關(guān)于偏相關(guān)系數(shù)的計算公式的一點注記

陳敏瓊，彭東海

1 偏相關(guān)系數(shù)常見的幾種定義與計算方法

定義1［1］設(shè)變量組 ｛X1，X2，…，Xp｝之間存在線性關(guān)系：

其中ε，α為隨機擾動項，則在X3，…，Xp給定的條件下X1與X2的偏相關(guān)系數(shù)的大小可定義為：

若有樣本數(shù)據(jù)則可通過樣本數(shù)估計得出模型（1）和（2）的殘差序列｛i｝，｛｝，i＝1，2，…，n，則X3，…，Xp給定的條件下X1與X2的樣本偏相關(guān)系數(shù)為：

定義2［2］設(shè)回歸模型

記Y的 殘 差 平 方 和 為SE（X1，X2，…，Xp），而SE（X2，…，Xp）表示去掉變量X1后建立的新的回歸模型

的殘差平方和，則稱

為變量Y關(guān)于變量X1的偏決定系數(shù)。而稱此偏決定系數(shù)的平方根

為Y與變量X1的偏相關(guān)系數(shù)。

公式3［3］設(shè)有變量組｛X1，X2，…，Xp｝，其相關(guān)系數(shù)陣為

其中，rij表示變量Xi，Xj的簡單相關(guān)系數(shù).則 ?i，j＝1，2，…，p，變量Xi與Xj在其他變量給定的條件下的偏相關(guān)系數(shù)為：

其中，Δij，Δii，Δjj分別為｜R｜中元素rij，rii，rjj的代數(shù)余子式。

定義1所給出的偏相關(guān)系數(shù)的定義側(cè)重說明兩變量在扣除其他變量的影響之后的“純相關(guān)”，定義2所給出的偏相關(guān)系數(shù)的定義則常在回歸分析中用來衡量某個自變量對因變量的重要性，以判定該自變量是否需要加入模型中（事實上可以證明定義2的計算公式就是定義1所定義的偏相關(guān)系數(shù)的絕對值）。定義1與定義2都是基于回歸分析提出的，筆者以為回歸分析的前提條件是已明確變量之間是具有因果關(guān)系的，這樣定義出來的偏相關(guān)系數(shù)不具有對稱性，也不符合相關(guān)分析的本質(zhì)。而公式3給出的計算公式則沒有區(qū)分變量之間的因果關(guān)系，因而更合理，而且計算上也簡便。下面筆者將通過分析得出公式3所指出的兩變量之間的偏相關(guān)系數(shù)計算公式，事實上是基于多元正態(tài)分布理論中的條件分布的結(jié)論導(dǎo)出的。

2 偏相關(guān)系數(shù)的計算公式（9）的理論依據(jù)——基于多元正態(tài)分布理論

由此條件協(xié)方差陣可計算在X（2）給定的條件下，X（1）中兩兩指標之間的偏相關(guān)系數(shù)大小。

故在X3給定的條件下X1與X2的偏相關(guān)系數(shù)的大小為：

其中，ρij表示變量Xi與Xj的簡單相關(guān)系數(shù)大小，i，j＝1，2，3。

此結(jié)論說明在X3，…，Xp給定的條件下X1與X2的偏相關(guān)系數(shù)的大小

其中σ11，σ12，σ22分別為協(xié)方差陣Σ的逆矩陣Σ－1中的第1行第1列的元素、第1行第2列的元素及第2行第2列的元素。

類似，若要求變量Xi與Xj（不妨設(shè)j＞i）在其 他 變 量X1，X2，…，Xi－1，Xi＋1，…，Xj－1，Xj＋1，…Xp給定的條件下的偏相關(guān)系數(shù)，可令

（其中P1i表示單位陣Ip的第1行與第i行交換所得的初等陣，P2j表示單位Ip的第2行與第j行交換所得的初等陣）。則由多元正態(tài)分布性質(zhì)可知

由前面推導(dǎo)結(jié)論可知Xi與Xj（注：此時Xi與Xj為向量Y的第一和第二個指標）在變量X1，X2，…，Xi－1，Xi＋1，…，Xj－1，Xj＋1，…，Xp給定的條件下的偏相關(guān)系數(shù)

其中，c11，c12，c22分別為Y的協(xié)方差陣Σ＊的逆矩陣（Σ＊）－1中的第1行第1列的元素、第1行第2列的元素及第2行第2列的元素。

綜合上述可知，若隨機向量X＝（X1，X2，…，Xp）′～Np（μ，Σ），Σ＞o，記Σ＝ （σmn）p×p，其中σmn＝cov（Xm，Xn），m，n＝ 1，2，…，p，且記Σ－1＝（σmn）p×p，則在其他變量X1，X2，…，Xi－1，Xi＋1，…，Xj－1，Xj＋1，…，Xp給定的條件下Xi與Xj的偏相關(guān)系數(shù)大小為：

另外，由隨機向量X的相關(guān)系數(shù)陣R與協(xié)方差陣Σ的關(guān)系：

從而可得：

至此，公式（9）得證。

3 結(jié)論

本文從多元正態(tài)分布理論中的條件分布的結(jié)論出發(fā)，論證了公式3所提出的兩變量之間的偏相關(guān)系數(shù)的計算公式（9）的合理性。該結(jié)論說明對于聯(lián)合分布服從多元正態(tài)分布的向量組｛X1，X2，…，Xp｝來說，若要求變量組中兩兩變量之間的偏相關(guān)系數(shù)（即“凈相關(guān)”）大小，只需知道該向量組的協(xié)方差陣Σ或簡單相關(guān)系數(shù)陣R（未知時可通過樣本進行估計），通過求Σ－1或R－1，再按（11）式或（12）式計算即可（若變量只有3個，則更簡單，按（10）式計算即可）。因此計算方便且定義合理。但注意前提條件是變量組的聯(lián)合分布必須服從多元正態(tài)分布，至于如何驗證聯(lián)合分布是否服從多元正態(tài)分布則不是本文討論的重點。

［1］李 鋼.關(guān)于偏相關(guān)系數(shù)計算思想的思考［J］.商場現(xiàn)代代，2008，（中旬刊）：388－389.

［2］王黎明，陳 穎，楊 楠.應(yīng)用回歸分析［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008：65－66.

［3］郝黎仁，樊 元，郝 歐.SPSS實用統(tǒng)計分析［M］.北京：中國水利水電出版社，2007：184.

［4］何曉群.多元統(tǒng)計分析（第二版）［M］.北京：中國人民大學(xué)出版社，2010：12－15.