基于模態(tài)濾波的板殼類結構空間均方振速估算方法

劉監(jiān)波，吳崇健，陳樂佳，陳志剛

1中國艦船研究設計中心，湖北武漢430064 2中國艦船研究設計中心船舶振動噪聲重點實驗室，湖北武漢430064

基于模態(tài)濾波的板殼類結構空間均方振速估算方法

劉監(jiān)波1，吳崇健2，陳樂佳2，陳志剛2

1中國艦船研究設計中心，湖北武漢430064 2中國艦船研究設計中心船舶振動噪聲重點實驗室，湖北武漢430064

針對船舶、航空航天等工程領域中板、殼類結構振動噪聲評價問題，將廣泛應用于控制工程中的模態(tài)濾波理論引入到結構振動評估領域，建立了一種估算結構空間均方振速的新方法。該方法的特點是能在激勵源信息未知的情況下，以布置在結構表面有限個振動傳感器測量得到的振動響應作為主要輸入，估算板、殼類結構的空間均方振速，從而評價結構的整體振動狀態(tài)。依據(jù)該方法對一矩形平板結構受點力、線力和面力等3種典型的激勵源作用下，通過少量結構振動測點的振動信息，分別對其空間均方振速進行了數(shù)值驗證；同時利用一水下加肋圓柱殼結構進行了試驗驗證。數(shù)值和模型試驗驗證結果表明：利用該方法評估得到的振動速度譜線特征與精確解和實測值基本一致，評估誤差在2 dB以內(nèi)，滿足工程應用精度要求。該方法可以應用于工程中板、殼類結構振動噪聲評價和振動狀態(tài)的在線監(jiān)測評估。

模態(tài)濾波；模態(tài)坐標；空間均方振速；結構振動

0 引言

近年來，振動工程界越來越重視對結構振動與噪聲的實時在線監(jiān)測［1］，從而評價結構的振動量級并判斷其是否處于正常工作狀態(tài)。對于大量采用板、殼類結構的結構物（如水面船舶、水下航行器等），主要關心其法向振動量級的大小，可以采用法向空間均方振速作為其振動量級的評價指標?？臻g均方振速具有能量的性質(zhì)，反映了結構振動的整體情況。一般來說，可以通過實時測量作用在結構上的激勵力的大小，通過有限元計算或傳遞函數(shù)法得到其空間均方振速。但對于大型結構，特別是船舶、航空器等，其外部激勵源包括機械設備、管路系統(tǒng)以及外部的流體，激勵源性質(zhì)多樣，成因復雜，要在工程中準確獲取十分困難，導致在掌握了頻響函數(shù)以及模態(tài)參數(shù)后，結構的整體振動響應仍然無法準確知悉。因此，在激勵源信息未知的情況下，在結構上合理地布置一定數(shù)量的傳感器，通過測點處的振動信息（如振動加速度、振動速度或振動位移等）來重構整個結構的振動響應，得到結構的空間均方振速，評價結構的振動整體水平具有重要的工程意義，這也一直是結構振動狀態(tài)評估研究領域的難點和熱點問題。

陳樂佳［2］針對主要受點力作用的圓柱殼結構，從線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)的基本理論出發(fā)，在激勵源位置、數(shù)量已知的情況下，推導了有限測點振動至全結構域低頻振動的傳遞關系，建立了基于振動測量的圓柱殼結構低頻振動評價方法。陳美霞等［3］在此基礎上，利用統(tǒng)計能量基本理論將該方法應用頻段推廣到了中高頻段。金廣文等［4-5］通過對頻響函數(shù)矩陣求逆，得到了結構振動之間的傳遞關系，從而通過部分結構振動的振動信息重構整個結構的振動。

Bobrovnitskii［6］將結構邊界分為可測區(qū)和不可測區(qū)，假定所有激勵力都作用在不可測區(qū)，所用傳感器都布置在可測區(qū)；將激勵力作為未知量，測量得到的振動響應作為輸入，求解第一類Fredholm積分方程得到整個結構的振動響應。該方法要求傳感器的個數(shù)大于或等于激勵力的個數(shù)才能保證解的唯一性。

模態(tài)濾波方法最早應用于消除控制工程中的觀測溢出，其基本思想是利用模態(tài)的正交性，從物理坐標下的響應中提取出模態(tài)坐標的響應。Meirovitch等［7］定義了分布參數(shù)系統(tǒng)的模態(tài)濾波器，根據(jù)該定義構造模態(tài)濾波器時，需要知道結構的質(zhì)量分布函數(shù)，這在一定程度上限制了它的應用。Zhang等［8-9］提出了一種利用實驗所得的頻響函數(shù)獲取模態(tài)濾波器的方法，與Meirovitch提出的方法相比，該方法更接近于工程實際。Shelly［10］采用模態(tài)濾波方法從一鋼質(zhì)框架結構的響應中提取出了模態(tài)坐標，并討論了不同的傳感器布置對模態(tài)濾波結果的影響。傳感器的布置位置對模態(tài)濾波的準確性影響較大。Kammer［11］對此開展了大量的研究工作，建立了有效獨立法（Effective Independence，EfI），利用Fisher矩陣使感興趣的模態(tài)向量盡可能地線性無關，從而最大限度地從振動響應中提取出模態(tài)信息。

本文將控制工程中應用的模態(tài)濾波理論引入到結構振動評估領域，提出一種在激勵源信息未知的情況下，利用有限個測點的振動信息，估算板、殼類結構空間均方振速的新方法。該方法根據(jù)結構的頻響函數(shù)以及模態(tài)參數(shù)構造模態(tài)濾波器；從有限個測點響應中提取出各階模態(tài)坐標，通過坐標變換得到物理坐標下的響應，從而得到結構的空間均方振速值，用于評價結構的振動整體水平。該方法具有一定的工程實用價值，可以應用于工程中板、殼類結構振動噪聲評價和振動狀態(tài)的在線監(jiān)測評估。

1 基本理論

1.1 模態(tài)濾波器構造的方法

設Φ為模態(tài)矩陣，Φr為第r階模態(tài)向量法向分量，從中提取出對應傳感器位置處的分量形成縮減模態(tài)向量φr，設?r為第r階模態(tài)濾波向量，則有［8］

式中，

在p點激勵（可以任意選?。r，結構的位移頻響函數(shù)可以表示為

式中：ω為激勵圓頻率；φi為從Φi中對應傳感器位置提取出的縮減模態(tài)向量；φpi為Φi中第p個分量；mi為第i階模態(tài)質(zhì)量；ωi，ξi分別為第 i階模態(tài)圓頻率和模態(tài)阻尼比；TP為模態(tài)截斷數(shù)；Hp為 Nc×1的向量，其中 Nc為傳感器個數(shù)；j為虛數(shù)單位。若假設Φi為質(zhì)量歸一化的振形，則mi=1。將式（2）的左右兩邊分別乘以，利用式（1），有

式（3）可寫為

從式（4）中可以看出，模態(tài)濾波向量與結構的模態(tài)參數(shù)、模態(tài)向量、任意點至測點的頻響函數(shù)及傳感器的個數(shù)有關。在結構一定的條件下，模態(tài)參數(shù)、模態(tài)向量及頻響函數(shù)可由理論計算或?qū)嶒灉y量得到。文獻［9］中指出，為了能夠正確地實現(xiàn)模態(tài)濾波，傳感器的個數(shù)Nc必須大于或等于分析頻段（ωA≤ω≤ωB）內(nèi)的結構模態(tài)數(shù)目Nf。為了求出模態(tài)濾波向量，在ωA≤ω≤ωB頻段內(nèi)取一系列頻率點代入式（4）中即可得到式（5）。一般情況下，選取的頻率點越多，得到的模態(tài)濾波向量的精度越高。數(shù)值計算結果表明，在每個固有頻率附近取3個頻率點就可滿足精度要求。

式中，

式（5）為一個超定方程，采用最小二乘法求解其最佳逼近解：

在實際工程中求模態(tài)濾波向量時，可以任意選取一個激勵點（不一定是真實的激勵源位置）進行激勵，得到激勵點到測點的頻響函數(shù)。將測量得到的頻響函數(shù)、模態(tài)參數(shù)及模態(tài)向量代入式（5）、式（6）得到模態(tài)濾波向量。

1.2 傳感器數(shù)和位置的選取方法

文獻［9］的研究表明，要準確獲取模態(tài)坐標，布置在結構上的傳感器個數(shù)Nc必須大于或等于頻段內(nèi)的模態(tài)數(shù)目。在工程實際中，由于評估的頻帶較寬，且模態(tài)較為豐富，在整個評估頻段內(nèi)很難滿足傳感器數(shù)Nc大于模態(tài)數(shù)的條件。本文在文獻［9］的基礎上，提出一種分頻段的模態(tài)坐標提取方法，通過將分析頻段劃分為若干個子區(qū)間，使布置的傳感器數(shù)等于或大于子區(qū)間內(nèi)的結構模態(tài)數(shù)目，以確保模態(tài)濾波的準確性，同時還可降低傳感器的數(shù)量，使方法更具通用性。傳感器數(shù)Nc由式（7）確定。首先根據(jù)分析頻段帶寬和結構模態(tài)的密集程度選取子區(qū)間數(shù)K，從而確定傳感器數(shù)。

式中：Nf為分析頻段ωA≤ω≤ωB內(nèi)總模態(tài)數(shù)；K為子區(qū)間數(shù)；「」為向上取整。

傳感器的布置位置對模態(tài)濾波的精度有顯著影響。當傳感器數(shù)量確定后，布置位置可以采取Kammer建立的有效獨立法（EfI）從眾多備選位置中逐步縮減獲取。具體方法如下：

定義候選測點群（數(shù)量大于Nc）對模態(tài)矩陣線性無關的貢獻矩陣

式中，A=[φ1，φ2，…，φr]，為按照候選測點縮減后的模態(tài)矩陣。

A為冪等矩陣（A2=A），其對角線上元素Aii反映了第i個測點對縮減模態(tài)線性無關性的貢獻度，滿足0≤Aii≤1。若Aii=0，表示在第i個測點上無法識別關心的模態(tài)；若Aii=1，表示第i個測點為關鍵測點。對Aii大小排序，刪除Aii最小值代表的測點。對剩余測點重新生成并計算A矩陣，進行循環(huán)迭代縮減，直至達到設定的傳感器數(shù)Nc。

1.3 模態(tài)坐標的提取

當結構振動頻率ω屬于第s（s=1～K）個子區(qū)間時（即 ωAs≤ ω ≤ ωBs，ω ，ωAs，ωBs分別為結構的振動圓頻率、第s個子區(qū)間的下限圓頻率和第s個子區(qū)間的上限圓頻率，不同的區(qū)間頻率寬度不同），認為該子區(qū)間內(nèi)的模態(tài)對振動響應有主要貢獻，忽略該子區(qū)間外模態(tài)的貢獻。則任意激勵力作用下測點處的響應向量x（ω）可表示為

式中：F（Q）為載荷分布函數(shù)；＜，＞表示內(nèi)積。

結構的位移響應向量為

1.4 板殼類結構空間均方振速估算

本文主要考慮板、殼體類結構的空間均方振速的估算，其空間均方振速的定義為

式中：S表示振動面的面積；V為振動面的法向振速度分布函數(shù)。

將式（11）代入式（12），可得結構振動的空間均方速度為

式中，ωAs≤ω≤ωBs。

將式（10）代入式（13），可得模態(tài)濾波向量和結構空間均方振速的關系：

式中，Δs為單個離散節(jié)點所代表的面積。

將空間均方振速寫作空間均方振速級為

式中，v0=1×10-9m/s。

將各個頻點的振動量級采用能量疊加的方式得到振動總級

式中：LT為振動速度總級；Lvi為第i個頻點的振動速度級；n為分析頻段內(nèi)參與總級計算的頻點數(shù)。

2 數(shù)值分析

2.1 矩形板主要參數(shù)

本文以一四邊簡支的矩形薄平板為例來進行說明，如圖1所示。該平板寬度a=1.1 m，長度b=2.3 m，厚度 t=12 mm；材料參數(shù)為：彈性模量E=210 GPa，泊松比 μ =0.3，阻尼比取 ζ=0.05。

2.2 傳感器數(shù)目及位置

若分析頻段為10～300 Hz，經(jīng)計算，該頻段內(nèi)共有15個模態(tài)，可將頻段分為3個子區(qū)間（K=3）。根據(jù)式（7），傳感器數(shù)選取為5個。按照有效獨立法，確定了5個加速度傳感器的布置位置分別 為 ：（0.75，1.75），（0.75，1.25），（0.77，0.72），（0.34，1.22），（0.73，1.64）。

圖1 四邊簡支矩形鋼板Fig.1 Schematic view of the supported steel plate

2.3 矩形板模態(tài)坐標的提取

對每個子區(qū)間采用本文方法分別求出其對應的模態(tài)濾波矩陣。為了說明采用模態(tài)濾波提取模態(tài)坐標的效果，以一垂直于板面、幅值為1 N的點力在（0.2，0.7）處進行簡諧激勵，計算出各傳感器位置處的響應。采用式（11）可以從傳感器測量值中提取出每階模態(tài)坐標。圖2和圖3分別表示通過模態(tài)濾波方法得到的第1階和第3階模態(tài)坐標與精確值的對比。由圖中可知，除在120 Hz附近處外，模態(tài)濾波的結果與精確解符合得較好。這是由于布置了5個傳感器，模態(tài)濾波能較準確地提取模態(tài)坐標的頻率范圍為10 Hz～第5階模態(tài)頻率；由于該結構的第6階模態(tài)頻率為120.2 Hz，所以在120 Hz附近模態(tài)濾波結果與精確解有一定的差別。

圖2 第1階模態(tài)坐標Fig.2 Mode coordinate of the first set

圖3 第3階模態(tài)坐標Fig.3 Mode coordinate of the third set

2.4 矩形板空間均方振速的估算

本文提出的估算方法不需要事先知道激勵源的信息，為了說明本方法對任意的激勵源都是可行的，考慮了3種不同形式（點力、面力、線力）激勵源作用下的空間均方振速的估算。為便于比較，同時計算出了3種激勵形式下的空間均方速度的精確解。

1）若矩形板受到2個點力的作用，作用點坐標分別為（0.2，0.7），（0.5，1.3），幅值分別為 15 N和10 N，激勵頻率為10～300 Hz，可以計算得到傳感器位置處的響應。將其作為傳感器的測量值，采用本文方法估算出矩形板的空間均方振速與精確解對比如圖4所示。

圖4 矩形板空間均方振速（點力作用下）Fig.4 Spatial quadratic velocities of plate（excited by point forces）

2）若矩形板受到均勻面力的作用，作用范圍為 0≤x≤a/2，0≤y≤b/2，面力的幅值為 10 N/m2，激勵頻率為10～300 Hz，得到的均方速度級與精確解的對比如圖5所示。

3）若矩形板受到均勻線力的作用，作用位置為x=0.5 m，0≤y≤b/3，線力的幅值為10 N/m，激勵頻率為10～300 Hz，得到的均方速度級與精確解的對比如圖6所示。

圖5 矩形板空間均方振速（面力作用下）Fig.5 Spatial quadratic velocities of plate（excited by surface forces）

圖6 矩形板空間均方振速（線力作用下）Fig.6 Spatial quadratic velocities of plate（excited by line forces）

從圖4～圖6中可以看出，在本文所考慮的3種形式的激勵源作用下，估算得到的均方速度級與精確解的誤差較小，說明該方法能通過測量得到的振動響應來較準確地估算空間均方振速。從圖中還可以看出，估算值在峰值附近與精確值符合性較好，在谷值附近有一定的誤差，分析認為這是由于本文只考慮了結構的共振響應而忽略了非共振響應，在峰值附近共振模態(tài)起主要作用，所以估算值與精確值基本重合。而對于谷值位置而言，共振模態(tài)和非共振模態(tài)對振動響應的貢獻相差不大，所以在谷值位置，估算值和精確值有一定的差別，但并不影響對結構振動狀態(tài)的整體性評價。從表1給出的估算值與精確解的空間均方振速總級對比來看，兩者相差約1 dB，表明本方法對評價結構的整體性振動具有較高的精度。

表1 空間均方振速總級對比（10～300 Hz）Tab.1 Comparison of the total level of spatial quadratic velocities

3 模型試驗驗證

為進一步驗證本文建立方法的實用性，利用一水下加肋圓柱殼進行了模型試驗驗證。加肋圓柱殼結構如圖7所示。加肋圓柱殼內(nèi)部用一激振機激勵，激勵力大小未知。殼體內(nèi)部共布置加速度傳感器18個，用于獲取激振機激勵作用下殼體結構的振動響應。

通過有效獨立法，從18個傳感器中選取出其中的3個作為輸入。按照本文方法進行空間均方振速的評估。作為評估值的對比，將18個測點的振動加速度轉(zhuǎn)化為振動速度并計算平均值，稱之為實測值。

圖7 加肋圓柱殼試驗模型Fig.7 Ring stiffened cylindrical shell

表2給出了本文方法給出的空間均方振速總級評估值與實測值的對比，兩者誤差為1.5 dB。圖8給出了20～800 Hz頻段空間均方振速評估值與實測值頻譜特性的對比。對比表明，評估值與實測值頻譜特性的一致性較好。

表2 空間均方振速總級對比（20～800 Hz）Tab.2 Comparison of the total level of spatial quadratic velocities between the calculation value and the test value（20～800 Hz）

圖8 評估值與試驗值的對比Fig.8 Comparison of spatial quadratic velocities between calculation values and test values

4 結 語

1）本文針對工程領域中板、殼類結構振動噪聲評價問題，創(chuàng)新性地將廣泛應用于控制工程中的模態(tài)濾波理論引入到結構振動評估領域，采用模態(tài)參數(shù)、模態(tài)向量以及頻響函數(shù)構造了對應的模態(tài)濾波器，建立了基于模態(tài)濾波的板、殼類結構空間均方振速估算方法。該方法的特點是能在激勵源信息未知的情況下，以布置在結構表面有限個振動傳感器測量得到的振動響應作為主要輸入，估算板、殼類結構的空間均方振速，從而評價結構的整體振動噪聲狀態(tài)。

2）應用該方法分別估算了一矩形平板受3種不同形式激勵源作用下的空間均方振速，估算得到的振動速度譜線特征與精確解基本一致，振動速度總級相差約1 dB。同時，利用一水下加肋圓柱殼進行了模型試驗，驗證表明評估方法給出的評估值滿足工程應用的譜線特征和總振級精度要求，表明該方法具有一定的工程實用價值，可以應用于工程中板、殼類結構振動噪聲評價和振動狀態(tài)的在線監(jiān)測評估。

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Estimation of the Spatial Quadratic Velocity ofShells and Plate Structures Based on a Modal Filter

LIU Jianbo1，WU Chongjian2，CHEN Lejia2，CHEN Zhigang2

1 China Ship Development and Design Center，Wuhan 430064，China 2 National Key Laboratory on Ship Vibration and Noise，China Ship Development and Design Center，Wuhan 430064，China

Aiming at structural vibration assessment problems in the aerospace and ship engineerings，a new method for estimating the spatial quadratic velocity of plates and shells is presented using the theory of modal filter that has been widely used in the field of control engineering.The innate feature of the proposed method is that it can be applied in the case where the information concerning excited forces is unknown.To validate the method，the spatial quadratic velocities of a rectangle flat plate excited by three different types of forces，namely point forces，line forces，and surface forces，are estimated respectively，using the vibration information from a few measurement points.Meanwhile，various tests were carried out on an underwater ring stiffened cylindrical shell for further verification.The results show that the suggested method is precise in estimating the vibration spectrum，where the error is within 2 dB.Overall，the method can be used to estimate the spatial quadratic velocity of the structures in both actual practices and online monitoring.

modal filter；mode coordinates；spatial quadratic velocity；structural vibration

U661.44；TB123

A

1673－3185（2014）02－48－07

10.3969/j.issn.1673-3185.2014.02.009

http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3969/j.issn.1673-3185.2014.02.009.html

期刊網(wǎng)址：www.ship-research.com

2013－08－27 網(wǎng)絡出版時間：2014-3-31 16:32

國家部委基金資助項目

劉監(jiān)波（1973－），男，博士生。研究方向：艦船振動與噪聲控制

吳崇?。?960－），男，研究員，博士生導師。研究方向：噪聲與振動控制

陳樂佳（1982－），男，博士生，工程師。研究方向：艦船振動與噪聲控制。E-mail：hustclj＠163.com

陳樂佳

［責任編輯：易基圣］