初中數(shù)學(xué)教學(xué)如何引導(dǎo)學(xué)生克服思維定勢

鄧寶娟

摘 要：教學(xué)實踐表明，初中生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中容易受思維定勢的消極影響，使學(xué)生墨守成規(guī)，難以涌出新思維，做出新決策，造成知識和經(jīng)驗的負(fù)遷移，影響解題的效率。本文從巧用新舊比較、一題多解、一題多變、設(shè)計開放題等幾方面闡述了數(shù)學(xué)教學(xué)中教師如何引導(dǎo)學(xué)生克服思維定勢的消極影響，發(fā)展創(chuàng)新思維。

關(guān)鍵詞：思維定勢；初中數(shù)學(xué)教學(xué)；克服

“思維定勢”屬心理學(xué)概念，是人們從事某項心理活動的一種心理準(zhǔn)備狀態(tài)，也是人們長期形成的一種習(xí)慣思維方向。具體來說，就是人們在長期的思維過程中所形成的一種思維條件反射（投影），或者說是一種固定的思維方式。一種方法的反復(fù)運用往往會形成方法定勢。例如：學(xué)生在學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)與判定后，凡是碰到要證明兩條線段相等或證明兩個角相等的證明題，都千篇一律地想到通過證明兩個三角形全等得到兩條線段相等或兩個角相等，腦子一時想不起證明兩條線段相等或兩個角相等的方法。再如：學(xué)生在學(xué)習(xí)了分式方程的解法以后，突然碰到分式化簡的題目就習(xí)慣性地對它去分母。那么怎樣才能引導(dǎo)學(xué)生突破思維定勢呢？筆者認(rèn)為應(yīng)從下面幾個方面去努力：

一、巧用新舊比較，同中求異，突破思維定勢

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中，有許多數(shù)學(xué)概念、法則、公式等或者內(nèi)容相近、相似，或者形式相近、相似，對于一些容易混淆的概念，通過比較可以了解它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，使其本質(zhì)特征更清晰。如在講解三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心的概念時，可引導(dǎo)學(xué)生與三角形的外接圓及外心進行比較，通過比較，使學(xué)生混淆這兩個概念的程度降到最低。又如：在完成了二次函數(shù)這一部分的教學(xué)后，可引導(dǎo)學(xué)生與以前學(xué)過的解方程、分解因式、解不等式進行比較，歸納它們的相同點和不同點，讓學(xué)生明確以下四題：（1）解方程x2+2x-3=0；（2）分解因式x2+2x-3；（3）解不等式x2+2x-3﹤0（初中階段只要求通過觀察拋物線y=x2+2x-3的圖象寫出不等式x2+2x-3﹤0的解集）；（4）求拋物線y=x2+2x-3與x軸的交點坐標(biāo)。這些題雖然涉及的知識點各異，表達形式不同，但歸根結(jié)底是一個解方程的問題，只要第一個問題解決了，其它問題就迎刃而解了。再如：在講解梯形的概念時，可要求學(xué)生比較梯形與平行四邊形兩種圖形的相同點和不同點。學(xué)生通過比較和總結(jié)不難得出，兩種圖形的相同點是它們都是四邊形，都至少有一組對邊平行；不同點是平行四邊形的兩組對邊分別都平行，而梯形只有一組對邊平行，另一組對邊不平行。通過比較這兩個概念的異同點，學(xué)生很容易抓住它們的本質(zhì)屬性，促進對概念的理解和記憶。教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到梯形是一個組合圖形，是由特殊的平行四邊形和三角形組合而成的，所以它基本上沒什么性質(zhì)，而是通過圖形分解，轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形來解決問題的。學(xué)生如果明確了這一點，那么碰到有關(guān)梯形的問題也就能自覺地添加輔助線解決問題了。如果進一步能夠弄清四邊形與三角形如何拼成梯形，那么，對于如何添加輔助線將梯形轉(zhuǎn)化為特殊的平行四邊形以及三角形就不是特別困難了。

二、巧用一題多解，多向思考，突破思維定勢

教學(xué)實踐表明，克服消極的心態(tài)定勢，要從改變學(xué)生解題思維的常態(tài)入手，打破不同的解題方法之間的壁壘，找到它們之間的聯(lián)系，并且在使用中要啟發(fā)學(xué)生關(guān)注這些聯(lián)系。關(guān)注一些數(shù)學(xué)一題多解是培養(yǎng)發(fā)散思維的很好形式，有利于知識的建立和認(rèn)識上的飛躍，同時也可擴展學(xué)生獨立學(xué)習(xí)的自由度，為提高解題能力創(chuàng)造有利的條件。靈活的思維方式與創(chuàng)造性思維是密切相關(guān)的，如果一個學(xué)生只會以一種固定的方式或教師教的方法去思考和處理問題，是無法產(chǎn)生創(chuàng)造力的。教師應(yīng)該讓學(xué)生養(yǎng)成一種多角度思考問題的習(xí)慣和思維方法，不能拘泥于一個角度、一種模式，以免造成學(xué)生思路方法單一，思維僵化。在平時教學(xué)中應(yīng)鼓勵學(xué)生解題從多角度、多方面去思考，不斷啟發(fā)學(xué)生的求異思維。讓學(xué)生在求異思維中生“慧眼”，透過重重“迷霧”洞察一切，以探求更巧妙的解題方法。例如，教學(xué)下面的例1、例2時，可引導(dǎo)學(xué)生從經(jīng)歷探究不同的解題思路過程中，篩選出最優(yōu)的解題方法。

例1：一條拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過（-1，0）與（3，0），最高點縱坐標(biāo)是4，求這條拋物線的解析式。

分析：本題按常規(guī)解法，先把（-1，0）（3，0）兩點坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c，再根據(jù)頂點坐標(biāo)公式，得到方程組，求出a，b，c，進而求出拋物線的解析式，但解方程組難度較大。也可用拋物線的頂點式，設(shè)拋物線解析式為y=a（x-h）2+4，再把（-1，0），（3，0）兩點坐標(biāo)代入，轉(zhuǎn)化為解方程組，解方程組求a、h也很困難?，F(xiàn)考慮拋物線的對稱性，（-1，0）與（3，0）恰好是拋物線與x軸的兩個交點，則拋物線對稱軸是直線x=1，則拋物線頂點是（1，4），設(shè)拋物線為y=a（x-1）2+4，將點（-1，0）坐標(biāo)代入很容易求出a，進而求出拋物線解析式。這是可以根據(jù)題目特點，鼓勵學(xué)生另避途徑來間接地達到目的。經(jīng)過這樣的訓(xùn)練，學(xué)生的創(chuàng)造性思維將得到不斷提高和拓展。

例2：已知a，b滿足ab=1，那么■+■= .

方法一：特值法，將a=1，b=1代入所求式子得■+■=■+■=1

方法二：將a=■代入所求式子得■+■=■+■=■+■=1

方法三：將1=ab代入所求式子得■+■=■+■=■+■=1

方法四：通分得■+■=■+■

=■+■

=■+■

=■

=1

方法五：■+■=■+■=■+■=■=1

引導(dǎo)學(xué)生對比以上五種解法，可看出方法一是最簡單的。

三、巧用一題多變，多題歸一，突破思維定勢

“數(shù)學(xué)是題的海洋”，教師不能要求學(xué)生做遍所有的數(shù)學(xué)題，這是不可能的。對學(xué)生進行一題多變的訓(xùn)練，是鞏固基礎(chǔ)知識、培養(yǎng)能力的一種重要手段，同時對培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和廣闊性是非常重要的。在平時的教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過很多途徑對課本的例、習(xí)題進行變式，如：改變條件、改變結(jié)論、改變數(shù)據(jù)或圖形，條件引申或結(jié)論拓展，條件開放或結(jié)論開放或條件、結(jié)論同時開放等。通過一題多變、多題歸一的訓(xùn)練，可以把各個階段所學(xué)的知識、知識的各個方面緊密聯(lián)系起來，加深對知識的理解，認(rèn)識和體會數(shù)學(xué)是一個整體，但更重要的是可以達到解一道題懂一類題的目的，更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、創(chuàng)新意識和探索精神，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力，學(xué)會學(xué)習(xí)。

下面的例3可作如下的變式讓學(xué)生練習(xí)。

例3：如圖1，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，點F、E分別在AB、CD的延長線上，且CF=BC，AE=AD。

■

（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；（2）若去掉已知條件的“∠DAB=60°”，上述的結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由。

變式1：如圖2，在平行四邊形ABCD中，點F、E分別是AB、CD的延長線上的一點，△ADE是等邊三角形。

求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

變式2：如圖3，在平行四邊形ABCD中，點F、E分別是AB、CD的延長線上的一點，且OA=OC。

求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

■

變式3：如圖4，在平行四邊形ABCD中，點F、E分別是AB、CD的延長線上的一點，且OF=OE。

求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

變式4：如圖5，在平行四邊形ABCD中，分別在一組對邊AD、CB的外側(cè)做兩個等邊三角形△ADE和△CBF。

求證：四邊形AFCE、BEDF是平行四邊形。

■

四、巧用開放題，舉一反三，突破思維能力定勢

開放題教學(xué)作為一種新的教學(xué)形式，能夠調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，拓展學(xué)生的思維空間，有利于培養(yǎng)學(xué)生的表述能力和批判、評價能力，有利于提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。經(jīng)常設(shè)計開放性的題目讓學(xué)生訓(xùn)練，也是突破思維定勢的一種很好形式，由于開放性問題的結(jié)論不確定（或不惟一），或條件不完備，或者推理不確定的，需由解答者依題進行探索，確定結(jié)論或者補充條件或選擇不同的解題策略后再解題。這類題目有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、廣闊性、靈活性、縝密性、創(chuàng)造性和批判性；能引起學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的順應(yīng)，從而使學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生質(zhì)的變化，使他們的知識水平和數(shù)學(xué)能力得到較大程度的提高；能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生樂于參與，久而久之就會成為學(xué)生主動學(xué)習(xí)的動力；對于訓(xùn)練或考查學(xué)生的發(fā)展思維進而培養(yǎng)創(chuàng)新能力是十分有利的，因此在近年來的各類試題中越來越受到重視。

例如：實施“一元二次方程”教學(xué)時，筆者不直接把概念給學(xué)生，也沒有讓學(xué)生觀察一個一元二次方程去歸納概念，而是讓學(xué)生依照一元二次方程這個名稱，自己設(shè)計一個概念，并舉例加以說明，結(jié)果學(xué)生剛開始設(shè)計出的概念多數(shù)類似于“含有一個個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是二次的方程”，在通過不斷的舉例、討論和修改之后才逐漸接近書本上的概念。又如：在指導(dǎo)九年級學(xué)生中考前復(fù)習(xí)函數(shù)這部分內(nèi)容時可設(shè)計下面的例4讓學(xué)生訓(xùn)練，在復(fù)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)與判定這部分內(nèi)容時可設(shè)計下面的例5讓學(xué)生訓(xùn)練。

例4：已知函數(shù)的圖象經(jīng)過（3，3）（1，-1）兩點，請你寫出滿足上述條件的函數(shù)解析式，并簡要說明解答過程。

分析：該題函數(shù)解析式的類型末知，因此所求的函數(shù)可能為直線、雙曲線、拋物線等，結(jié)論不確定，是一道結(jié)論開放題，此題既考查數(shù)學(xué)基本方法——待定系數(shù)法，又能訓(xùn)練學(xué)生思維的邏輯性和嚴(yán)密性。

例5：已知四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，給出下列四個條件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD，請你從中任選兩個條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有（）

A.3種 B.4種 C.5種 D.6種

分析：這是一道條件開放題，題目給出了部分條件及確定的結(jié)論，目的在于考查學(xué)生對平行四邊形判定的理解和應(yīng)用，要求學(xué)生深入認(rèn)識題中的內(nèi)在聯(lián)系，選出能得出結(jié)論的兩個條件就能解決。

通過上述例題的實踐，促進了學(xué)生對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)掌握，初步養(yǎng)成了學(xué)生解題時認(rèn)真分析問題、仔細(xì)審題的習(xí)慣。在平時的教學(xué)中教師也將例題、習(xí)題改造為為開放性問題，也可在處理課外作業(yè)時適時給出一定的開放題，讓學(xué)生有足夠的時間和空間去思考，以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維及獨立解決問題的能力。

參考文獻：

李紅霞，馬亞軍，等.初中數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)舉一反三[M].西安：陜西人民教育出版社，2005.

下面的例3可作如下的變式讓學(xué)生練習(xí)。

例3：如圖1，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，點F、E分別在AB、CD的延長線上，且CF=BC，AE=AD。

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（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；（2）若去掉已知條件的“∠DAB=60°”，上述的結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由。

變式1：如圖2，在平行四邊形ABCD中，點F、E分別是AB、CD的延長線上的一點，△ADE是等邊三角形。

求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

變式2：如圖3，在平行四邊形ABCD中，點F、E分別是AB、CD的延長線上的一點，且OA=OC。

求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

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變式3：如圖4，在平行四邊形ABCD中，點F、E分別是AB、CD的延長線上的一點，且OF=OE。

求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

變式4：如圖5，在平行四邊形ABCD中，分別在一組對邊AD、CB的外側(cè)做兩個等邊三角形△ADE和△CBF。

求證：四邊形AFCE、BEDF是平行四邊形。

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四、巧用開放題，舉一反三，突破思維能力定勢

開放題教學(xué)作為一種新的教學(xué)形式，能夠調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，拓展學(xué)生的思維空間，有利于培養(yǎng)學(xué)生的表述能力和批判、評價能力，有利于提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。經(jīng)常設(shè)計開放性的題目讓學(xué)生訓(xùn)練，也是突破思維定勢的一種很好形式，由于開放性問題的結(jié)論不確定（或不惟一），或條件不完備，或者推理不確定的，需由解答者依題進行探索，確定結(jié)論或者補充條件或選擇不同的解題策略后再解題。這類題目有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、廣闊性、靈活性、縝密性、創(chuàng)造性和批判性；能引起學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的順應(yīng)，從而使學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生質(zhì)的變化，使他們的知識水平和數(shù)學(xué)能力得到較大程度的提高；能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生樂于參與，久而久之就會成為學(xué)生主動學(xué)習(xí)的動力；對于訓(xùn)練或考查學(xué)生的發(fā)展思維進而培養(yǎng)創(chuàng)新能力是十分有利的，因此在近年來的各類試題中越來越受到重視。

例如：實施“一元二次方程”教學(xué)時，筆者不直接把概念給學(xué)生，也沒有讓學(xué)生觀察一個一元二次方程去歸納概念，而是讓學(xué)生依照一元二次方程這個名稱，自己設(shè)計一個概念，并舉例加以說明，結(jié)果學(xué)生剛開始設(shè)計出的概念多數(shù)類似于“含有一個個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是二次的方程”，在通過不斷的舉例、討論和修改之后才逐漸接近書本上的概念。又如：在指導(dǎo)九年級學(xué)生中考前復(fù)習(xí)函數(shù)這部分內(nèi)容時可設(shè)計下面的例4讓學(xué)生訓(xùn)練，在復(fù)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)與判定這部分內(nèi)容時可設(shè)計下面的例5讓學(xué)生訓(xùn)練。

例4：已知函數(shù)的圖象經(jīng)過（3，3）（1，-1）兩點，請你寫出滿足上述條件的函數(shù)解析式，并簡要說明解答過程。

分析：該題函數(shù)解析式的類型末知，因此所求的函數(shù)可能為直線、雙曲線、拋物線等，結(jié)論不確定，是一道結(jié)論開放題，此題既考查數(shù)學(xué)基本方法——待定系數(shù)法，又能訓(xùn)練學(xué)生思維的邏輯性和嚴(yán)密性。

例5：已知四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，給出下列四個條件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD，請你從中任選兩個條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有（）

A.3種 B.4種 C.5種 D.6種

分析：這是一道條件開放題，題目給出了部分條件及確定的結(jié)論，目的在于考查學(xué)生對平行四邊形判定的理解和應(yīng)用，要求學(xué)生深入認(rèn)識題中的內(nèi)在聯(lián)系，選出能得出結(jié)論的兩個條件就能解決。

通過上述例題的實踐，促進了學(xué)生對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)掌握，初步養(yǎng)成了學(xué)生解題時認(rèn)真分析問題、仔細(xì)審題的習(xí)慣。在平時的教學(xué)中教師也將例題、習(xí)題改造為為開放性問題，也可在處理課外作業(yè)時適時給出一定的開放題，讓學(xué)生有足夠的時間和空間去思考，以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維及獨立解決問題的能力。

參考文獻：

李紅霞，馬亞軍，等.初中數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)舉一反三[M].西安：陜西人民教育出版社，2005.

下面的例3可作如下的變式讓學(xué)生練習(xí)。

例3：如圖1，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，點F、E分別在AB、CD的延長線上，且CF=BC，AE=AD。

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（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；（2）若去掉已知條件的“∠DAB=60°”，上述的結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由。

變式1：如圖2，在平行四邊形ABCD中，點F、E分別是AB、CD的延長線上的一點，△ADE是等邊三角形。

求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

變式2：如圖3，在平行四邊形ABCD中，點F、E分別是AB、CD的延長線上的一點，且OA=OC。

求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

■

變式3：如圖4，在平行四邊形ABCD中，點F、E分別是AB、CD的延長線上的一點，且OF=OE。

求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

變式4：如圖5，在平行四邊形ABCD中，分別在一組對邊AD、CB的外側(cè)做兩個等邊三角形△ADE和△CBF。

求證：四邊形AFCE、BEDF是平行四邊形。

■

四、巧用開放題，舉一反三，突破思維能力定勢

開放題教學(xué)作為一種新的教學(xué)形式，能夠調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，拓展學(xué)生的思維空間，有利于培養(yǎng)學(xué)生的表述能力和批判、評價能力，有利于提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。經(jīng)常設(shè)計開放性的題目讓學(xué)生訓(xùn)練，也是突破思維定勢的一種很好形式，由于開放性問題的結(jié)論不確定（或不惟一），或條件不完備，或者推理不確定的，需由解答者依題進行探索，確定結(jié)論或者補充條件或選擇不同的解題策略后再解題。這類題目有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、廣闊性、靈活性、縝密性、創(chuàng)造性和批判性；能引起學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的順應(yīng)，從而使學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生質(zhì)的變化，使他們的知識水平和數(shù)學(xué)能力得到較大程度的提高；能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生樂于參與，久而久之就會成為學(xué)生主動學(xué)習(xí)的動力；對于訓(xùn)練或考查學(xué)生的發(fā)展思維進而培養(yǎng)創(chuàng)新能力是十分有利的，因此在近年來的各類試題中越來越受到重視。

例如：實施“一元二次方程”教學(xué)時，筆者不直接把概念給學(xué)生，也沒有讓學(xué)生觀察一個一元二次方程去歸納概念，而是讓學(xué)生依照一元二次方程這個名稱，自己設(shè)計一個概念，并舉例加以說明，結(jié)果學(xué)生剛開始設(shè)計出的概念多數(shù)類似于“含有一個個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是二次的方程”，在通過不斷的舉例、討論和修改之后才逐漸接近書本上的概念。又如：在指導(dǎo)九年級學(xué)生中考前復(fù)習(xí)函數(shù)這部分內(nèi)容時可設(shè)計下面的例4讓學(xué)生訓(xùn)練，在復(fù)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)與判定這部分內(nèi)容時可設(shè)計下面的例5讓學(xué)生訓(xùn)練。

例4：已知函數(shù)的圖象經(jīng)過（3，3）（1，-1）兩點，請你寫出滿足上述條件的函數(shù)解析式，并簡要說明解答過程。

分析：該題函數(shù)解析式的類型末知，因此所求的函數(shù)可能為直線、雙曲線、拋物線等，結(jié)論不確定，是一道結(jié)論開放題，此題既考查數(shù)學(xué)基本方法——待定系數(shù)法，又能訓(xùn)練學(xué)生思維的邏輯性和嚴(yán)密性。

例5：已知四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，給出下列四個條件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD，請你從中任選兩個條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有（）

A.3種 B.4種 C.5種 D.6種

分析：這是一道條件開放題，題目給出了部分條件及確定的結(jié)論，目的在于考查學(xué)生對平行四邊形判定的理解和應(yīng)用，要求學(xué)生深入認(rèn)識題中的內(nèi)在聯(lián)系，選出能得出結(jié)論的兩個條件就能解決。

通過上述例題的實踐，促進了學(xué)生對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)掌握，初步養(yǎng)成了學(xué)生解題時認(rèn)真分析問題、仔細(xì)審題的習(xí)慣。在平時的教學(xué)中教師也將例題、習(xí)題改造為為開放性問題，也可在處理課外作業(yè)時適時給出一定的開放題，讓學(xué)生有足夠的時間和空間去思考，以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維及獨立解決問題的能力。

參考文獻：

李紅霞，馬亞軍，等.初中數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)舉一反三[M].西安：陜西人民教育出版社，2005.