CDO定價影響要素的蒙特卡洛模擬研究

劉平

摘要：CDO是目前國內外非常關注的也是定價很復雜的一類信用衍生產品，其定價的關鍵就是違約概率和違約相關性的估計。文章在Merton擴展模型的基礎上，采用蒙特卡洛方法，并結合copula函數來生成具有相關性的違約時間分布，然后計算出各個違約時點，進而求出標的資產組合的違約損失。在此基礎上分別計算收益面和損失面的期望值，最終對各種要素對CDO定價的影響進行分析與比較。

關鍵詞：債務抵押債券；蒙特卡洛模擬；Merton擴展模型；copula函數

中圖分類號：F83091文獻標志碼：A文章編號：10085831（2014）03005506

債務抵押債券（CDO）的定價中主要包括回復率、相關系數、違約強度以及不同copula聯結函數等4種要素，不同要素對CDO定價的影響不同。雖然2007年美國金融危機后，由于CDO定價過于復雜受到業(yè)界和研究者的普遍批評，但近年來中國CDO產品發(fā)展迅猛，繼國開行、建設銀行之后，上海浦東發(fā)展銀行、工商銀行、興業(yè)銀行、民生銀行以及招商銀行都陸續(xù)發(fā)行了各自的CDO產品。因此如何開發(fā)適合國內市場的CDO產品，研究各種要素對CDO定價的影響就具有緊迫性和重要的現實意義。

一、文獻綜述

CDO定價方法主要有結構模型和約化模型。結構模型主要有BET模型、copula模型和因子copula模型。由于本文采用copula模型，因此本文著重對這個模型進行梳理和綜述。

國外研究方面，Li [1]利用市場中CDS的已知價格來模擬違約時點，用 Gaussian copula 建立多元聯合損失分布。Li模型的主要貢獻在于用Gaussian copula將過去某一時期內違約事件、相關性等離散變量的估算，擴展到具有連續(xù)時間的相關性違約時點的度量。Frey 等[2]進一步改進了Li的模型，提出了studentt copula。這個模型是Gaussian copula的極值形式，能更好地解釋金融變量的肥尾特征。Schonbucher等[3]將違約相關性納入違約強度模型中，發(fā)展出一套最一般化的copula 函數分析及一致性的個別違約強度動態(tài)模式。Rogge[4]延續(xù)了Schonbucher等的研究，發(fā)現 Clayton copula 相較于市場上常使用的Gaussian copula 或 studentt copula ，可產生較為真實的信用價差變化過程。然而，這一模型的最大缺點是模擬過程復雜，不易執(zhí)行。Burtschell [5]等對不同的copula 函數在CDO 定價中的應用作了總結性的比較分析，表明Student-t 和Clayton copula比Gaussian copula能更好地擬合市場數據， 但Marshall-Olkin copula能進一步提升模型的準確性。Totouom[6-7]將動態(tài)相關copula 模型運用到CDO定價中，提出了動態(tài)copula 模型。

國內研究方面，朱世武[8]討論了如何利用copula 函數來進行資產組合的違約相關性度量， 并進一步探討了信用衍生品的定價以及資產組合的信用風險管理問題， 但其研究對象只針對2種資產的簡單組合，對于copula函數及其參數的選擇也不夠深入。馮謙等[9]等使用非參數方法從市場數據中推導出一個合理的copula函數，然后提出利用蒙特卡洛計算CDO分券合理價差的方法，但沒有具體的實證分析。袁子甲等[10]在因素模型中引入NIG分布，對正態(tài)因素模型進行了3 種不同形式的推廣應用， 并用數值模擬對模型進行了分析， 但其模型推廣和數值模擬均可進一步深入討論分析。穆放等[11]以KMV模型和copula函數分別對債務人的違約概率和違約相關性進行估計，并計算在不同樣本和回收率下各投資層次的風險溢酬，利用國內市場公開信息，對債務抵押債券定價進行了實證研究，但該模型對樣本選擇有很高的依賴性。陳田等[12]對CDO定價模型進行了綜述，并按照各種定價方法對國內外研究做了很詳細的綜述。尹占華等[13]在測算CDO損失分布的二項式擴展技術的基礎上，提出用蒙特卡洛方法對建設銀行120筆貸款模擬了損失分布并計算了VaR。楊瑞成等[14]討論了基于混合分布單因子模型的CDO定價問題，假設資產價值的市場共同因子和異質因子均服從標準高斯和NIG的混合分布，且相關系數為隨機相關系數，通過半解析法給出了CDO分券層的公允價格公式。

綜合國內研究，在CDO定價中已經取得了一定的成績。本文在前人的基礎上有兩點創(chuàng)新：一是詳細模擬了計算違約時間點的過程；二是對各種要素對CDO定價的影響進行了詳細的模擬。

二、研究方法

第一步，根據選定的copula函數產生n個服從均勻分布的隨機變量U。

第二步，模擬違約時間點：（1）計算違約強度λ；（2）違約時間點。

在不同copula函數產生出隨機變量Ui的基礎上，由τi=-lnUi/λi求得違約時間點τi。

第三步，計算CDO相應的收益面和損失面以及各個層級的溢價。

三、實證研究

（一）樣本選取和描述性統(tǒng)計

國家開發(fā)銀行2005、2006、2007年開發(fā)的3期債務抵押債券，都集中在電力、熱力、有色金屬及運輸行業(yè)，并以電力行業(yè)為主，債務人所在的地區(qū)非常分散。本文選取了凱迪電力、魯陽股份、天富熱電、粵水電和云南銅業(yè)進入基礎組合，涉及電力行業(yè)、熱力業(yè)、建材行業(yè)和有色金屬行業(yè)，其中以電力行業(yè)為主。5家公司地域跨度也比較廣，地區(qū)分散度相對較好。以2007年1月1日至2009年12月31日的日收益率為研究對象，計算公式為Rt=100lnPtPt-1。數據來源于http：//cn.finance.yahoo.com/glbmarkets。采用matlab7.1軟件進行數據分析，對一個3年期5個層級的CDO組合進行模擬，假設無風險收益率為2.25%。

（二）計算各copula函數的相關系數

（三）計算違約率和違約強度

（四）各要素對CDO定價的影響

1.回復率（R）對CDO定價的影響

2.相關系數對CDO定價影響

3.違約強度對CDO定價影響

4.不同copula函數對CDO定價的影響

5.實際情況比較

參考文獻：

[1] LI D.On default correlation： A copula approach[J].Journal of Fixed Income， 2000，9（4）：43-54.

[2]FREY R， McNEIL A. Dependent defaults in models of portfolio credit risk[J].Journal of Risk， 2003（6）： 59-92.

[3]SCHONBUCHER J， SCHUBERT D.Copuladependent default risk in intensity models[R].Working Paper， Department of Statistics， Bonn University，2003.

[4]ROGGE E， SCHONBUCHER J.Modeling dynamic portfolio credit risk[R].Working Paper，2003.

[5] BURTSCHELL X， GREGORY X J，LAURENT JP. A comparative analysis of CDO pricing models[R].Working Paper，BNP Paribas，2005.

[6]TOTOUOM T D，ARMSTRONG M.Dynamic copula processes：A new way of modeling CDO tranches[R].Working Paper， 2005.

[7] TOTOUOM T D，ARMSTRONG M.Dynamic copula and forward starting credit derivatives[R].Working Paper， 2007.

[8]朱世武.基于Copula 函數度量違約相關性[J].統(tǒng)計研究，2005（4）：61-64.

[9]馮謙， 楊朝軍.擔保債權憑證定價——Copula函數的非參數估計與應用[J].運籌與管理，2006，15（5）：104-107.

[10]袁子甲， 李仲飛.基于因子模型的CDO 定價研究：正態(tài)單因子模型的三種推廣[EB/OL].[2011-10-20]http：//www. ccfr. org. cn/cicff2007/ download， 2007.

[11]穆放， 宋潔， 陳治津.債務抵押債券定價模型探討及實施研究[J].經濟縱橫，2007（10）：10-13.

[12]陳田， 秦學志.債務抵押債券（CDO）定價模型研究綜述[J].管理學報，2008，7（5）：616-624.

[13]尹占華，徐昕，高春梅.基于蒙特卡洛模擬的CDO損失分布測算研究及實證分析[J].統(tǒng)計信息與論壇，2008， 9（23）：13-16.

[14]楊瑞成，秦學志，陳田.基于混合分布單因子模型的CDO定價問題[J].數理統(tǒng)計與管理，2009（6）：1082-1090.

（二）計算各copula函數的相關系數

（三）計算違約率和違約強度

（四）各要素對CDO定價的影響

1.回復率（R）對CDO定價的影響

2.相關系數對CDO定價影響

3.違約強度對CDO定價影響

4.不同copula函數對CDO定價的影響

5.實際情況比較

參考文獻：

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[13]尹占華，徐昕，高春梅.基于蒙特卡洛模擬的CDO損失分布測算研究及實證分析[J].統(tǒng)計信息與論壇，2008， 9（23）：13-16.

[14]楊瑞成，秦學志，陳田.基于混合分布單因子模型的CDO定價問題[J].數理統(tǒng)計與管理，2009（6）：1082-1090.

（二）計算各copula函數的相關系數

（三）計算違約率和違約強度

（四）各要素對CDO定價的影響

1.回復率（R）對CDO定價的影響

2.相關系數對CDO定價影響

3.違約強度對CDO定價影響

4.不同copula函數對CDO定價的影響

5.實際情況比較

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[13]尹占華，徐昕，高春梅.基于蒙特卡洛模擬的CDO損失分布測算研究及實證分析[J].統(tǒng)計信息與論壇，2008， 9（23）：13-16.

[14]楊瑞成，秦學志，陳田.基于混合分布單因子模型的CDO定價問題[J].數理統(tǒng)計與管理，2009（6）：1082-1090.