時(shí)域與頻域兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的精度分析*

母德強(qiáng)，崔 博，謝新旺，陳 懿

(長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,長(zhǎng)春 130012)

時(shí)域與頻域兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的精度分析*

母德強(qiáng)，崔 博，謝新旺，陳 懿

(長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,長(zhǎng)春 130012)

為了分析時(shí)域與頻域兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)中所包含的原理誤差及該原理誤差的規(guī)律和特性，建立了進(jìn)行誤差分離的零件模型，通過對(duì)不同影響因素的分析找到了兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)所含原理誤差的規(guī)律和特性，并對(duì)兩種誤差分離技術(shù)的精度進(jìn)行了比較。使用時(shí)域與頻域兩種誤差分離技術(shù)和圓度測(cè)量?jī)x對(duì)同一零件進(jìn)行測(cè)量比對(duì)，發(fā)現(xiàn)仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析相符。因此得出結(jié)論：采樣點(diǎn)數(shù)N每擴(kuò)大一倍，各參數(shù)的絕對(duì)誤差值的比值越來越接近于2；對(duì)置安裝傳感器使兩點(diǎn)法分離結(jié)果的誤差最??；在相同的采樣參數(shù)下，頻域法誤差分離技術(shù)的分離精度高于時(shí)域法。

兩點(diǎn)法；誤差分離；原理誤差；影響因素；影響規(guī)律

0 引言

近年來，隨著高精度機(jī)械加工技術(shù)的不斷發(fā)展，對(duì)零件形位誤差也在不斷地提高。為了保證被加工工件的形位精度要求，在線測(cè)量是首選的檢測(cè)方法。而由于加工系統(tǒng)中存在著許多不可預(yù)測(cè)的影響因素，使得對(duì)工件形位誤差的在線測(cè)量變得十分困難，誤差分離技術(shù)(Error separation technique，EST)的出現(xiàn)為形位誤差的在線測(cè)量提供了可能[1]。

在眾多的誤差分離技術(shù)中，兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)因容易安裝而受到許多研究者的青睞。兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)也可以分為時(shí)域兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)和頻域兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)，但無論是時(shí)域兩點(diǎn)法還是頻域兩點(diǎn)法，他們都存在缺陷：因原理誤差的存在，使該方法無法完全分離零件的偏心誤差。此外兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的分離結(jié)果的誤差規(guī)律還沒有一個(gè)明確的規(guī)則。本文正是基于此而進(jìn)行的探索，分別對(duì)時(shí)域兩點(diǎn)法和頻域兩點(diǎn)法原理誤差的影響因素及影響規(guī)律進(jìn)行了研究，并比較兩種方法的分離精度，力求提高兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)在線測(cè)量的精度。

1 兩點(diǎn)法誤差分離原理

兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)是從三點(diǎn)法誤差分離技術(shù)發(fā)展而來的。三點(diǎn)法誤差分離原理如圖1所示。

O為傳感器A、B和C所在位置處的位移敏感中心線的交點(diǎn)。在以O(shè)為原點(diǎn)，A、B的中心線分別取為X軸和Y軸的測(cè)量坐標(biāo)系中，O0為截面的最小二乘心，與實(shí)際回轉(zhuǎn)中心O的偏心距為e[2]。

圖1 三點(diǎn)法誤差分離原理圖

設(shè)工件的圓度誤差為h(θ)；主軸回轉(zhuǎn)誤差在x，y上的分量分別為δx(θ)和δy(θ)；傳感器之間的夾角如圖1所示[2]。則三個(gè)傳感器的輸出為

sA(θ)=h(θ)+δx(θ)

(1)

sB(θ)=h(θ+α)+δx(θ)cos(α)+δy(θ)sin(α)

(2)

sC(θ)=h(θ+α+β)+δx(θ)cos(α+β)+δy(θ)sin(α+β)

(3)

對(duì)(1)～(3)式乘以不等權(quán)系數(shù)1，a和b，然后相加得到三點(diǎn)法誤差分離的基本方程

s(θ)=sA(θ)+asB(θ)+bsC(θ)

=h(θ)+ah(θ+α)+bh(θ+α+β)

(4)

式中m、p為整數(shù)，將(4)式離散化，得

s(n)=h(n)+ah(n+m)+bh(n+m+p)

=sA(n)+asB(n)+bsC(n)

(5)

因此等式(5)可以化為

s(n)≈h(n)+bh(n+m+p)

=sA(n)+bsC(n)

(6)

1.1 頻域兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)原理

sA(n) 、sC(n)都為所測(cè)得的已知量。對(duì)式(6)作離散傅立葉變換，根據(jù)傅立葉變換的時(shí)延相移特性可得

S(k)=H(k)G(k)

(7)

在式(7)中：S(k)=DFT[s(n)]；H(k)=DFT[h(n)]；G(k)=1+bej2π(m+p)k/N。

由h(n)=DFT-1[H(k)]=DFT-1[S(k)/G(k)]，可求出工件的圓度誤差h(θ)的離散形式h(n)。

使用頻域法進(jìn)行求解時(shí)，若被測(cè)工件表面存在突變點(diǎn)而不連續(xù)，傅立葉變換會(huì)使變換結(jié)果產(chǎn)生嚴(yán)重的失真，從而影響計(jì)算精度[3]。因此洪邁生[2]等人提出了時(shí)域兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)。

1.2 時(shí)域兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)原理

當(dāng)α+β→180°，a→0，b→1 。式(5)因而變?yōu)?/p>

s(n)≈h(n)+bh(n+m+p) =sA(n)+bsC(n)

(8)

令l=m+p，將(8)改寫為

(9)

2 影響兩點(diǎn)法的因素及其規(guī)律分析

誤差分離技術(shù)在分離的過程中會(huì)受到很多因素的干擾，如：采樣誤差、諧波抑制、傳感器安裝誤差、噪聲及其隨即干擾等[4]。

噪聲可以經(jīng)降噪濾波減小甚至消除其影響；隨即干擾是無法避免的，只能通過多組求平均值來盡可能的減小。因此影響時(shí)域法誤差分離技術(shù)的因素主要有諧波抑制、采樣誤差和傳感器安裝誤差。

2.1 諧波抑制對(duì)兩點(diǎn)法的影響

諧波抑制現(xiàn)象只出現(xiàn)在傅立葉變換的過程中，因此諧波抑制只對(duì)頻域法誤差分離技術(shù)有影響。在三點(diǎn)法誤差分離技術(shù)中應(yīng)用傅立葉逆變換時(shí)，不論參數(shù)m、p、α、β如何取值，都有G(1)≡0，常用的處理方法是令S(1)=0。在傅立葉逆變換時(shí)，該位置的諧波分量就因?yàn)橹昧愣鴵p失[5]，從而引入諧波抑制現(xiàn)象。為了避免諧波抑制，令G(1)=1[4]。然后在進(jìn)行傅氏逆變換就可以得到被測(cè)工件的圓度誤差h(θ)的離散形式h(n)。

但是，在頻域兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)中。

G(k)=1+bej2π(m+p)k/N

(10)

所以G(k)≠0，k∈(0,N-1)恒成立。所以兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)中不存在諧波抑制現(xiàn)象。

2.2 采樣點(diǎn)數(shù)對(duì)兩點(diǎn)法的影響

傳感器B所采集序列在進(jìn)行消除回轉(zhuǎn)誤差時(shí)的常權(quán)系數(shù)a=-sin(α+β)/sinβ。當(dāng)N增大時(shí)會(huì)使得α+β→180°，因而a→0；但a不等于零。在其他條件都正確的條件下，忽略傳感器B就無法完全消除主軸回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)誤差。設(shè)aN、αN、βN、γN為采樣點(diǎn)數(shù)取N時(shí)參數(shù)a、α、β、γ的值，所以采樣點(diǎn)數(shù)對(duì)誤差的影響取決于

f(N)=aN[δx(θ)cosαN+δy(θ)sinαN]

(11)

的大小。則

(12)

因γN=2π/N，所以采樣點(diǎn)數(shù)N越大，角度γN越小，tan2γN越趨近于0。則

(13)

通過以上分析可知：應(yīng)用頻域法和時(shí)域法時(shí)，采樣點(diǎn)數(shù)N越大，分離結(jié)果的絕對(duì)誤差值越??；aN/a2N→2，說明各參數(shù)的絕對(duì)誤差值隨著采樣點(diǎn)數(shù)N的增大而減小的倍數(shù)越來越趨近于2。

2.3 安裝角度對(duì)兩點(diǎn)法的影響

因?yàn)棣肗=2π/N，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)N過大，會(huì)使夾角γN過小。從而給傳感器C的安裝帶來困難。當(dāng)傳感器C的安裝角度不精確時(shí)，也會(huì)給分離結(jié)果帶來誤差。

在安裝傳感器C的時(shí)候，設(shè)角度α+β的安裝角度誤差為Δφ，則

s(θ)≈sA(θ)+bsC(θ+Δφ)

=h(θ)+δx(θ)+bh(θ+α+β+Δφ)

+bδx(θ)cos(α+β+Δφ)+bδy(θ)sin(α+β+Δφ)

(14)

又δx(θ)=e0cosθ、δy(θ)=e0sinθ、α+β=π-γ，則

s(θ)≈s′(θ)=h(θ)+bh(θ+α+β+Δφ)

+e0cosθ-be0cos(θ+γ-Δφ)

(15)

由式(15)可看出，由偏心誤差和安裝角度誤差共同引起的誤差大小為

g(Δφ)=e0cosθ-be0cos(θ+γ-Δφ)

(16)

因此對(duì)置安裝兩個(gè)傳感器對(duì)頻域法和時(shí)域法誤差分離技術(shù)來說，有利于消除轉(zhuǎn)軸的偏心誤差。

3 仿真分析

為了檢驗(yàn)上述的分析并比較兩種方法的精度，我們進(jìn)行了如下的仿真驗(yàn)證。

3.1 采樣點(diǎn)數(shù)對(duì)兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的影響

在仿真實(shí)驗(yàn)中，取基本半徑為20mm、偏心距為3mm、表面有四組振幅為3mm的正弦波所疊加而成的軸。保證除采樣點(diǎn)數(shù)N除外的一切條件不變，N的取值為16、32、64、128、256、512、1024、2048。采集這幾組信號(hào)，分別用時(shí)域法與頻域法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，結(jié)果如表1所示。

表1 時(shí)域兩點(diǎn)法與頻域兩點(diǎn)法的分離結(jié)果比較

通過表1可以看出：各量的絕對(duì)誤差值隨著采樣點(diǎn)數(shù)N的增大而減小，且減小的倍數(shù)越來越接近于2；當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)N≥256時(shí)，可認(rèn)為圓度誤差值的絕對(duì)誤差減小的倍數(shù)等于2；在相同的采樣點(diǎn)數(shù)下，頻域法中的絕對(duì)誤差要明顯小于時(shí)域法，因此頻域法精度要高于時(shí)域法。證明了采樣點(diǎn)數(shù)對(duì)誤差值的影響規(guī)律的理論分析是正確的。

3.2 安裝角度對(duì)兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的影響

在檢測(cè)安裝角度對(duì)分離誤差帶來的影響時(shí)，選取的采樣點(diǎn)數(shù)N=256，所以α+β的理論角度應(yīng)為178.59375°。令安裝角度α+β的值從174.6°到180.6°等間隔變化，間隔為0.2°，除此之外保證其他參數(shù)不變。

檢驗(yàn)時(shí)把數(shù)據(jù)分別做時(shí)域和頻域分析。分析時(shí)的數(shù)據(jù)為：被測(cè)件基本半徑為20mm，表面上有振幅為3mm的正弦信號(hào)。偏心距取3mm。結(jié)果如圖2所示。

由圖2知：時(shí)域法中，分離誤差會(huì)隨著安裝角度的增大而減小，在180°的位置達(dá)到極值并大致關(guān)于180°對(duì)稱。頻域法中，分離誤差會(huì)隨著安裝角度的增大而減小，在180°的位置達(dá)到極值并且關(guān)于180°對(duì)稱。對(duì)置安裝使兩種方法的分離精度都得到提高。證明了3.3中的分析和推導(dǎo)是正確的。

圖2 安裝角度對(duì)兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)的影響

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

通過上面的仿真分析驗(yàn)證了影響兩點(diǎn)法誤差的因素及其影響規(guī)律符合理論分析。在實(shí)驗(yàn)室環(huán)境內(nèi)通過實(shí)驗(yàn)來進(jìn)一步驗(yàn)證理論分析與仿真分析。

實(shí)驗(yàn)所用設(shè)備為：通過磨削加工一個(gè)長(zhǎng)度280mm，直徑為50mm的軸進(jìn)行驗(yàn)證；傳感器采用的是德國(guó)米銥的NCDT系統(tǒng)控制的單通道精密電容位移傳感器CapaNCDT620[6-8]。實(shí)驗(yàn)時(shí)，分別取采樣點(diǎn)數(shù)N=64、128、256、512，則安裝角度α+β=(1-2/N)π。對(duì)工件測(cè)量5遍取平均值以減小測(cè)量過程中的隨機(jī)誤差。結(jié)果如表2所示：

表2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證誤差分離結(jié)果 (單位：μm)

通過試驗(yàn)結(jié)果可看出：兩種分離方法的分離結(jié)果與理論分析和仿真驗(yàn)證相符，證明了在使用兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)時(shí)，對(duì)置安裝兩傳感器可以得到更高的精度，且頻域法的精度要高于時(shí)域法。

5 結(jié)論

(1)相同的檢測(cè)條件下，頻域法比時(shí)域法具有更高的分離精度；

(2)實(shí)際的加工過程中，檢測(cè)時(shí)采用對(duì)置安裝傳感器可以得到更精確的圓度誤差值；

(3)在時(shí)域法和頻域法中，采樣點(diǎn)數(shù)N越大，有aN/a2N→2，從而說明采樣點(diǎn)數(shù)N每擴(kuò)大一倍，各參數(shù)的絕對(duì)誤差值的比值越來越接近于2；

(4)兩點(diǎn)法誤差分離技術(shù)雖然有原理誤差，但選擇合適的參數(shù)后仍可達(dá)到很高的精度；因此，在一定精度要求下仍然可以使用。

[1] 張鐳，趙瑩，張玉. 三測(cè)頭法誤差分離技術(shù)的理論與試驗(yàn)[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2009，45(6)：256-261.

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(編輯 李秀敏)

The Accuracy Analysis of Error Separation for Two-point Separating Technique Method of Time Domain and Frequency Domain

MU De-qiang，CUI Bo，XIE Xin-wang，CHEN Yi

(School of Mechatronic Engineering, Changchun University of Technology, Changchun 130012, China)

In order to analysis the principle of error and the principle error’s regularity and characteristics in the two point error separation method of time domain and frequency domain. Established a part model to march the error separation, through the analysis of different influence factors found the principle error’s regularity and characteristics of two point method error separation technique, and compared the accuracy of two kinds of error separation technique.Using two kinds of error separation technique and roundness measuring instrument to measure the same parts, found that the experiment results and the results of simulation agree with the analysis of theory.So we can draw the conclusions: When the number of Samples—N expand 1 times，the ratio of the absolute error of the parameter value is getting closer to 2; with facing mounting the two sensors, the results of two point separation error is the smallest.;with same sampling parameters, the precision of error separation technique in frequency domain method is higher than error separation technique in time - domain method.

the two-point algorithm；error separation；principle error；influential factor；influencing rule

1001-2265(2014)07-0031-03

10.13462/j.cnki.mmtamt.2014.07.009

2013-12-14

吉林省科技廳重點(diǎn)科技攻關(guān)項(xiàng)目(2130206027GX)

母德強(qiáng)(1961—)，男，遼寧昌圖人，長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)教授，博士，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)榫芗庸ぜ皺z測(cè)；通訊作者：崔博(1988—)，男，吉林舒蘭人，長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)榫芗庸ぜ皺z測(cè)，(E-mail)db0425@126.com。

TH161;TG65

A