部分射開(kāi)直井的產(chǎn)能計(jì)算方法

李龍龍，吳明錄，姚 軍，李 陽(yáng)，2，李曉雪

（1.中國(guó)石油大學(xué)（華東）石油工程學(xué)院，山東青島266580；2.中國(guó)石化油田勘探開(kāi)發(fā)事業(yè)部，北京100029）

射孔完井作為油氣井的主要完井方式［1］，研究其產(chǎn)能計(jì)算具有現(xiàn)實(shí)意義。由于地質(zhì)或工程原因，儲(chǔ)層未完全鉆穿或未全部射開(kāi)［2］，加上射孔因素和鉆井污染的影響［3－8］，計(jì)算部分射開(kāi)直井的產(chǎn)能存在一定難度。1966年，M.H.Harris［9］運(yùn)用有限差分法建立了理想射孔時(shí)射孔直井產(chǎn)能的數(shù)學(xué)模型；J.A.Klotz等人［10］將三維流動(dòng)簡(jiǎn)化為二維流動(dòng)，運(yùn)用有限元法研究了壓實(shí)損害帶對(duì)產(chǎn)能的影響；H.O.McLeod Jr.［11］提出了射孔井的簡(jiǎn)化模型，并分別求出污染帶和射孔壓實(shí)帶的表皮系數(shù)；Metin Karakas等人［12］運(yùn)用有限元法得到射孔表皮系數(shù)；唐愉拉等人［13－14］論述了有限元數(shù)學(xué)模型的建立及數(shù)值求解方法，并研究了各種參數(shù)對(duì)射孔油氣井產(chǎn)能的影響規(guī)律；郎兆新等人［15］運(yùn)用有限元法和非線性回歸法得出21個(gè)回歸公式；李祥貴等人［16］采用有限元法研究了各種射孔參數(shù)對(duì)表皮系數(shù)和產(chǎn)率比的影響規(guī)律。對(duì)于部分射開(kāi)對(duì)產(chǎn)能的影響主要通過(guò)部分射開(kāi)表皮系數(shù)確定，其計(jì)算方法主要有3種［17－18］，都是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化后通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式或數(shù)值模擬方法得到的。

現(xiàn)有部分射開(kāi)直井的產(chǎn)能計(jì)算方法，主要是通過(guò)分別求取射開(kāi)程度、射孔參數(shù)、射孔壓實(shí)帶以及污染帶的表皮系數(shù)來(lái)計(jì)算產(chǎn)能，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了割裂、簡(jiǎn)化處理。為此，筆者將McLeod射孔幾何模型改進(jìn)為雙徑向流模型，應(yīng)用滲流力學(xué)原理和等值滲流阻力法，分各向同性油藏射穿與未射穿污染帶、各向異性油藏射穿與未射穿污染帶等4種情況，得到部分射開(kāi)直井的產(chǎn)能計(jì)算方法，該計(jì)算方法充分考慮了射孔深度、射孔密度、孔徑、相位角、壓實(shí)帶、射開(kāi)程度、污染帶、各向異性等因素以及這些因素之間的相互影響。

1 各向同性油藏部分射開(kāi)直井的產(chǎn)能計(jì)算方法

考慮單層、均質(zhì)、各向同性、圓形定壓邊界油藏中心有一口部分射開(kāi)直井的情況，對(duì)油藏、流體及射孔效果做如下假設(shè)：1）油藏中的流體為單相，流動(dòng)規(guī)律符合達(dá)西定律；2）油藏中的巖石和流體均不可壓縮；3）井筒周?chē)嬖谖廴編В籽壑車(chē)嬖谏淇讐簩?shí)帶；4）忽略流體在孔眼中流動(dòng)的壓力損失；5）忽略毛管力和重力的影響?；谝陨霞僭O(shè)，對(duì)各向同性油藏部分射開(kāi)直井分孔眼射穿污染帶和孔眼未射穿污染帶2種情況進(jìn)行產(chǎn)能計(jì)算方法研究。

1.1 未射穿污染帶

圖1 未射穿污染帶的雙徑向流模型Fig.1 The dual radial flow model in the condition of partially penetrated damaged－zone

基于以上假設(shè)，對(duì)McLeod射孔幾何模型進(jìn)行改進(jìn)，當(dāng)孔眼未射穿污染帶時(shí)，雙徑向流模型如圖1（a）所示，射孔完井后流體的流動(dòng)主要分為：油藏外邊界向孔眼射穿區(qū)外邊界的流動(dòng)和孔眼射穿區(qū)圍繞孔眼的徑向流（與未射開(kāi)區(qū)相鄰的射孔周期內(nèi)圍繞孔眼的流動(dòng)采用偏心徑向流，其他射孔周期內(nèi)圍繞孔眼的流動(dòng)采用非偏心徑向流）。因此，將油藏分為2部分（見(jiàn)圖1（b）），A1代表與未射開(kāi)區(qū)相鄰的射孔周期以外的射開(kāi)區(qū)，A2代表未射開(kāi)區(qū)加上與未射開(kāi)區(qū)相鄰的射孔周期。其中，A1和A2的厚度可表示為：

式中：hA1為A1區(qū)的厚度，m；h1為射開(kāi)油層厚度，m；n1為一個(gè)射孔周期內(nèi)的孔眼數(shù)（n1＝360／θ，θ為相位角，即相鄰2個(gè)孔眼之間的夾角，取45°、60°、90°、120°和180°）；ns為射孔孔眼密度，孔／m；hA2為A2區(qū)的厚度，m；h2為未射開(kāi)油層厚度，m。

應(yīng)用等值滲流阻力法［19］描述雙徑向流的滲流過(guò)程，求解未射穿污染帶時(shí)的產(chǎn)能。

1.1.1 Ⅰ區(qū)滲流阻力

Ⅰ區(qū)為儲(chǔ)層的未污染區(qū)，流動(dòng)為水平徑向流，外邊界半徑為油藏半徑，內(nèi)邊界半徑為污染帶半徑，高度為油藏厚度，滲透率為油藏原始滲透率，則與A1對(duì)應(yīng)部分的滲流阻力為：式中：RⅠA1為Ⅰ區(qū)與A1對(duì)應(yīng)部分的滲流阻力，MPa·d／m3；μ為流體黏度，mPa·s；h為油藏厚度，m；re為油藏半徑，m；rd為污染帶半徑，m；h為油藏厚度，m；K為油藏原始滲透率，mD。

與A2對(duì)應(yīng)部分的滲流阻力為：

式中：RⅠA2為Ⅰ區(qū)與A2對(duì)應(yīng)部分的滲流阻力，MPa·d／m3。

1.1.2 Ⅱ區(qū)滲流阻力

Ⅱ區(qū)為孔眼未射穿的污染帶，流體為水平徑向流，外邊界半徑為污染帶半徑，內(nèi)邊界半徑為水泥環(huán)外半徑和孔眼長(zhǎng)度之和，高度為油藏厚度，滲透率考慮鉆井過(guò)程中鉆井液對(duì)油藏的污染。則與A1對(duì)應(yīng)部分的滲流阻力為：

式中：RⅡA1為Ⅱ區(qū)與A1對(duì)應(yīng)部分的滲流阻力，MPa·d／m3；rw為水泥環(huán)的外半徑，m；lp為孔眼長(zhǎng)度，m；Kd為污染帶的滲透率，mD。

與A2對(duì)應(yīng)部分的滲流阻力為：

式中：RⅡA2為Ⅱ區(qū)與A2對(duì)應(yīng)部分的滲流阻力，MPa·d／m3。

1.1.3 Ⅲ區(qū)滲流阻力

Ⅲ區(qū)為孔眼射穿的污染帶，根據(jù)滲流力學(xué)中關(guān)于偏心徑向流的假設(shè)條件可知，與A2對(duì)應(yīng)部分的孔眼（與未射開(kāi)區(qū)域相鄰的射孔周期內(nèi)的孔眼）的流體流動(dòng)為圍繞孔眼的垂直平面偏心徑向流（見(jiàn)圖2），第i個(gè)孔眼（從與未射穿區(qū)相鄰的第一個(gè)孔眼算起，1≤i≤n1）的徑向流半徑為ri（hp為兩個(gè)相鄰的相位相同的孔眼之間距離的一半），偏心距為di；與A1對(duì)應(yīng)部分的孔眼（共n2個(gè)）周?chē)牧黧w流動(dòng)為圍繞孔眼的垂直平面非偏心徑向流（見(jiàn)圖3），外邊界半徑為hp，內(nèi)邊界半徑為壓實(shí)帶半徑rc，該區(qū)滲透率為Kd。

圖2 未射穿污染帶時(shí)與未射開(kāi)區(qū)域相鄰的射孔周期內(nèi)第i個(gè)孔眼周?chē)膹较蛄髂Ｐ虵ig.2 The eccentric radial flow of perforating hole which is adjacent to the unperforated zone and in perforation cycle

圖3 未射穿污染帶時(shí)與未射開(kāi)區(qū)域相鄰的射孔周期以外孔眼周?chē)膹较蛄髂Ｐ虵ig.3 The concentric radial flow of perforating hole which is adjacent to the unperforated zone but not in the perforation cycle

式中：ri為第i個(gè)孔眼的徑向流半徑，m；hp為2個(gè)相鄰的相位相同孔眼之間距離的一半，m；di為第i個(gè)孔眼的偏心距，m；n2為A1部分的孔眼數(shù)；rp為孔眼半徑，m；hc為壓實(shí)帶厚度，m。

與A2對(duì)應(yīng)部分，圍繞第i個(gè)孔眼的流體流動(dòng)為偏心徑向流，跟垂直平面內(nèi)圍繞水平井的徑向流動(dòng)類(lèi)似，因此借鑒S.D.Joshi［20］和陳元千等人［21］推導(dǎo)水平井產(chǎn)能公式時(shí)考慮偏心距的方法，得流量方程為：

式中：qpi為與A2對(duì)應(yīng)部分的第i個(gè)孔眼的流量，m3／d。

其滲流阻力為：

式中：RⅢpi為Ⅲ區(qū)與A2對(duì)應(yīng)部分的第i個(gè)孔眼周?chē)黧w流動(dòng)的滲流阻力，MPa·d／m3。

與A1對(duì)應(yīng)部分，單個(gè)孔眼周?chē)黧w流動(dòng)的滲流阻力為：

式中：RⅢp為Ⅲ區(qū)與A1對(duì)應(yīng)部分的單個(gè)孔眼周?chē)黧w流動(dòng)的滲流阻力，MPa·d／m3。

1.1.4 Ⅳ區(qū)滲流阻力

Ⅳ區(qū)為射孔壓實(shí)帶，流動(dòng)為圍繞孔眼的垂直平面徑向流，外邊界半徑為壓實(shí)帶半徑，內(nèi)邊界半徑為孔眼半徑，滲透率考慮到射孔過(guò)程中對(duì)孔眼周?chē)a(chǎn)生的壓實(shí)損害。則與A2對(duì)應(yīng)部分，第i個(gè)孔眼周?chē)黧w流動(dòng)的滲流阻力為：

式中：RⅣpi為Ⅳ區(qū)與A2對(duì)應(yīng)部分的第i個(gè)孔眼周?chē)黧w流動(dòng)的滲流阻力，MPa·d／m3；Kc為壓實(shí)帶的滲透率，mD。

與A1對(duì)應(yīng)部分，單個(gè)孔眼周?chē)黧w流動(dòng)的滲流阻力為：

式中：RⅣp為Ⅳ區(qū)與A1對(duì)應(yīng)部分的單個(gè)孔眼周?chē)黧w流動(dòng)的滲流阻力，MPa·d／m3。

1.1.5 總的滲流阻力及產(chǎn)能

由等值滲流阻力法可知，A2區(qū)中的單個(gè)孔眼，其在Ⅲ區(qū)、Ⅳ區(qū)的滲流阻力為串聯(lián)關(guān)系，可得圍繞第i個(gè)孔眼的流體流動(dòng)的滲流阻力Rpi＝RⅢpi＋RⅣpi；A1區(qū)中的單個(gè)孔眼在Ⅲ區(qū)與Ⅳ區(qū)的滲流阻力也為串聯(lián)關(guān)系，可得圍繞單個(gè)孔眼的流體流動(dòng)的滲流阻力Rp＝RⅢp＋RⅣp。則A1區(qū)的總滲流阻力為：

式中：RA1為 A1區(qū)的總滲流阻力，MPa·d／m3。A2區(qū)的總滲流阻力為：

式中：RA2為 A2區(qū)的總滲流阻力，MPa·d／m3。

A1區(qū)與A2區(qū)之間滲流阻力為并聯(lián)關(guān)系，可得油藏的總滲流阻力：

式中：RT為油藏流體流動(dòng)的總滲流阻力，MPa·d／m3。

根據(jù)油藏流體流動(dòng)的總滲流阻力，可得未射穿污染帶時(shí)部分射開(kāi)井的產(chǎn)能：

式中：q為部分射開(kāi)井的產(chǎn)量，m3／d；Δp為生產(chǎn)壓差，MPa；B為原油的體積系數(shù)。

1.2 射穿污染帶

基于對(duì)油藏、流體及射孔效果的假設(shè)，對(duì)McLeod射孔幾何模型進(jìn)行改進(jìn)，當(dāng)孔眼射穿污染帶時(shí)，雙徑向流模型如圖4所示，射孔完井后流體的流動(dòng)主要分為油藏外邊界向孔眼射穿區(qū)外邊界的流動(dòng)以及孔眼射穿區(qū)圍繞孔眼的徑向流（與未射開(kāi)區(qū)相鄰的射孔周期內(nèi)圍繞孔眼的流動(dòng)采用偏心徑向流，其他射孔周期內(nèi)圍繞孔眼的流動(dòng)采用非偏心徑向流），A1和A2區(qū)的分布見(jiàn)圖1。應(yīng)用等值滲流阻力法描述雙徑向流滲流過(guò)程，求解射穿污染帶時(shí)的產(chǎn)能。

圖4 射穿污染帶的雙徑向流模型Fig.4 The dual radial flow model in the condition of penetrated damaged－zone

1.2.1 Ⅰ′區(qū)滲流阻力

Ⅰ′區(qū)為儲(chǔ)層的未射穿區(qū)，流動(dòng)為水平徑向流，外邊界半徑為油藏半徑，內(nèi)邊界半徑為水泥環(huán)外半徑和孔眼長(zhǎng)度之和，高度為油藏厚度，滲透率為油藏原始滲透率。則與A1對(duì)應(yīng)部分的滲流阻力為：

式中：RⅠ′A1為Ⅰ′區(qū)與 A1對(duì)應(yīng)部分的滲流阻力，MPa·d／m3。

與A2對(duì)應(yīng)部分的滲流阻力為：

式中：RⅠ′A2為Ⅰ′區(qū)與A2對(duì)應(yīng)部分的滲流阻力，MPa·d／m3。

1.2.2 Ⅱ′區(qū)滲流阻力

Ⅱ′區(qū)為孔眼射穿的未污染區(qū)，與A2對(duì)應(yīng)部分，流體流動(dòng)為圍繞孔眼的垂直平面偏心徑向流（見(jiàn)圖5），其半徑、偏心距與未射穿污染帶的偏心徑向流相同，孔眼剖面如圖2（b）所示；與A1對(duì)應(yīng)部分，孔眼周?chē)牧黧w流動(dòng)為圍繞孔眼的垂直平面非偏心徑向流（見(jiàn)圖6），孔眼剖面如圖3（b）所示，外邊界半徑為hp，內(nèi)邊界半徑為壓實(shí)帶半徑，滲透率為油藏原始滲透率。

圖5 射穿污染帶時(shí)與未射開(kāi)區(qū)域相鄰的射孔周期內(nèi)第i個(gè)孔眼周?chē)膹较蛄髂Ｐ虵ig.5 The eccentric radial flow of perforating hole which is adjacent to the unperforated zone and in perforation cycle

與A2對(duì)應(yīng)部分，圍繞第i個(gè)孔眼的流體流動(dòng)為偏心徑向流，流量方程為：

圖6 射穿污染帶時(shí)與未射開(kāi)區(qū)域相鄰的射孔周期以外孔眼周?chē)膹较蛄髂Ｐ虵ig.6 The concentric radial flow of perforating hole which is adjacent to the unperforated zone but not in the perforation cycle

式中：qp1i為Ⅱ′區(qū)與A2對(duì)應(yīng)部分的第i個(gè)孔眼的流量，m3／d。

其滲流阻力為：

式中：RⅡ′pi為Ⅱ′區(qū)與A2對(duì)應(yīng)部分的第i個(gè)孔眼周?chē)黧w流動(dòng)的滲流阻力，MPa·d／m3。

與A1對(duì)應(yīng)部分，單個(gè)孔眼周?chē)黧w流動(dòng)的滲流阻力為：

式中：RⅡ′p為Ⅱ′區(qū)與A1對(duì)應(yīng)部分的單個(gè)孔眼周?chē)黧w流動(dòng)的滲流阻力，MPa·d／m3。

1.2.3 Ⅲ′區(qū)滲流阻力

Ⅲ′區(qū)為孔眼射穿的污染區(qū)，與A2對(duì)應(yīng)部分，流體流動(dòng)為圍繞孔眼的垂直平面偏心徑向流（見(jiàn)圖5），半徑、偏心距與未射穿污染帶的偏心徑向流相同；與A1對(duì)應(yīng)部分，孔眼周?chē)牧黧w流動(dòng)為圍繞孔眼的垂直平面非偏心徑向流（見(jiàn)圖6），外邊界半徑為hp，內(nèi)邊界半徑為壓實(shí)帶半徑，滲透率為污染帶滲透率。則與A2對(duì)應(yīng)部分，圍繞第i個(gè)孔眼的流動(dòng)為偏心徑向流，其流量方程為：

式中：qp2i為Ⅲ′區(qū)與A2對(duì)應(yīng)部分的第i個(gè)孔眼的流量，m3／d。

其滲流阻力為：

式中：RⅢ′pi為Ⅲ′區(qū)與A2對(duì)應(yīng)部分的第i個(gè)孔眼周?chē)黧w流動(dòng)的滲流阻力，MPa·d／m3。

與A1對(duì)應(yīng)部分，單個(gè)孔眼周?chē)黧w流動(dòng)的滲流阻力為：

式中：RⅢ′p為Ⅲ′區(qū)與A1對(duì)應(yīng)部分的單個(gè)孔眼周?chē)黧w流動(dòng)的滲流阻力，MPa·d／m3。

1.2.4 Ⅳ′區(qū)滲流阻力

Ⅳ′區(qū)為非污染區(qū)的射孔壓實(shí)帶，流動(dòng)為圍繞孔眼的垂直平面徑向流，外邊界半徑為壓實(shí)帶半徑rc，內(nèi)邊界半徑為孔眼半徑rp，滲透率為Kc1。則與A2對(duì)應(yīng)部分，圍繞第i個(gè)孔眼的流體流動(dòng)的滲流阻力為：

式中：RⅣ′pi為Ⅳ′區(qū)與A2對(duì)應(yīng)部分的第i個(gè)孔眼周?chē)黧w流動(dòng)的滲流阻力，MPa·d／m3。

與A1對(duì)應(yīng)部分，單個(gè)孔眼周?chē)黧w流動(dòng)的滲流阻力為：

式中：RⅣ′p為Ⅳ′區(qū)與A1對(duì)應(yīng)部分的單個(gè)孔眼周?chē)黧w流動(dòng)的滲流阻力，MPa·d／m3。

1.2.5 Ⅴ′區(qū)滲流阻力

Ⅴ′區(qū)為污染區(qū)的射孔壓實(shí)帶，流動(dòng)為圍繞孔眼的垂直平面徑向流，外邊界半徑為壓實(shí)帶半徑rc，內(nèi)邊界半徑為孔眼半徑rp，滲透率為Kc2。則與A2對(duì)應(yīng)部分，圍繞第i個(gè)孔眼的流體流動(dòng)的滲流阻力為：

式中：RⅤ′pi為Ⅴ′區(qū)與A2對(duì)應(yīng)部分的第i個(gè)孔眼周?chē)黧w流動(dòng)的滲流阻力，MPa·d／m3。

與A1對(duì)應(yīng)部分，單個(gè)孔眼周?chē)黧w流動(dòng)的滲流阻力為：

式中：RⅤ′p為Ⅴ′區(qū)與A1對(duì)應(yīng)部分的單個(gè)孔眼周?chē)黧w流動(dòng)的滲流阻力，MPa·d／m3。

1.2.6 總的滲流阻力及產(chǎn)能

孔眼射穿區(qū)中，單個(gè)孔眼在Ⅱ′、Ⅳ′區(qū)的滲流阻力以及單個(gè)孔眼在Ⅲ′、Ⅴ′區(qū)的滲流阻力均為串聯(lián)關(guān)系，而對(duì)于同一個(gè)孔眼，Ⅱ′、Ⅳ′區(qū)串聯(lián)后的滲流阻力與Ⅲ′、Ⅴ′區(qū)串聯(lián)后的滲流阻力之間為并聯(lián)關(guān)系。因此，與A2對(duì)應(yīng)部分，圍繞第i個(gè)孔眼的流體流動(dòng)的滲流阻力為：

式中：R′pi為與A2對(duì)應(yīng)部分的第i個(gè)孔眼的滲流阻力，MPa·d／m3。

與A1對(duì)應(yīng)部分，單個(gè)孔眼周?chē)黧w流動(dòng)的滲流阻力為：

式中：R′p為與A1對(duì)應(yīng)部分的單個(gè)孔眼的滲流阻力，MPa·d／m3。

A1區(qū)總的滲流阻力為：

式中：R′A1為與A1對(duì)應(yīng)部分的總滲流阻力，MPa·d／m3。

A2區(qū)的總滲流阻力為：

式中：R′A2為與A2對(duì)應(yīng)部分的總滲流阻力，MPa·d／m3。

以上2個(gè)滲流阻力之間為并聯(lián)關(guān)系，可得油藏的總滲流阻力：

式中：R′T為油藏流體流動(dòng)的總滲流阻力，MPa·d／m3。

根據(jù)油藏流體流動(dòng)的總滲流阻力，可得射穿污染帶時(shí)部分射開(kāi)井的產(chǎn)能為：

2 各向異性油藏部分射開(kāi)直井的產(chǎn)能計(jì)算方法

各向異性油藏與各向同性油藏的差別導(dǎo)致各向異性油藏部分射開(kāi)直井的產(chǎn)能計(jì)算方法不同，考慮污染帶和壓實(shí)帶的影響，將各向異性油藏的滲流區(qū)域分為非污染區(qū)、污染區(qū)、壓實(shí)帶。

根據(jù)各向異性油藏滲流理論［22－23］，將各向異性油藏變換為等價(jià)的各向同性油藏：油藏原始滲透率校正藏厚度校正為h′＝hβ2／3，藏射開(kāi)厚度校正為h′1＝，油藏未射開(kāi)厚度校正為h′2＝，油藏半徑校正筒半徑校正孔深度 校 正孔 直 徑 校 正 為r′＝p孔密度校正染帶滲透率校正污染帶半徑校正壓實(shí)帶滲透率校正壓實(shí)帶半徑校繞孔眼的非偏心徑向流半徑校正為h′p＝，偏心徑向流半徑校正心距校正為d′i＝（ri－h(huán)p）·β2／3。其中，Kh為未污染區(qū)的水平滲透率，D；Kv為垂直滲透率，D；Kdh為污染區(qū)的水平滲透率，D；Kdv為垂直滲透率，D；Kch為射孔壓實(shí)帶的水平滲透率，D；Kcv為垂直滲透率，D。

基于與各向同性油藏未射穿污染帶時(shí)相似的原理，各向異性油藏未射穿污染帶時(shí)的滲流阻力求解方法為：將校正后的參數(shù)代入式（3）、（4），得到Ⅰ區(qū)的滲流阻力RⅠA1與RⅠA2，代入式（5）、（6）得到Ⅱ區(qū)的滲流阻力RⅡA1與RⅡA2，代入式（13）、（14）得到Ⅲ區(qū)孔眼的滲流阻力RⅢpi與RⅢp，代入式（15）、（16）得到Ⅳ區(qū)孔眼的滲流阻力RⅣpi與RⅣp，由以上各區(qū)的滲流阻力可得油藏的總滲流阻力，最后得到各向異性油藏未射穿污染帶時(shí)部分射開(kāi)直井的產(chǎn)能。

基于與各向同性油藏射穿污染帶時(shí)相似的原理，各向異性油藏射穿污染帶時(shí)的滲流阻力求解方法為：將校正后的參數(shù)代入式（21）、（22）得到Ⅰ區(qū)的滲流阻力RⅠ′A1與RⅠ′A2，代入式（24）、（25）得到Ⅱ區(qū)孔眼的滲流阻力RⅡ′pi與RⅡ′p，代入式（27）、（28）得到Ⅲ區(qū)孔眼的滲流阻力RⅢ’pi與RⅢ′p，代入式（29）、（30）得到Ⅳ區(qū)孔眼的滲流阻力RⅣ′pi與RⅣ′p，代入式（31）、（32）得到Ⅴ區(qū)孔眼的滲流阻力RⅤ′pi與RⅤ′p，由以上各區(qū)的滲流阻力可得油藏的總滲流阻力，最后得到各向異性油藏射穿污染帶時(shí)部分射開(kāi)直井的產(chǎn)能。

3 參數(shù)敏感性分析

油藏厚度為20m，射開(kāi)厚度為15m（上部射開(kāi)），供油半徑為300m，井筒半徑為10cm，供給邊界壓力為25MPa，井底壓力為17MPa，油藏原始滲透率為20mD，污染帶半徑為70cm，滲透率為12mD，射孔壓實(shí)帶厚度為1.2cm，壓實(shí)程度為70%（滲透率為射孔前的30%），流體黏度為9mPa·s，體積系數(shù)為1.1。圖7—12中，射孔深度0.6m（60cm）為射穿污染帶與未射穿污染帶的分界。

首先，比較了射孔深度和井筒半徑之和與污染帶半徑的關(guān)系，以判斷孔眼是否射穿污染帶，選擇了相應(yīng)的產(chǎn)能計(jì)算方法；然后，分別計(jì)算了各區(qū)的滲流阻力，并得到了總的滲流阻力；最后，由總的滲流阻力得到了部分射開(kāi)直井的產(chǎn)能。在此基礎(chǔ)上，分析產(chǎn)量對(duì)射開(kāi)程度、射孔深度、射孔密度、孔徑、相位、壓實(shí)程度、壓實(shí)帶厚度的敏感性。

3.1 射開(kāi)程度

射孔直徑為1.2cm、射孔密度為20孔／m、相位角為90°時(shí)，分別取射開(kāi)程度為50%，60%，70%，80%，90%和100%，研究不同射開(kāi)程度時(shí)產(chǎn)量隨射孔深度的變化關(guān)系，結(jié)果見(jiàn)圖7。由圖7可知：1）當(dāng)射孔深度（或射開(kāi)程度）一定時(shí)，產(chǎn)量隨著射開(kāi)程度（或射孔深度）的增大而增大；2）隨著射孔深度的增大，產(chǎn)量對(duì)射開(kāi)程度的敏感性逐漸降低，未射穿污染帶時(shí)比射穿污染帶時(shí)高；3）在射開(kāi)程度相同的情況下，隨著射孔深度的增大，產(chǎn)量對(duì)射孔深度的敏感性逐漸降低，未射穿污染帶時(shí)比射穿污染帶時(shí)高。

圖7 不同射開(kāi)程度時(shí)產(chǎn)量隨射孔深度的變化關(guān)系Fig.7 The effect of perforation length on productivity at different perforated degree

3.2 射孔密度

射孔直徑為1.2cm、相位角為90°時(shí)，分別取射孔密度5，10，15，20，25，30，35和40孔／m，研究不同射孔密度時(shí)產(chǎn)量隨射孔深度的變化關(guān)系，結(jié)果見(jiàn)圖8。由圖8可知：1）當(dāng)射孔深度一定時(shí)，產(chǎn)量隨著射孔密度的增大而增大；2）隨著射孔深度的增大，產(chǎn)量對(duì)射孔密度的敏感性逐漸減小，未射穿污染帶時(shí)比射穿污染帶時(shí)高；3）在射孔深度相同的情況下，射孔密度較小時(shí)，產(chǎn)量對(duì)射孔密度非常敏感，但隨著射孔密度的增大，敏感性逐漸降低，當(dāng)射孔密度達(dá)到一定程度之后，敏感性不再明顯。

圖8 不同射孔密度時(shí)產(chǎn)量隨射孔深度的變化關(guān)系Fig.8 The effect of perforation length on productivity at different shot density

3.3 射孔直徑

射孔密度為20孔／m、相位角為90°時(shí)，在射孔直徑取值范圍（0.8～1.2cm）內(nèi)，分別取射孔直徑為0.8，0.9，1.0，1.1和1.2cm，研究不同射孔直徑時(shí)產(chǎn)量隨射孔深度的變化關(guān)系，結(jié)果見(jiàn)圖9。由圖9可知：1）當(dāng)射孔深度一定時(shí)，產(chǎn)量隨著射孔直徑的增大而增大；2）隨著射孔深度的增大，產(chǎn)量對(duì)孔射孔直徑的敏感性逐漸減小，未射穿污染帶時(shí)比射穿污染帶時(shí)高；3）在射孔深度相同的情況下，產(chǎn)量對(duì)射孔直徑的敏感性比較小。

圖9 不同射孔直徑時(shí)產(chǎn)量隨射孔深度的變化關(guān)系Fig.9 The effect of perforation length on productivity at different perforation diameter

3.4 相位角

射孔直徑為1.2cm、射孔密度為20孔／m時(shí)，分別取相位角為45°，60°，90°，120°和180°，得到不同相位時(shí)產(chǎn)量隨射孔深度的變化關(guān)系，結(jié)果見(jiàn)圖10。由圖10可知：1）當(dāng)射孔深度一定時(shí)，產(chǎn)量隨相位角的增大而增大；2）隨著射孔深度的增大，產(chǎn)量對(duì)相位角的敏感性逐漸減小，未射穿污染帶時(shí)比射穿污染帶時(shí)高；3）在射孔深度相同的情況下，產(chǎn)量對(duì)相位角的敏感性比較小。

圖10 不同相位時(shí)產(chǎn)量隨射孔深度的變化關(guān)系Fig.10 The effect of perforation length on productivity at different phasing

3.5 壓實(shí)程度

射孔直徑為1.2cm、射孔密度為20孔／m、相位角90°時(shí)，壓實(shí)程度分別取50%，55%，60%，65%，70%，75%，80%和85%，得到不同壓實(shí)程度時(shí)產(chǎn)量隨射孔深度的變化關(guān)系曲線，結(jié)果見(jiàn)圖11。由圖11可知：1）當(dāng)射孔深度一定時(shí)，產(chǎn)量隨壓實(shí)程度的增大而減?。?）隨著射孔深度的增大，產(chǎn)量對(duì)壓實(shí)程度的敏感性逐漸減小，未射穿污染帶時(shí)比射穿污染帶時(shí)高；3）在射孔深度相同的情況下，壓實(shí)程度較高時(shí)，產(chǎn)量對(duì)壓實(shí)程度非常敏感，但隨著壓實(shí)程度的減小，敏感性逐漸降低，當(dāng)壓實(shí)程度減小到一定程度之后，敏感性不再明顯。

圖11 不同壓實(shí)程度時(shí)產(chǎn)量隨射孔深度的變化關(guān)系Fig.11 The effect of perforation length on productivity at different compaction degree of crushed zone

3.6 壓實(shí)帶厚度

射孔直徑為1.2cm、射孔密度為20孔／m、相位角90°時(shí)，壓實(shí)帶厚度分別取 0.6，0.7，0.8，0.9，1.0，1.1，1.2和1.3cm，研究不同壓實(shí)帶厚度時(shí)產(chǎn)量隨射孔深度的變化關(guān)系，結(jié)果見(jiàn)圖12。由圖12可知：1）當(dāng)射孔深度一定時(shí)，產(chǎn)量隨壓實(shí)帶厚度的增大而減??；2）隨著射孔深度的增大，產(chǎn)量對(duì)壓實(shí)帶厚度的敏感性逐漸減小，未射穿污染帶時(shí)比射穿污染帶時(shí)高；3）在射孔深度相同的情況下，產(chǎn)量對(duì)壓實(shí)帶厚度的敏感性非常小。

圖12 不同壓實(shí)帶厚度時(shí)產(chǎn)量隨射孔深度的變化關(guān)系Fig.12 The effect of perforation length on productivity at different crush zone thickness

4 不同方法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比

對(duì)于部分射開(kāi)直井，常用表皮系數(shù)法［18］進(jìn)行產(chǎn)能計(jì)算。根據(jù)上述油藏參數(shù)，分別利用新方法和表皮系數(shù)法計(jì)算不同射孔方案（見(jiàn)表1）的產(chǎn)量，結(jié)果見(jiàn)圖13。

由圖13可知，新方法計(jì)算得到的產(chǎn)量略低于表皮系數(shù)法計(jì)算得到的產(chǎn)量，相差約為5%。分析認(rèn)為，兩者相差的原因?yàn)椋?/p>

1）表皮系數(shù)法是分別求取射開(kāi)程度、射孔參數(shù)、污染帶以及射孔壓實(shí)帶的表皮系數(shù)，然后計(jì)算產(chǎn)能，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了割裂、簡(jiǎn)化處理，沒(méi)有充分考慮以上各因素之間的相互影響。例如，部分射開(kāi)表皮系數(shù)描述的只是直井裸眼完井時(shí)部分儲(chǔ)層打開(kāi)對(duì)產(chǎn)能的影響，不是射孔完井時(shí)部分射開(kāi)對(duì)產(chǎn)能的影響，而且表皮系數(shù)法雖然考慮了是否射穿污染帶對(duì)產(chǎn)能的影響，但是對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了簡(jiǎn)化處理：當(dāng)孔眼未射穿污染帶時(shí)修正射孔表皮系數(shù)，當(dāng)孔眼射穿污染帶時(shí)修正射孔深度和井筒半徑，且修正過(guò)程中不考慮射孔壓實(shí)損害帶的影響。

表1 射孔方案Table 1 Perforation scheme

圖13 新方法與表皮系數(shù)方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.13 Comparison between the new method and the skin method

2）表皮系數(shù)法是在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化處理的基礎(chǔ)上、通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式或數(shù)值模擬方法得到的，受認(rèn)識(shí)程度和模擬精度的限制。新方法基于雙徑向流模型，采用等值滲流阻力法，充分考慮了以上各個(gè)因素的影響以及這些因素之間的相互影響，并且簡(jiǎn)化出的各部分流場(chǎng)之間沒(méi)有重疊，更符合實(shí)際情況。

5 結(jié) 論

1）將McLeod射孔幾何模型改進(jìn)為雙徑向流模型，應(yīng)用滲流力學(xué)原理和等值滲流阻力法，得到部分射開(kāi)直井的產(chǎn)能計(jì)算方法。

2）參數(shù)敏感性分析認(rèn)為，射開(kāi)程度、射孔深度、射孔密度、壓實(shí)程度對(duì)產(chǎn)能的影響很大，相位、孔徑、壓實(shí)帶厚度對(duì)產(chǎn)能的影響很小，產(chǎn)能對(duì)各參數(shù)的敏感性在未射穿污染帶時(shí)比射穿污染帶時(shí)高。

3）產(chǎn)能與射孔深度、射孔密度、孔徑、相位、壓實(shí)帶厚度、壓實(shí)程度、射開(kāi)程度之間均為非線性關(guān)系，工程設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)盡量增大射孔深度、射孔密度、射開(kāi)厚度，并避免壓實(shí)損害程度過(guò)高。

4）計(jì)算實(shí)例表明，新方法的計(jì)算結(jié)果與表皮系數(shù)法相差5%左右。

5）在新方法的基礎(chǔ)上，研究各射孔參數(shù)之間的約束關(guān)系，可為射孔參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

［1］王海東，孫新波.國(guó)內(nèi)外射孔技術(shù)發(fā)展綜述［J］.爆破器材，2006，35（3）：33－36.Wang Haidong，Sun Xinbo.Perforating technology development inside and outside of china［J］.Explosive Materials，2006，35（3）：33－36.

［2］姚約東，劉艷華.打開(kāi)不完善井的合理產(chǎn)能評(píng)價(jià)［J］.石油鉆探技術(shù)，2010，38（2）：14－18.Yao Yuedong，Liu Yanhua.Productivity evaluations of partial penetrating wells［J］.Petroleum Drilling Techniques，2010，38（2）：14－18.

［3］張麗華.射孔參數(shù)對(duì)油井產(chǎn)能影響的分析［J］.石油大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1993，17（2）：33－38.Zhang Lihua.Effect of perforation parameters on oil well productivity［J］.Journal of the University of Petroleum，China：E－dition of Natural Science，1993，17（2）：33－38.

［4］牛超群，張玉金.油氣井完井射孔技術(shù)［M］.北京：石油工業(yè)出版社，1994：61－67.Niu Chaoqun，Zhang Yujin.Perforating technology of oil and gas well completion［M］.Beijing：Petroleum Industy Press，1994：61－67.

［5］Asadi M，Preston F W.Characterization of the crushed zone formed during jet perforation by qualitative scanning electron microscopy and quantitative image analysis［R］.SPE 22812，1991.

［6］Pucknell J K，Berhmann L A.An investigation of the damaged zone created by perforating［R］.SPE 22811，1991.

［7］牛華.試論射孔與油氣井產(chǎn)能的關(guān)系［J］.大慶石油學(xué)院學(xué)報(bào)，1995，19（2）：32－34.Niu Hua.Discussion on the relationship of perforation and oilgas well production［J］.Journal of Daqing Petroleum Insititute，1995，19（2）：32－34.

［8］李東傳，唐國(guó)海，孫新波，等.射孔壓實(shí)帶研究［J］.石油勘探與開(kāi)發(fā)，2000，27（5）：112－114.Li Dongchuan，Tang Guohai，Sun Xinbo，et al.A study on perforation crushed－zone［J］.Petroleum Exploration and Development，2000，27（5）：112－114.

［9］Harris M H.The effect of perforating oil well productivity［J］.Journal of Petroleum Technology，1966，18（4）：518－528.

［10］Klotz J A，Krueger R F，Pye D S.Effect of perforation damage on well productivity［R］.SPE 4654，1974.

［11］McLeod H O，Jr.The effect of perforating conditions on well performance［R］.SPE 10649，1983.

［12］Karakas Metin，Tariq S M.Semianalytical productivity models for perforated completions［R］.SPE 21477，1990.

［13］唐愉拉，潘迎德.有限元方法在射孔完井中的應(yīng)用［J］.石油學(xué)報(bào)，1989，10（3）：48－58.Tang Yula，Pan Yingde.Evaluation of perforating completion by finite element method［J］.Acta Petrolei Sinica，1989，10（3）：48－58.

［14］唐愉拉，潘迎德，馮躍平.油、氣井射孔完井產(chǎn)能預(yù)測(cè)和優(yōu)化射孔設(shè)計(jì)［J］.油氣井測(cè)試，1991（2）：102－125，101.Tang Yula，Pan Yingde，F(xiàn)eng Yueping.Productivity forecast and optimal design of the perforated oil and gas well［J］.Well Testing，1991（2）：102－125，101.

［15］郎兆新，張麗華，朱九成，等.射孔工程應(yīng)用軟件WPSYS－A的開(kāi)發(fā)［J］.石油大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1992，16（6）：42－48.Lang Zhaoxin，Zhang Lihua，Zhu Jiucheng，et al.Development of well perforation engineering software WPSYS－A［J］.Journal of the University of Petroleum，China：Edition of Natural Science，1992，16（6）：42－48.

［16］李祥貴，王清河，李元.射孔完井模型的數(shù)值模擬［J］.石油大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1996，20（2）：48－53.Li Xianggui，Wang Qinghe，Li Yuan.Numerical simulation model of perforated well completions［J］.Journal of the University of Petroleum，China：Edition of Natural Science，1996，20（2）：48－53.

［17］成綏民，王天順.表皮系數(shù)系統(tǒng)分解方法［J］.油氣井測(cè)試，1992（1）：35－40.Cheng Suimin，Wang Tianshun.The system decomposition method of the skin factor［J］.Well Testing，1992（1）：35－40.

［18］張紅霞.表皮系數(shù)系統(tǒng)分解研究與應(yīng)用［D］.青島：中國(guó)石油大學(xué)（華東）石油工程學(xué)院，2006：8－12.Zhang Hongxia.The system decomposition research and application of the skin factor［D］.Qingdao：China University of Petroleum（Huadong），School of Petroleum Engineering，2006：8－12.

［19］張建國(guó)，杜殿發(fā)，侯健，等.油氣層滲流力學(xué)［M］.2版.東營(yíng)：中國(guó)石油大學(xué)出版社，2009：126－133.Zhang Jianguo，Du Dianfa，Hou Jian，et al.Seepage mechanics of reservoir［M］.2nd ed.Dongying：China University of Petroleum Press，2009：126－133.

［20］Joshi S D.A review of horizontal well anddrainhole technology［R］.SPE 16868，1987.

［21］陳元千，鄒存友.考慮各向異性和偏心距影響的水平井產(chǎn)量公式推導(dǎo)、對(duì)比與應(yīng)用 ［J］.新疆石油地質(zhì)，2009，30（4）：486－489.Chen Yuanqian，Zou Cunyou.Derivation，comparison and application of horizontal well production formula considering anisotropy and eccentricity effects［J］.Xinjiang Petroleum Geology，2009，30（4）：486－489.

［22］葛家理，劉月田，姚約東.現(xiàn)代油藏滲流力學(xué)原理：下［M］.北京：石油工業(yè)出版社，2003：29－51.Ge Jiali，Liu Yuetian，Yao Yuedong.Seepage mechanics principle of reservoir in modern：partⅡ［M］.Beijing：Petroleum Industy Press，2003：29－51.

［23］Besson J.Performance of slanted and horizontal wells on an anisotropic medium［R］.SPE 20965，1990.