathematics,Harbin Normal University,Harbin 150025,China; 2.Institute of Applied Science,Harbin University of Science and Technology,Harbin 150080,China)

This paper considers f i nite-dimensional Hom-Lie superalgebras over a f i eld of characteristic zero. Analogous to the structural properties of the simple Lie superalgebra,we prove that a simple Hom-Lie superalgebra dose not have any non-trivial left or right ideals(graded or not).We establish the relationship between the multiplicative Hom-Lie superalgebra and the Lie superalgebra by giving some properties of the multiplicative Hom-Lie superalgebra.Especially,we characterize that a regular Hom-Lie superalgebra is solvable(or nilpotent)if and only if its admissible Lie superalgebra is solvable(or nilpotent).Furthermore,a regular Hom-Lie superalgebra is simple if its admissible Lie superalgebra is simple.

simple Hom-Lie superalgebra,multiplicative Hom-Lie superalgebra,solvability

O151.2

A

1008-5513(2014)02-0186-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.02.010

2013-12-30.

黑龍江省教育廳科學研究基金(12511349);國家自然科學基金(11171055);黑龍江省杰出青年基金(JC201004).

高宇佳(1988-),碩士生,研究方向：李代數(shù)與李超代數(shù).

2010 MSC:17B05,17B20,17B30