基于MATLAB軟件的高等數(shù)學圖形問題

摘要：將數(shù)學軟件 MATLAB 應(yīng)用于高等數(shù)學中的空間解析幾何教學，能對圖形進行靜態(tài)與動態(tài)的可視化，使教學內(nèi)容更加形象生動，有利于學生對知識的理解與掌握，能進一步推動基礎(chǔ)課程教學方法的現(xiàn)代化進程。

關(guān)鍵詞：MATLAB；軟件；高等數(shù)學；圖形

中圖分類號：TP319 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2014）13-3186-04

The Higher Mathematical Graphic Problems of Based on MATLAB Software

ZHOU Hou-qing

（Department of Mathematics， Shaoyang University， Shaoyang 422004， China）

Abstract： Applying mathematical software MATLAB to the space analytic geometry in higher mathematical teaching， we can make the graphics static and dynamic visualization， and makes the teaching content more vivid. It is beneficial to students understanding knowledge， and promote the modernization of basic courses teaching methods.

Key words： MATLAB； software； Higher mathematic； graphic

20世紀杰出的數(shù)學家 Richard.Courant 在《什么是數(shù)學》一書中開宗明義寫道： 數(shù)學，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志，縝密周詳?shù)耐评硪约皩ν昝谰辰绲淖非?。它的基本要素是：邏輯和直觀、分析和構(gòu)作、一般性和個別性。雖然不同的傳統(tǒng)可以強調(diào)不同的側(cè)面，然而正是這些互相對立的力量的相互作用以及它們綜合起來的努力才構(gòu)成了數(shù)學科學的生命、用途和它的崇高價值。那么，在高等數(shù)學的教學中，少不了“縝密周詳?shù)耐评怼?，如何將這個推理過程“直觀地”呈現(xiàn)出來是一個值得思考和亟待解決的問題。

高等數(shù)學中函數(shù)、微分、積分以及空間曲面相交，空間曲面所圍圖形等概念的抽象程度大大超過了其他的自然科學。傳統(tǒng)的教學方法在講解概念和圖形的變化時，缺乏能夠形象展示概念和圖形的工具，致使形象不夠具體，學生比較枯燥，難以形成良好的認知，理解上存在困難。因此，圖形和概念成為大學數(shù)學學習的難點。 若利用有關(guān)的數(shù)學軟件，將有關(guān)內(nèi)容做成多媒體課件，可以變“抽象”為“具體”，變“靜止”為“活動”，變“虛幻”為“現(xiàn)實”?？梢愿鶕?jù)教學內(nèi)容選擇合適的素材，突破時空的限制，通過聲音、形象、色彩、動畫等生動形象地再現(xiàn)某些場景以及事情的發(fā)生、發(fā)展過程。這樣，可以有效地提高學生的學習興趣和學習效果。而MATLAB軟件就是一款對學習，特別對作圖是非常有幫助的軟件。

MATLAB是美國Mathworks公司推出的產(chǎn)品。 MATLAB名稱是由Matrix 和Laboratory 兩個英文單詞各取前3個字母組合而成。 最早的版本用Fortran語言編寫，20世紀90年代后，MATLAB的內(nèi)核采用C語言編寫，在數(shù)值計算方面功能不斷增強，還增強了數(shù)據(jù)的可視化功能。 現(xiàn)在的MATLAB已經(jīng)將高性能的數(shù)值計算和可視化集成在一起，提供了大量的內(nèi)置函數(shù)，廣泛地應(yīng)用于科學計算，控制系統(tǒng)，信息處理等領(lǐng)域的分析、仿真和設(shè)計工作，強大的矩陣計算和仿真能力是它的強項。

MATLAB也提供強大的圖形處理和編輯功能，能夠?qū)⒔?jīng)過數(shù)據(jù)處理，運算和分析后的結(jié)果通過圖形的方式直觀地進行表示，這樣便于用戶觀察數(shù)據(jù)間的關(guān)系。用MATLAB可以繪制二維曲線，三維圖形，以及高維圖形，特殊圖形等等。

在高等數(shù)學教學中，應(yīng)用MATLAB的圖形可視化功能，對圖形進行靜態(tài)與動態(tài)的可視化設(shè)計，可以把曲線、曲面的形成過程和變化過程準確地呈現(xiàn)出來，對激發(fā)學生學習興趣，提高學生學習效果，培養(yǎng)學生的空間想象能力大有裨益。下面我們將通過一些具體的實例說明MATLAB在高等數(shù)學教學中的作用。

在空間解析幾何和定積分，特別是重積分的教學過程中，學生對曲線，曲面的形狀位置等特征搞不清，即使將他們畫在黑板上，也不一定 弄得明白積分的取值范圍。 因為空間曲線、曲面的形成過程僅僅通過講敘是比較抽象的，在黑板上的靜態(tài)描繪，既不直觀也不生動，學生難以理解。這時候，若用MATLAB動畫演示，將曲線或曲面的形成過程直觀的呈現(xiàn)在學生眼前，那么，學生對這個內(nèi)容，就會留下深刻的印象。如果還能加一些聲音色彩元素，效果就會更好。

例1 作出螺旋線的圖像.

程序見下面：

t=0：0.1：10*pi；

i=1；

h=plot3（sin（t（i）），cos（t（i）），t（i），'*'，'erasemode'，'none'）；

grid on

axis（[-2 2 -2 2 0 35]）

for i=2：length（t）

set（h，'xdata'，sin（t（i）），'ydata'，cos（t（i）），'zdata'，t（i））；

drawnow

pause（0.01）

end

圖1 圓柱形螺旋線

這個程序的特點在于螺旋線是以動畫的形式出現(xiàn)，學生可以清晰地看到螺旋線的形成過程。而下面這個程序作出的螺旋線是圓錐形，它沒有動畫，程序完成后馬上顯示下面圖2的圖像。

a=0：0.1：20*pi；

h=plot3（a.*cos（a），a.*sin（a），2.*a，'b'，'linewidth'，2）；

axis（[-50，50，-50，50，0，150]）；

grid on

set（h，'erasemode'，'none'，'markersize'，22）；

xlabel（'x軸'）；ylabel（'y軸'）；zlabel（'z軸'）.

圖2 圓錐形螺旋線

同樣是圓錐形螺旋線，但這個程序作圖時顯示了螺旋線形成的動畫過程，并且呈現(xiàn)的時間比較長，能夠看得很清楚。

x='2*t*sin（pi/4）*cos（t）'；

y='2*t*cos（pi/4）*sin（t）'；

z='2*t*cos（pi/4）'；

for k=0：0.1：4*pi

grid on

ezplot3（x，y，z，[0，k+0.2]）

pause（0.05）

title（' 圓錐螺線'）

End

在用程序畫圖時，可以根據(jù)需要將一些數(shù)據(jù)適當?shù)匚⒄{(diào)， 改變其中的一些數(shù)據(jù)后，隨之輸出的圖像就會發(fā)生變化。

圖3 動畫形圓錐形螺旋線

例2 做出維維安尼（Viviani）曲線圖形。

[x2+y2+z2=a2x2+y2-ax=0]

若在黑板上畫這條曲線，則很難直觀反映曲線的特點，而借助MATLAB軟件，則很容易畫出，既生動又美觀。首先畫球面與柱面相交，

程序如下：

syms s t k u r；

x1='sin（s）*cos（t）'；y1='sin（s）*sin（t）'；z1='cos（s）'；

x2='-cos（k）*cos（k）'；y2='sin（k）*cos（k）'；z2='u'；

subplot（1，2，1）；ezmeshc（x2，y2，z2，[0，pi，-2，2]）； %繪制圓柱面

hold on；

ezsurf（x1，y1，z1，[-pi，pi，0，pi]）； %繪制球面

title（' 球面與圓柱面'）；

圖4 球面與柱面相交圖

其次畫維維安尼曲線，程序如下

syms s t k u r；

x1='sin（s）*cos（t）'；y1='sin（s）*sin（t）'；z1='cos（s）'；

x2='-cos（k）*cos（k）'；y2='sin（k）*cos（k）'；z2='u'；

subplot（1，2，1）；ezmeshc（x2，y2，z2，[0，pi，-2，2]）； %繪制圓柱面

hold on；

ezsurf（x1，y1，z1，[-pi，pi，0，pi]）； %繪制球面

title（' 球面與圓柱面'）；

hold off；

x3='-cos（r）*cos（r）'；y3='sin（r）*cos（r）'；z3='sin（r）'；

subplot（1，2，2）；ezplot3（x3，y3，z3，[0，2*pi]）；

title（' 維維安尼Viviani曲線'）

圖5 維維安尼曲線

在空間解析幾何的教學實踐中，我們感受最深的是學生對兩個空間圖形相交不會畫圖，甚至頭腦中沒有這個相交的概念，即使在黑板上畫出了圖形，他們還是難以認同和接受。主要是缺乏空間想象能力，缺乏行之有效的訓練。例如，我們在講授平面與曲面相交時，在黑板上畫出了例3圖形。雖然畫出了，但學生還是覺得不好理解，主要原因是黑板上畫的不夠直觀。后來，我們借助多媒體，利用MATLAB畫圖，效果就很好，學生一下就明白了。

例3 畫出平面與圓柱面的交線

程序如下

[X，Y，Z] = cylinder（125，100）；

Z1=400*Z；

Z1（1，：）=-400；

mesh（X，Y，Z1）%畫柱面

hold on

ezmesh（'z*5/4-x '，[-140 140]）%畫平面

axis square

t = 0：pi/20：2*pi；

plot3（125*sin（t），125*cos（t），（z*5/4-125*sin（t））/，'k-+'，'LineWidth'，2）%畫交線

圖6 柱面與平面相交

像一枚硬幣都有其兩面性一樣，利用 MATLAB 繪制圖形，形象又直觀，有利學生認識圖形；但如果因為軟件作畫簡單快捷而放棄手工繪制，那么對學生的動手能力的培養(yǎng)將是不利的。因為繪圖往往是學生的弱項，平時對作圖缺乏系統(tǒng)的訓練；而手工繪制圖形的過程也是思維訓練的過程，對空間觀念的建立和空間想象能力的提升很有幫助。各種軟件應(yīng)用的最終目的是用于輔助教學，用它來為教學服務(wù)。計算機不能取代教師上課，它只是教學任務(wù)實現(xiàn)的手段，是對傳統(tǒng)教學的一種優(yōu)化。所以，教學過程中，各種軟件的使用始終應(yīng)遵循為教學內(nèi)容服務(wù)的原則，有針對性地使用，切忌盲目濫用，杜絕教師服務(wù)課件的現(xiàn)象。

參考文獻：

[1] R.柯朗，H.羅賓.什么是數(shù)學：對思想和方法的基本研究[M].上海：復(fù)旦大學出版社，2005.

[2] 周建興，豈興明，矯津毅，等.MATLAB從入門到精通[M].北京：人民郵電出版社，2008.

這個程序的特點在于螺旋線是以動畫的形式出現(xiàn)，學生可以清晰地看到螺旋線的形成過程。而下面這個程序作出的螺旋線是圓錐形，它沒有動畫，程序完成后馬上顯示下面圖2的圖像。

a=0：0.1：20*pi；

h=plot3（a.*cos（a），a.*sin（a），2.*a，'b'，'linewidth'，2）；

axis（[-50，50，-50，50，0，150]）；

grid on

set（h，'erasemode'，'none'，'markersize'，22）；

xlabel（'x軸'）；ylabel（'y軸'）；zlabel（'z軸'）.

圖2 圓錐形螺旋線

同樣是圓錐形螺旋線，但這個程序作圖時顯示了螺旋線形成的動畫過程，并且呈現(xiàn)的時間比較長，能夠看得很清楚。

x='2*t*sin（pi/4）*cos（t）'；

y='2*t*cos（pi/4）*sin（t）'；

z='2*t*cos（pi/4）'；

for k=0：0.1：4*pi

grid on

ezplot3（x，y，z，[0，k+0.2]）

pause（0.05）

title（' 圓錐螺線'）

End

在用程序畫圖時，可以根據(jù)需要將一些數(shù)據(jù)適當?shù)匚⒄{(diào)， 改變其中的一些數(shù)據(jù)后，隨之輸出的圖像就會發(fā)生變化。

圖3 動畫形圓錐形螺旋線

例2 做出維維安尼（Viviani）曲線圖形。

[x2+y2+z2=a2x2+y2-ax=0]

若在黑板上畫這條曲線，則很難直觀反映曲線的特點，而借助MATLAB軟件，則很容易畫出，既生動又美觀。首先畫球面與柱面相交，

程序如下：

syms s t k u r；

x1='sin（s）*cos（t）'；y1='sin（s）*sin（t）'；z1='cos（s）'；

x2='-cos（k）*cos（k）'；y2='sin（k）*cos（k）'；z2='u'；

subplot（1，2，1）；ezmeshc（x2，y2，z2，[0，pi，-2，2]）； %繪制圓柱面

hold on；

ezsurf（x1，y1，z1，[-pi，pi，0，pi]）； %繪制球面

title（' 球面與圓柱面'）；

圖4 球面與柱面相交圖

其次畫維維安尼曲線，程序如下

syms s t k u r；

x1='sin（s）*cos（t）'；y1='sin（s）*sin（t）'；z1='cos（s）'；

x2='-cos（k）*cos（k）'；y2='sin（k）*cos（k）'；z2='u'；

subplot（1，2，1）；ezmeshc（x2，y2，z2，[0，pi，-2，2]）； %繪制圓柱面

hold on；

ezsurf（x1，y1，z1，[-pi，pi，0，pi]）； %繪制球面

title（' 球面與圓柱面'）；

hold off；

x3='-cos（r）*cos（r）'；y3='sin（r）*cos（r）'；z3='sin（r）'；

subplot（1，2，2）；ezplot3（x3，y3，z3，[0，2*pi]）；

title（' 維維安尼Viviani曲線'）

圖5 維維安尼曲線

在空間解析幾何的教學實踐中，我們感受最深的是學生對兩個空間圖形相交不會畫圖，甚至頭腦中沒有這個相交的概念，即使在黑板上畫出了圖形，他們還是難以認同和接受。主要是缺乏空間想象能力，缺乏行之有效的訓練。例如，我們在講授平面與曲面相交時，在黑板上畫出了例3圖形。雖然畫出了，但學生還是覺得不好理解，主要原因是黑板上畫的不夠直觀。后來，我們借助多媒體，利用MATLAB畫圖，效果就很好，學生一下就明白了。

例3 畫出平面與圓柱面的交線

程序如下

[X，Y，Z] = cylinder（125，100）；

Z1=400*Z；

Z1（1，：）=-400；

mesh（X，Y，Z1）%畫柱面

hold on

ezmesh（'z*5/4-x '，[-140 140]）%畫平面

axis square

t = 0：pi/20：2*pi；

plot3（125*sin（t），125*cos（t），（z*5/4-125*sin（t））/，'k-+'，'LineWidth'，2）%畫交線

圖6 柱面與平面相交

像一枚硬幣都有其兩面性一樣，利用 MATLAB 繪制圖形，形象又直觀，有利學生認識圖形；但如果因為軟件作畫簡單快捷而放棄手工繪制，那么對學生的動手能力的培養(yǎng)將是不利的。因為繪圖往往是學生的弱項，平時對作圖缺乏系統(tǒng)的訓練；而手工繪制圖形的過程也是思維訓練的過程，對空間觀念的建立和空間想象能力的提升很有幫助。各種軟件應(yīng)用的最終目的是用于輔助教學，用它來為教學服務(wù)。計算機不能取代教師上課，它只是教學任務(wù)實現(xiàn)的手段，是對傳統(tǒng)教學的一種優(yōu)化。所以，教學過程中，各種軟件的使用始終應(yīng)遵循為教學內(nèi)容服務(wù)的原則，有針對性地使用，切忌盲目濫用，杜絕教師服務(wù)課件的現(xiàn)象。

參考文獻：

[1] R.柯朗，H.羅賓.什么是數(shù)學：對思想和方法的基本研究[M].上海：復(fù)旦大學出版社，2005.

[2] 周建興，豈興明，矯津毅，等.MATLAB從入門到精通[M].北京：人民郵電出版社，2008.

這個程序的特點在于螺旋線是以動畫的形式出現(xiàn)，學生可以清晰地看到螺旋線的形成過程。而下面這個程序作出的螺旋線是圓錐形，它沒有動畫，程序完成后馬上顯示下面圖2的圖像。

a=0：0.1：20*pi；

h=plot3（a.*cos（a），a.*sin（a），2.*a，'b'，'linewidth'，2）；

axis（[-50，50，-50，50，0，150]）；

grid on

set（h，'erasemode'，'none'，'markersize'，22）；

xlabel（'x軸'）；ylabel（'y軸'）；zlabel（'z軸'）.

圖2 圓錐形螺旋線

同樣是圓錐形螺旋線，但這個程序作圖時顯示了螺旋線形成的動畫過程，并且呈現(xiàn)的時間比較長，能夠看得很清楚。

x='2*t*sin（pi/4）*cos（t）'；

y='2*t*cos（pi/4）*sin（t）'；

z='2*t*cos（pi/4）'；

for k=0：0.1：4*pi

grid on

ezplot3（x，y，z，[0，k+0.2]）

pause（0.05）

title（' 圓錐螺線'）

End

在用程序畫圖時，可以根據(jù)需要將一些數(shù)據(jù)適當?shù)匚⒄{(diào)， 改變其中的一些數(shù)據(jù)后，隨之輸出的圖像就會發(fā)生變化。

圖3 動畫形圓錐形螺旋線

例2 做出維維安尼（Viviani）曲線圖形。

[x2+y2+z2=a2x2+y2-ax=0]

若在黑板上畫這條曲線，則很難直觀反映曲線的特點，而借助MATLAB軟件，則很容易畫出，既生動又美觀。首先畫球面與柱面相交，

程序如下：

syms s t k u r；

x1='sin（s）*cos（t）'；y1='sin（s）*sin（t）'；z1='cos（s）'；

x2='-cos（k）*cos（k）'；y2='sin（k）*cos（k）'；z2='u'；

subplot（1，2，1）；ezmeshc（x2，y2，z2，[0，pi，-2，2]）； %繪制圓柱面

hold on；

ezsurf（x1，y1，z1，[-pi，pi，0，pi]）； %繪制球面

title（' 球面與圓柱面'）；

圖4 球面與柱面相交圖

其次畫維維安尼曲線，程序如下

syms s t k u r；

x1='sin（s）*cos（t）'；y1='sin（s）*sin（t）'；z1='cos（s）'；

x2='-cos（k）*cos（k）'；y2='sin（k）*cos（k）'；z2='u'；

subplot（1，2，1）；ezmeshc（x2，y2，z2，[0，pi，-2，2]）； %繪制圓柱面

hold on；

ezsurf（x1，y1，z1，[-pi，pi，0，pi]）； %繪制球面

title（' 球面與圓柱面'）；

hold off；

x3='-cos（r）*cos（r）'；y3='sin（r）*cos（r）'；z3='sin（r）'；

subplot（1，2，2）；ezplot3（x3，y3，z3，[0，2*pi]）；

title（' 維維安尼Viviani曲線'）

圖5 維維安尼曲線

在空間解析幾何的教學實踐中，我們感受最深的是學生對兩個空間圖形相交不會畫圖，甚至頭腦中沒有這個相交的概念，即使在黑板上畫出了圖形，他們還是難以認同和接受。主要是缺乏空間想象能力，缺乏行之有效的訓練。例如，我們在講授平面與曲面相交時，在黑板上畫出了例3圖形。雖然畫出了，但學生還是覺得不好理解，主要原因是黑板上畫的不夠直觀。后來，我們借助多媒體，利用MATLAB畫圖，效果就很好，學生一下就明白了。

例3 畫出平面與圓柱面的交線

程序如下

[X，Y，Z] = cylinder（125，100）；

Z1=400*Z；

Z1（1，：）=-400；

mesh（X，Y，Z1）%畫柱面

hold on

ezmesh（'z*5/4-x '，[-140 140]）%畫平面

axis square

t = 0：pi/20：2*pi；

plot3（125*sin（t），125*cos（t），（z*5/4-125*sin（t））/，'k-+'，'LineWidth'，2）%畫交線

圖6 柱面與平面相交

像一枚硬幣都有其兩面性一樣，利用 MATLAB 繪制圖形，形象又直觀，有利學生認識圖形；但如果因為軟件作畫簡單快捷而放棄手工繪制，那么對學生的動手能力的培養(yǎng)將是不利的。因為繪圖往往是學生的弱項，平時對作圖缺乏系統(tǒng)的訓練；而手工繪制圖形的過程也是思維訓練的過程，對空間觀念的建立和空間想象能力的提升很有幫助。各種軟件應(yīng)用的最終目的是用于輔助教學，用它來為教學服務(wù)。計算機不能取代教師上課，它只是教學任務(wù)實現(xiàn)的手段，是對傳統(tǒng)教學的一種優(yōu)化。所以，教學過程中，各種軟件的使用始終應(yīng)遵循為教學內(nèi)容服務(wù)的原則，有針對性地使用，切忌盲目濫用，杜絕教師服務(wù)課件的現(xiàn)象。

參考文獻：

[1] R.柯朗，H.羅賓.什么是數(shù)學：對思想和方法的基本研究[M].上海：復(fù)旦大學出版社，2005.

[2] 周建興，豈興明，矯津毅，等.MATLAB從入門到精通[M].北京：人民郵電出版社，2008.