對(duì)課本一道例題解法的反思

李國(guó)強(qiáng)

在數(shù)學(xué)必修4第一章1.4.2節(jié)中求三角函數(shù)周期的例題2（課本34頁(yè)）中，開(kāi)始時(shí)總覺(jué)得學(xué)生有點(diǎn)難理解，當(dāng)時(shí)問(wèn)了旁邊的學(xué)生，學(xué)生確實(shí)同感。后來(lái)必修4學(xué)完后，經(jīng)過(guò)反思，我對(duì)三角函數(shù)求周期的問(wèn)題也有了進(jìn)一步的了解與認(rèn)識(shí)。現(xiàn)在和大家一起分享我的反思過(guò)程。

學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象后，不難發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)值及其圖象具有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，如下圖所示的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象y=sinx，x∈R，y∈cosx，x∈R.

通過(guò)函數(shù)圖象我們可以觀察到每隔2kπ（k∈Z）個(gè)單位，函數(shù)圖象以及函數(shù)值都會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，根據(jù)周期函數(shù)的定義知：而對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f（x+T）=f（x），那么f（x）就是周期函數(shù)，而T就是這個(gè)函數(shù)的周期，所以正弦函數(shù)和余弦函數(shù)也是周期函數(shù).

三角函數(shù)的周期性是三角函數(shù)最基本、最重要的性質(zhì)之一。在必修4第一章1.4.2節(jié)中的例題2中就是有關(guān)求三角函數(shù)周期的例題。下面是摘自課本原題的一個(gè)小題。

課本（必修4）第34頁(yè)求下列函數(shù)的周期。

例2 （2） y=sin2x，x∈R，

解：∵sin2（x+π）=sin（2x+2π）=sin2x，

∴由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為π

接觸周期函數(shù)的高一學(xué)生來(lái)說(shuō)難度有點(diǎn)大。

那么有沒(méi)有什么更好的更容易理解的且又符合我們現(xiàn)有的知識(shí)水平的解法呢？筆者總結(jié)出了以下三種方法.

一、代換法

課本（必修4）34頁(yè)求下列函數(shù)的周期。

例2 （2） y=sin2x，x∈R.

解：設(shè)u=2x，∴y=sinu.∴由正弦函數(shù)定義可知sin（u+2kπ）=sinu，即sin（2x+2kπ）=sin2x.

對(duì)于以上運(yùn)用的這種解法，緊扣正弦函數(shù)的性質(zhì)及周期函數(shù)的定義，較好地應(yīng)用了課本所學(xué)的知識(shí)，使學(xué)生能夠更好地理解和運(yùn)用課本知識(shí)，做到現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，能更好地加深印象，同時(shí)也符合學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平。不至于讓學(xué)生陷入迷惑之中，該種方法較為簡(jiǎn)單，它用代換的方法把求類似正弦函數(shù)周期的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)生所熟悉的求正弦函數(shù)的周期上。既利于理解又可以加深對(duì)三角函數(shù)周期的理解。

同時(shí)還可以從周期函數(shù)的定義入手，“對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f（x+T）=f（x），那么f（x）就是周期函數(shù)，而T就是這個(gè)函數(shù)的周期（解法如下）。

二、定義法

課本（必修4）第34頁(yè)求下列函數(shù)的周期。

例2 求y=sin2x，x∈R的周期及最小正周期。

三、公式法

課本（必修4）第34頁(yè)求下列函數(shù)的周期。

綜合以上三種方法，我覺(jué)得代換法和定義法可能更適合于作為課本例題的解答，因?yàn)樗芨玫嘏c課本知識(shí)、定義相結(jié)合，也更能符合我們的實(shí)際知識(shí)結(jié)構(gòu)。所以在學(xué)完整個(gè)章節(jié)后我回過(guò)頭來(lái)想了想當(dāng)時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)的困惑，同時(shí)在與學(xué)生的溝通下我總結(jié)了這

幾種方法。這其實(shí)就是一種反思的過(guò)程，就像我們平時(shí)，每做一件事可能我們事先不是很清楚，但事后只要我們努力地去反思，其實(shí)很多事情可以做得更好。

（作者單位 福建省石獅石光華僑聯(lián)合中學(xué)）