一種分段分塊式壓縮采樣模型的設(shè)計(jì)

方 標(biāo)， 黃高明， 高 俊， 左 煒

(1. 海軍工程大學(xué) 電子工程學(xué)院，湖北 武漢 430033;2. 中國人民解放軍92723部隊(duì)，北京 100841)

香農(nóng)/奈奎斯特采樣定理指出:為避免信息丟失，實(shí)現(xiàn)無失真恢復(fù)原始信號(hào)，采樣率至少要兩倍于信號(hào)帶寬．所以，寬帶模擬信號(hào)的數(shù)字化需要很高的采樣率．由于器件的物理特性約束，提高采樣率的代價(jià)是巨大的，如導(dǎo)致量化精度下降等．壓縮感知(Comoressive Sensing，CS)[1-2]理論為解決上述問題開啟了新的思路，其思想是對(duì)稀疏信號(hào)以遠(yuǎn)低于奈奎斯特頻率的采樣率進(jìn)行全局觀測(cè)而非局部采樣，然后用適當(dāng)?shù)闹貥?gòu)算法從觀測(cè)值中還原出原始信號(hào)．

CS理論的提出最初是針對(duì)離散數(shù)字信號(hào)的，為了將其應(yīng)用到模擬域，就出現(xiàn)了基于壓縮感知理論的模擬到信息的轉(zhuǎn)換理論，其旨在利用信號(hào)的結(jié)構(gòu)特征降低信號(hào)采樣率，解決海量數(shù)據(jù)的壓縮存儲(chǔ)以及傳輸問題．模擬到信息轉(zhuǎn)換的研究重點(diǎn)在于采用何種有效的轉(zhuǎn)換架構(gòu)，使得信號(hào)采集效率得以提高，采集方式的適用范圍得以擴(kuò)展．在近幾年不斷發(fā)展過程中，涌現(xiàn)了一批各有特色的轉(zhuǎn)換架構(gòu)．最早的模擬信息轉(zhuǎn)換方式可以追溯到多陪集采樣模型(Multi-coset Sampling，MS)[3]，它是在周期非均勻采樣基礎(chǔ)上提出的一種結(jié)構(gòu)簡單、易于硬件實(shí)現(xiàn)的并行支路模型，已應(yīng)用于稀疏信號(hào)的數(shù)據(jù)采集，但存在一些固有的缺陷，比如處理信號(hào)的最大帶寬受限于模數(shù)轉(zhuǎn)換器(Analog to Digital Converter，ADC)的固有帶寬，兩個(gè)ADC之間保持精確的時(shí)間偏移量在實(shí)際環(huán)境中存在困難[4]．在CS理論提出后，Laska等提出了隨機(jī)采樣模型(Random Sampling，RS)[5]，主要用于采集和處理局部傅里葉稀疏信號(hào)(Local Fourier Sparse，LFS)，即信號(hào)的每個(gè)時(shí)間點(diǎn)能夠近似地分解成幾個(gè)定頻的正弦波的寬帶信號(hào)，比如部分跳頻通信信號(hào)、雷達(dá)信號(hào)和大部分的語音信號(hào)，文獻(xiàn)[5]給出了一個(gè)RS在寬帶信號(hào)中的典型應(yīng)用．隨機(jī)解調(diào)模型(Random Demodulation，RD)[6-7]是一個(gè)由寬帶周期偽隨機(jī)解調(diào)器、模擬低通濾波器和低速A/D采樣器組成的單支路模擬到信息轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)，目前應(yīng)用范圍比較廣，文獻(xiàn)[6]將這一模型推廣到頻譜稀疏的連續(xù)域多頻帶信號(hào)類型中，但此模型對(duì)濾波器的設(shè)計(jì)要求很高，濾波器設(shè)計(jì)對(duì)可重構(gòu)性的影響非常大．在并行架構(gòu)方向，Eldar團(tuán)隊(duì)提出了調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器模型(Modulated Wideband Converter，MWC)[8-9]，這一架構(gòu)克服了多陪集模型的兩大缺陷：MWC利用偽隨機(jī)序列函數(shù)通過混頻操作實(shí)現(xiàn)頻譜搬移，擺脫了模擬ADC帶寬的限制；同時(shí)各支路采用同一個(gè)時(shí)間觸發(fā)器保證了采樣同步，有效解決了精確的時(shí)間延遲難以實(shí)現(xiàn)的問題．但其本身存在一個(gè)問題：當(dāng)單位時(shí)間內(nèi)需要很多的壓縮采樣值時(shí)，將導(dǎo)致相當(dāng)大數(shù)量的相關(guān)支路，這將大大增加系統(tǒng)硬件實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度．針對(duì)此問題，文獻(xiàn)[10]加入分段思想對(duì)MWC進(jìn)行了改進(jìn)，提出了分段式模擬信息轉(zhuǎn)換器(Segmented Analog-to-Information Conversion，S-AIC)，在每個(gè)混合積分器支路(Branches of Mixters and Integrators，BMIs)上將每一個(gè)積分周期分成M段后，得到分段測(cè)量值；再按照一定規(guī)則將各個(gè)BMIs上的分段測(cè)量值置換，得到新測(cè)量值，達(dá)到在不增加BMIs的基礎(chǔ)上擴(kuò)展測(cè)量矩陣行數(shù)的目的，有效降低了相關(guān)支路數(shù)，提升了恢復(fù)性能．但是，由于S-AIC所得的等效測(cè)量矩陣是密集矩陣，其硬件實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度高．針對(duì)測(cè)量值密集性問題，文獻(xiàn)[11]從集合論和互相關(guān)理論出發(fā)，通過去除冗余觀測(cè)達(dá)到降低觀測(cè)信號(hào)數(shù)的目的．筆者在積分周期分段的基礎(chǔ)上，對(duì)BMIs和積分時(shí)間進(jìn)行分塊處理，提出了基于分段分塊采樣的模擬信息轉(zhuǎn)換器(Segmented and Blocked Analog-to-Information Conversion，SB-AIC)，將等效測(cè)量矩陣轉(zhuǎn)換為稀疏塊對(duì)角矩陣，縮短了積分時(shí)間．該模型不僅能夠改善傳統(tǒng)AIC的恢復(fù)性能，而且相比S-AIC降低了硬件實(shí)現(xiàn)的難度．

1 S-AIC模型描述

針對(duì)如何降低普通并行AIC，如MWC結(jié)構(gòu)中BMIs的數(shù)量，節(jié)約硬件成本的問題，文獻(xiàn)[10]提出了一種分段型AIC(S-AIC)，其基本思想是重復(fù)利用壓縮采樣值構(gòu)建新采樣值．從矩陣形式上看，這等價(jià)于對(duì)觀測(cè)矩陣進(jìn)行擴(kuò)展，增加觀測(cè)矩陣的行數(shù)，然后利用該觀測(cè)矩陣獲取新的壓縮采樣值，來提高系統(tǒng)的恢復(fù)性能，降低系統(tǒng)的相關(guān)采樣支路，從而達(dá)到降低系統(tǒng)硬件實(shí)現(xiàn)成本的目的．S-AIC與AIC的構(gòu)成部件和工作原理相同，它們之間的不同之處在于：并行壓縮采樣模型每次重構(gòu)過程只采用了每個(gè)通道的1個(gè)采樣點(diǎn)，而分段式并行壓縮采樣模型中每個(gè)通道的多個(gè)連續(xù)采樣點(diǎn)參與信號(hào)重構(gòu)．實(shí)現(xiàn)分段采樣的關(guān)鍵是如何利用不完整的壓縮采樣值構(gòu)建新的測(cè)量值，其具體的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖1所示．每一個(gè)支路中輸入信號(hào)x(t)與周期偽隨機(jī)序列p(t)的相乘結(jié)果，再由分段后脈沖響應(yīng)為h(t)的積分器濾波，后經(jīng)低速ADC以子奈奎斯特采樣率fs采集數(shù)據(jù)．其中，頻率fs的選取與濾波器的截止頻率有關(guān)，p(t)是一個(gè)取值為 ±1 有限持續(xù)時(shí)間隨機(jī)方波的周期擴(kuò)展．這一模型在原來支路數(shù)量不變的情況下，采用擴(kuò)展后的測(cè)量矩陣觀測(cè)信號(hào)能夠獲得更多的信息樣點(diǎn)，也就是說，在所需信息樣點(diǎn)數(shù)目一定的條件下，改進(jìn)后轉(zhuǎn)換模型的相關(guān)支路數(shù)量減少了．文獻(xiàn)[12]指出，如果原來矩陣滿足受限等距性質(zhì)(Restricted Isometry Property，RIP)，那么擴(kuò)展后的測(cè)量矩陣也以一定概率滿足RIP條件，可知改進(jìn)后的測(cè)量矩陣能夠繼承RIP特性．

圖1 分段式壓縮采樣(S-AIC)結(jié)構(gòu)示意圖

2 SB-AIC模型的設(shè)計(jì)與分析

2.1 SB-AIC模型的設(shè)計(jì)思想

由于結(jié)構(gòu)化的測(cè)量矩陣能夠節(jié)省存儲(chǔ)空間、降低計(jì)算復(fù)雜度，并且滿足RIP特性[12]．鑒于此，在S-AIC基礎(chǔ)上，對(duì)積分時(shí)間和BMIs進(jìn)行分塊操作，將S-AIC中的子采樣K×M矩陣Y進(jìn)一步分割成若干個(gè)對(duì)角化塊，使得等效測(cè)量矩陣Φe為塊對(duì)角矩陣，除了主對(duì)角線外其他元素均為0，在每一個(gè)獨(dú)立的對(duì)角塊中進(jìn)行類似于前文中的S-AIC處理，從而降低硬件復(fù)雜度．

圖2顯示了SB-AIC的結(jié)構(gòu)框圖，其基本思想是將S-AIC的大測(cè)量矩陣分割成若干個(gè)相對(duì)獨(dú)立的對(duì)角塊小測(cè)量矩陣，在每一個(gè)小塊中按照S-AIC的擴(kuò)展思路產(chǎn)生新測(cè)量值，這樣除對(duì)角塊外的測(cè)量值就全部置零，復(fù)雜度大大降低，存儲(chǔ)空間也會(huì)大大縮小，進(jìn)一步提高了模型的適用性．分塊思想是SB-AIC的核心，也是其與S-AIC模型的主要區(qū)別，下節(jié)將就這一主要差別進(jìn)行分析．

圖2 分段分塊式壓縮采樣(SB-AIC)結(jié)構(gòu)示意圖

2.2 SB-AIC模型分析

在SB-AIC中，K個(gè)BMI被分成J塊，假設(shè)K和M是J的整數(shù)倍，令Mt=M/J，Kt=K/J，Nt=N/J．第j(j=1，2，…，J)塊包含從 (j-1)Kt+1 到j(luò)Kt共Kt個(gè)BMI．對(duì)于第j塊中的每一個(gè)BMI，其積分時(shí)間是從 (j-1)T/J到j(luò)T/J，則SB-AIC中第j塊的所有BMI產(chǎn)生的子采樣為下面的Kt×Mt矩陣，即

(1)

定義K×M的塊對(duì)角矩陣為

Y=diag(YB1，YB2，…，YBJ) ,

(2)

額外的采樣值產(chǎn)生：對(duì)矩陣Y中的列逐塊進(jìn)行置換，子采樣的置換在每個(gè)YBj塊中獨(dú)立進(jìn)行，塊內(nèi)對(duì)每一列的置換方式和前述S-AIC中的置換方式相同[13]．此時(shí)，SB-AIC置換集最多為I=Kt-1 個(gè)．將置換集P(i)應(yīng)用于Y中的每個(gè)塊中，可得

(3)

當(dāng)Ka=KI時(shí)，令Ya=[(YP(1))T，…，(YP(I))T]T，則第k個(gè)額外的采樣值為

(4)

每一個(gè)分塊都可以看成獨(dú)立的S-AIC．因此，額外的采樣值的產(chǎn)生只與本塊內(nèi)產(chǎn)生的原始采樣值有關(guān)，而與其他塊產(chǎn)生的原始采樣值相互獨(dú)立．

令ΦBj為Kt×Nt的矩陣，其中第k行第n列的元素為

(5)

則SB-AIC的等效測(cè)量矩陣為

(6)

當(dāng)Ka

(7)

l∈{1，2, …，nb} ．

(8)

此時(shí)，等效測(cè)量矩陣的形式如下:

(9)

圖3 SB-AIC壓縮采樣信息處理算法流程圖

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

針對(duì)AIC、S-AIC和文中SB-AIC進(jìn)行仿真測(cè)試和分析．仿真設(shè)置同參考文獻(xiàn)[10]，不失一般性和公平性，文中仿真實(shí)驗(yàn)中全部采用輸入長度N=512，稀疏度S=5 的相同時(shí)域稀疏信號(hào)，信號(hào)中的非零元素為 ±1 等概率分布的時(shí)域稀疏信號(hào)，即稀疏基Ψ=I．經(jīng)過AIC后的信息向量y=Φx(t)+e，其中，e是均值為0、方差為σ2的高斯噪聲向量．為了保證分段分塊后的等效采樣值噪聲同于原始采樣值噪聲，按照文獻(xiàn)[10]，令A(yù)IC條件下噪聲方差為σ2，S-AIC的子采樣噪聲方差為σ2/M，SB-AIC中子塊采樣噪聲方差為σ2/Mt．

3.1 無噪條件下不同擴(kuò)展率信號(hào)恢復(fù)對(duì)比實(shí)驗(yàn)

在無噪背景下，當(dāng)信號(hào)在時(shí)域稀疏，選取J=2和J=5兩種情況，擴(kuò)展率(SR)分別取1，2，3，4，5．采用OMP算法重構(gòu)信號(hào)，分別進(jìn)行100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)．圖4給出了該條件下恢復(fù)稀疏信號(hào)的均方誤差(MSE)的性能曲線．由圖4可知，當(dāng)SR大于等于3、J=2 時(shí)，SB-AIC與S-AIC的性能基本相同，特別在SR比較高時(shí)，J=5 時(shí)的性能也明顯優(yōu)于AIC的性能，證明了新方法的可靠性．由于SB-AIC只需要S-AIC的 1/J的運(yùn)算和存儲(chǔ)資源，SB-AIC的復(fù)雜度也為S-AIC的 1/J，在針對(duì)大容量數(shù)據(jù)壓縮采樣時(shí)更具有適用性，從實(shí)現(xiàn)成本考慮此方案也更可?。?/p>

隨著J數(shù)目的增加，在相同SR下其測(cè)量矩陣的稀疏性增強(qiáng)，根據(jù)每個(gè)BMI子分塊占有的Kt=K/J個(gè)BMI支路和Mt=M/J個(gè)積分段，獨(dú)立子塊矩陣都將變?。枰⒁獾氖?，每個(gè)獨(dú)立子塊不能過小，過小無法保證擴(kuò)展后子采樣值的相對(duì)獨(dú)立性，從而影響重構(gòu)性能，如圖4所示．因此，在實(shí)際應(yīng)用中，硬件資源的節(jié)省有一定的限度，分塊數(shù)量J不宜過多，在硬件資源滿足構(gòu)建要求時(shí)，J盡可能選取得小一些．這需要結(jié)合實(shí)際硬件資源和重構(gòu)恢復(fù)情況而定．

圖4 不同擴(kuò)展率下4種采樣方案的MSE性能曲線(SNR為∞)圖5 不同信噪比下4種采樣方案的PROB性能曲線(SR為1)

3.2 含噪條件下不同信噪比精確重構(gòu)的對(duì)比實(shí)驗(yàn)

選取擴(kuò)展率SR為1，在不同的SNR下比較4種方案下的精確重構(gòu)概率(PROB)．由圖5可知，當(dāng)SNR較高時(shí)，4種方案的性能接近，這與圖4是相吻合的；當(dāng)SNR較低時(shí)，SB-AIC的性能介于AIC和S-AIC之間，這也說明了SB-AIC在S-AIC的基礎(chǔ)上為獲取結(jié)構(gòu)上的優(yōu)勢(shì)犧牲了一定的性能，但是依然可保證其對(duì)AIC的優(yōu)越性．在實(shí)際應(yīng)用中，通過選取合適的分塊數(shù)J可獲得結(jié)構(gòu)和性能上的有效平衡．

圖6 不同的擴(kuò)展率條件下4種采樣方案的PROB性能曲線(SNR為10 dB和30 dB)

3.3 含噪條件下不同擴(kuò)展率精確重構(gòu)對(duì)比實(shí)驗(yàn)

在不同的擴(kuò)展率條件下比較各方案的精確重構(gòu)性能，選取SNR為 10 dB 和 30 dB 為研究對(duì)象．由圖6可知，在較高信噪比(SNR為 30 dB) 的情況下，4種方案的精確重構(gòu)概率都能達(dá)到90%以上，PROB性能隨SR的變化不明顯，信號(hào)恢復(fù)良好，這與圖4中描述的MSE性能是相吻合的；在較低信噪比(SNR為 10 dB) 的情況時(shí)，隨著SR的提升，3種分段方案下的PROB性能都得到了有效改善．由于文中提出的SB-AIC方案構(gòu)造的測(cè)量矩陣是稀疏對(duì)角塊矩陣，結(jié)構(gòu)上的優(yōu)勢(shì)保證了在相同SR條件下，相比S-AIC，只需占用 1/J的存儲(chǔ)空間和運(yùn)算資源．以J=5 為例，在硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)，若使用相同的存儲(chǔ)空間，SB-AIC可利用剩余 4/5 的空間繼續(xù)擴(kuò)展至SR為5的情形，這時(shí)PROB的性能已經(jīng)達(dá)到93%，相比于S-AIC在SR為1情形下的PROB提升了23%，這說明了文中方案在存儲(chǔ)空間受限和低信噪比條件下的優(yōu)越性．

SB-AIC相比于S-AIC(可視為J=1時(shí)SB-AIC的特例)，將測(cè)量矩陣從密集矩陣轉(zhuǎn)化為稀疏對(duì)角化矩陣，其優(yōu)越性主要體現(xiàn)在硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)資源節(jié)約上，包括前端的高速脈沖發(fā)生器、乘法器和積分器資源以及后端的存儲(chǔ)器資源，都將降低為原先的 1/J．由仿真實(shí)驗(yàn)可以看出，在同樣的SR時(shí)，由于測(cè)量矩陣數(shù)據(jù)量的減少，使得SB-AIC的性能略有降低，但與S-AIC仍處于同一數(shù)量級(jí)．換言之，SB-AIC在犧牲一定可容許性能的基礎(chǔ)上，提升硬件的利用率是其主要優(yōu)越性所在．

4 結(jié) 束 語

圍繞并行架構(gòu)中如何降低混合積分支路數(shù)以適應(yīng)大規(guī)模壓縮采樣值場合的問題，在現(xiàn)有的模型上進(jìn)行了改進(jìn)．在BMIs數(shù)目相同的條件下，S-AIC獲得采樣值個(gè)數(shù)要多于傳統(tǒng)AIC的，改善了恢復(fù)效果，而文中提出的SB-AIC又在S-AIC的基礎(chǔ)上，利用分塊思想得到塊對(duì)角化的等效測(cè)量矩陣，不僅能夠獲得比傳統(tǒng)AIC多的采樣值，而且減少了積分時(shí)間，大幅度節(jié)省了硬件資源，降低了硬件復(fù)雜度．由于每個(gè)分塊相對(duì)獨(dú)立，在硬件設(shè)計(jì)中各分塊子采樣的存儲(chǔ)空間可以實(shí)現(xiàn)復(fù)用，其實(shí)時(shí)性也要優(yōu)于S-AIC的，具有很好的實(shí)用性和可操作性．

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