巧用比較，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

瞿小煒

著名教育家烏申斯基認(rèn)為：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過(guò)比較來(lái)了解世界上的一切的?！北容^在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的作用，更是不可替代、不可估量的。它既能讓學(xué)生在比較的過(guò)程中消化舊知，又能在比較的過(guò)程中消除新舊知識(shí)的障礙，突破新舊知識(shí)的難點(diǎn)，更能讓學(xué)生在比較的過(guò)程中靈活運(yùn)用新知。下面，筆者就以自己執(zhí)教《三位數(shù)乘兩位數(shù)》的練習(xí)課為例談?wù)勥@方面的體會(huì)。

一、抓住學(xué)生發(fā)言對(duì)比——體現(xiàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言精確性

教學(xué)伊始，我先出了四道計(jì)算題。

[380×22 170×60 500×43 40×205][3 8 0][2 2][×] [1 7 0][6 0][×] [4 3][5 0 0][×] [2 0 5][4 0][×]

學(xué)生計(jì)算之后匯報(bào)結(jié)果，正確率很高。這是一個(gè)令人欣喜的現(xiàn)象，照理應(yīng)該馬上進(jìn)入下一個(gè)環(huán)節(jié)，但十多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)告訴我：如果僅僅滿(mǎn)足于計(jì)算結(jié)果正確與否，那這組題的設(shè)計(jì)意圖還不能得以充分體現(xiàn)。于是在學(xué)生計(jì)算之后，我讓學(xué)生觀察并說(shuō)一說(shuō)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：第3題在列豎式的時(shí)候要將43寫(xiě)在上面，500寫(xiě)在下面，第4題與此相同。

師：看來(lái)列豎式之前我們還要仔細(xì)觀察數(shù)字的特征，不能提筆就寫(xiě)。

生：乘數(shù)末尾的0的個(gè)數(shù)與積末尾的0的個(gè)數(shù)是有關(guān)系的。

師：什么關(guān)系？

生1：兩個(gè)乘數(shù)末尾一共有幾個(gè)0，積的末尾就一共有幾個(gè)0。

生2：我不同意他的觀點(diǎn)，我覺(jué)得應(yīng)該是乘數(shù)的末尾一共有幾個(gè)0，積的末尾可能有幾個(gè)0。比如說(shuō)第4題，乘數(shù)的末尾只有一個(gè)0，而積的末尾卻有兩個(gè)0。

生3：我覺(jué)得可以將“可能”這個(gè)詞換成“至少”，這句話(huà)就變成“乘數(shù)的末尾一共有幾個(gè)0，積的末尾至少有幾個(gè)0”。

出示剛才學(xué)生回答的三句話(huà)作為判斷。

師：請(qǐng)你們參照這四道題目，觀察并仔細(xì)辨別一下這三句話(huà)，到底怎么說(shuō)比較精確呢？

學(xué)生通過(guò)辨別討論，得出結(jié)論：“乘數(shù)的末尾一共有幾個(gè)0，積的末尾至少有幾個(gè)0”這句話(huà)的敘述更為精確，因?yàn)槌藬?shù)末尾的0的個(gè)數(shù)只能確定積的末尾至少有幾個(gè)0。

由學(xué)生自己觀察、比較得出結(jié)論，不管正確與否，都是學(xué)生積極思考的見(jiàn)證。在層層比較與深入辨析之后，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解更為透徹與深入，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)理解由表及里地不斷內(nèi)化。學(xué)生在理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言的精確性的同時(shí)，也能深刻意識(shí)到，真理就是在不斷地探尋與斟酌、比較與辨析中形成的。

二、動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)對(duì)比題組——激發(fā)應(yīng)用規(guī)律自覺(jué)性

學(xué)生初步感知到精確“比較”帶來(lái)的成就感，我緊接著做了書(shū)本上的一組口算題。

[6.算一算，比一比。

11×60 20×32 13×20

11×600 200×32 13×300

110×60 20×320 130×30]

【案例A】這組以口算為主的計(jì)算，大多教師教學(xué)時(shí)都是這么處理的：讓學(xué)生獨(dú)立口算，校對(duì)計(jì)算結(jié)果之后，再讓學(xué)生比一比、說(shuō)一說(shuō)發(fā)現(xiàn)了什么。這樣的處理方式，我仔細(xì)算了一下，時(shí)間花費(fèi)比較多，更重要的是在“比一比”這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生得出的都是一些淺層的比較結(jié)果，總給人一種為了“比”而“比”的感覺(jué)，沒(méi)有挖掘出題組蘊(yùn)含的更為深刻的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

【案例B】在深入思考之后，我決定這么處理：我先挑出三組中的前兩組，進(jìn)行口算。

學(xué)生很快就將答案算出來(lái)了。接著，我讓學(xué)生觀察每組題目，你發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生稍微動(dòng)動(dòng)腦筋就能想到：每組題目都只算了一道算式，比如說(shuō)第一組題目，我們都只算了11×6，最后的乘積只要看清楚兩個(gè)乘數(shù)的末尾共有幾個(gè)0，就在積的末尾添幾個(gè)0。緊接著再追問(wèn)：你能根據(jù)前兩組的答案直接寫(xiě)出第三組的答案嗎？

學(xué)生很順利地完成了。照理說(shuō)，這道題到這兒已經(jīng)是將“比較”出的規(guī)律用之于實(shí)踐了，但是我沒(méi)有就此打住。光有思維的順延我感覺(jué)還不夠，緊接著，我又出了一道乘法算式32×2=64，問(wèn)：如果要讓積變成640，你知道前面的算式是什么嗎？

生1：320×2。

生2：也可以是32×20。

師：如果積是6400呢？

生1：320×20。生2：32×200。生3：3200×2。

師：真是一群聰明的孩子。那你有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這里面隱藏著的規(guī)律呢？

生：積里面一共多了幾個(gè)0，只要在乘數(shù)里加上幾個(gè)0就可以了。這個(gè)0到底加在哪個(gè)乘數(shù)的后面，沒(méi)有任何關(guān)系。

到這里，這組題目完成了計(jì)算—比較—發(fā)現(xiàn)規(guī)律—順運(yùn)用規(guī)律—逆運(yùn)用規(guī)律的完美統(tǒng)一。我跳出了以計(jì)算為重點(diǎn)的圈子，讓學(xué)生在計(jì)算后比較，發(fā)現(xiàn)題目隱藏的一些規(guī)律，從規(guī)律的總結(jié)中再反過(guò)來(lái)運(yùn)用。學(xué)生在比較、總結(jié)、逆運(yùn)用的過(guò)程中深刻理解了乘數(shù)末尾的0和積的末尾的0相互之間的緊密聯(lián)系，進(jìn)一步強(qiáng)化了本課的教學(xué)重點(diǎn)，攻破了教學(xué)難點(diǎn)。

三、深入規(guī)律內(nèi)涵比較——增強(qiáng)思維水平深刻性

依然是上面一組題目中的最后一小組。這組題目已經(jīng)完成了一個(gè)使命：讓學(xué)生深入理解乘數(shù)末尾的0與積的末尾的0的關(guān)系。在備課的時(shí)候我想，繼續(xù)將此題深入挖掘，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)積的變化規(guī)律。

（1）320×20=6400，（2）32×200=6400，（3）3200×2=6400。

師：觀察這組題，我們一起來(lái)思考一下，為什么只要積是6400，乘數(shù)末尾的兩個(gè)0就可以隨意“溜達(dá)”到第一個(gè)或第二個(gè)乘數(shù)的末尾呢？

生：如果以第一道和第二道算式為例，第一個(gè)乘數(shù)320變成32，縮小了10倍，第二個(gè)乘數(shù)由20變成200就擴(kuò)大了10倍，這樣擴(kuò)大和縮小的倍數(shù)正好相互抵消掉，積就不會(huì)變了。

師：觀察得真夠細(xì)致的。他不僅用到了我們常用的一種數(shù)學(xué)思想——抵消，還揭示了乘法中的一個(gè)重要規(guī)律，叫作積的變化規(guī)律。（板書(shū)）endprint

師：一道乘法算式中，如果積不變，兩個(gè)乘數(shù)可以隨意變化。想一想，兩個(gè)乘數(shù)到底可以怎樣變化呢？

生：一個(gè)乘數(shù)擴(kuò)大，另一個(gè)乘數(shù)縮小，只要倍數(shù)相同，就能正好抵消，積不變。

師：如果一個(gè)乘數(shù)不變，另一個(gè)乘數(shù)變化。積會(huì)怎樣？

生：積也會(huì)跟著變化。

師：如果兩個(gè)乘數(shù)都變化，它們的積呢？

生：積有可能會(huì)變，也可能不變。比如說(shuō)，如果兩個(gè)乘數(shù)擴(kuò)大和縮小的倍數(shù)相同，積就不會(huì)變；如果兩個(gè)乘數(shù)擴(kuò)大和縮小的倍數(shù)不相同，積就會(huì)變化。

師：兩個(gè)乘數(shù)的變化，又分為哪些情況？

生1：一個(gè)乘數(shù)擴(kuò)大，另一個(gè)乘數(shù)也擴(kuò)大。

生2：一個(gè)乘數(shù)擴(kuò)大，另一個(gè)乘數(shù)縮小。

生3：一個(gè)乘數(shù)縮小，另一個(gè)乘數(shù)也縮小。

學(xué)生能回答得如此流暢，是出乎我的意料的。接著，我出了一組關(guān)于兩個(gè)乘數(shù)擴(kuò)大或縮小的例子讓學(xué)生練習(xí)，從整十整百倍，一直延伸到整億倍，學(xué)生在深刻理解積的變化規(guī)律之后，居然也能對(duì)答如流。如果說(shuō)數(shù)字出得小，學(xué)生是簡(jiǎn)單的模仿，那么等數(shù)字大到一定程度時(shí)，就不是模仿能解決的了，這需要學(xué)生對(duì)知識(shí)有本質(zhì)的理解并能靈活運(yùn)用。

這些知識(shí)難點(diǎn)，都在不斷深入的比較之后，如揭開(kāi)層層面紗般，讓學(xué)生在探索之后享受深入思考帶來(lái)的愉悅。

四、創(chuàng)設(shè)習(xí)題比較訓(xùn)練——啟迪思維寬度延伸性

本課的最后一組題目，書(shū)本上是以這樣的形式出示的：□□×□□=2400，在方框里填上合適的數(shù)字。這是兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，算是緊扣本單元的知識(shí)重點(diǎn)。但我總覺(jué)得以這樣的形式出現(xiàn)，思維顯得有些局限。于是我又出了這樣一組題目：

[10.你能在□里填上合適的數(shù)字，使等式成立嗎？

□□×□□=1600

（ ）×（ ）=2400]

兩題同時(shí)出示，我讓男生做上面一題，女生做下面一題。結(jié)果在預(yù)料之中：男生填寫(xiě)的都是兩位數(shù)乘兩位數(shù)，女生填寫(xiě)的幾乎跟男生一樣。

我故作鎮(zhèn)定地說(shuō)：原來(lái)這兩題是一樣的啊，真是多此一舉，為何還要分開(kāi)來(lái)做呢？幾個(gè)細(xì)心的女生提出了抗議。題目的細(xì)節(jié)一經(jīng)點(diǎn)撥，許多孩子恍然大悟：方框一題已經(jīng)框定了兩個(gè)乘數(shù)是兩位數(shù)，而小括號(hào)一題，可選擇的余地更大，可以是兩位數(shù)乘兩位數(shù)，也可以是一位數(shù)乘三位數(shù)或是四位數(shù)。

有學(xué)生填1×2400，肯定了答案之后，這個(gè)答案看上去意義不大，但我卻看出了它蘊(yùn)含的獨(dú)特意義。我繼續(xù)提問(wèn)：這兒的1是不是已經(jīng)最小了呢？一石激起千層浪。有學(xué)生居然想到了0.12×20000，并且用積的變化規(guī)律解釋得天衣無(wú)縫，真是意料之外的驚喜。這道題，原本的意圖是讓學(xué)生關(guān)注出題細(xì)節(jié)的比較，卻無(wú)意中打開(kāi)了學(xué)生思維的閥門(mén)，再一次證明了積的變化規(guī)律在深入理解之后給人帶來(lái)的欣慰。一個(gè)小小的細(xì)節(jié)比較，更能提醒他們突破固有的思維定式，使思路變得更為開(kāi)闊。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的許多內(nèi)容既有聯(lián)系又有區(qū)別，在教學(xué)中有些比較是我們教師有意而為之的，但有些比較是我們意料之外的，是課堂隨機(jī)生成的。不管是哪一種情況，比較能貫通知識(shí)間的相互聯(lián)系，能讓學(xué)生學(xué)得輕松；比較能讓學(xué)生的思維從膚淺走向深刻，從簡(jiǎn)單走向豐滿(mǎn)。?endprint