湍流轉(zhuǎn)捩工程預(yù)報(bào)方法研究進(jìn)展綜述

張 雯，劉沛清，郭 昊，屈秋林

（北京航空航天大學(xué)，北京100191）

湍流轉(zhuǎn)捩工程預(yù)報(bào)方法研究進(jìn)展綜述

張 雯，劉沛清，郭 昊，屈秋林

（北京航空航天大學(xué)，北京100191）

湍流轉(zhuǎn)捩現(xiàn)象對(duì)邊界層流動(dòng)的阻力和熱交換特性具有嚴(yán)重影響。準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩對(duì)工程設(shè)計(jì)意義重大。近年來發(fā)展迅速的轉(zhuǎn)捩模型是一種非常適合工程計(jì)算的轉(zhuǎn)捩預(yù)報(bào)方法。本文將轉(zhuǎn)捩模型分成了4個(gè)類型，并對(duì)每種轉(zhuǎn)捩模型的發(fā)展過程加以闡述。在分析和討論的基礎(chǔ)上，總結(jié)了目前轉(zhuǎn)捩模型的發(fā)展水平，同時(shí)也指出尚存的不足之處，為將來構(gòu)建新的轉(zhuǎn)捩模型以及相關(guān)的轉(zhuǎn)捩研究提供建議。

轉(zhuǎn)捩；轉(zhuǎn)捩模型；工程計(jì)算；低雷諾數(shù)；間歇因子；層流脈動(dòng)；不穩(wěn)定波

· 編者按 ·

為打造更好的學(xué)術(shù)交流平臺(tái)，促進(jìn)實(shí)驗(yàn)流體力學(xué)學(xué)科發(fā)展，根據(jù)王晉軍副主編提議和推薦，編輯部進(jìn)行了專題約稿，并在本期開設(shè)了“湍流和流動(dòng)控制”熱點(diǎn)專欄。在此對(duì)積極撰稿、認(rèn)真審稿等給予本刊大力支持和幫助的專家、作者表示衷心感謝！

0 轉(zhuǎn)捩現(xiàn)象及其預(yù)報(bào)概述

邊界層轉(zhuǎn)捩伴隨著壁面摩擦和熱交換特性的急劇變化，對(duì)于飛行器［1］、燃?xì)鉁u輪發(fā)動(dòng)機(jī)［2］等工程設(shè)計(jì)有重要的意義。轉(zhuǎn)捩過程的物理機(jī)制復(fù)雜、影響因素眾多，所以邊界層轉(zhuǎn)捩長(zhǎng)期以來一直是流體力學(xué)中的熱門課題，至今仍有許多問題尚待解決。

邊界層流動(dòng)往往受到包括壁面粗糙度、自由來流湍流度、壓力梯度、三維流動(dòng)、壁面溫度、壁面曲率、馬赫數(shù)等多種因素的影響。流動(dòng)條件不同，從層流到湍流轉(zhuǎn)捩的機(jī)制也不甚相同。低速邊界層流動(dòng)的轉(zhuǎn)捩可以分成2類：第1類與邊界層的不穩(wěn)定性相關(guān)，當(dāng)環(huán)境擾動(dòng)較低時(shí)，不穩(wěn)定性發(fā)展放大、相互作用，并最終導(dǎo)致轉(zhuǎn)捩；第2類轉(zhuǎn)捩被稱為Bypass轉(zhuǎn)捩，在環(huán)境擾動(dòng)（來流湍流度、壁面粗糙度）較高時(shí)，直接由外部擾動(dòng)導(dǎo)致層流發(fā)生轉(zhuǎn)捩［3］。在飛機(jī)巡航的低湍流度（0.03%～0.05%）高空大氣環(huán)境下，機(jī)翼上可能出現(xiàn)T-S（Tollmien-Schlichting）轉(zhuǎn)捩、橫流（Crossflow）轉(zhuǎn)捩、Gotler轉(zhuǎn)捩和接觸線（Attachment-line）轉(zhuǎn)捩［4］。在燃?xì)鉁u輪發(fā)動(dòng)機(jī)中，來流湍流度一般在5%到10%，如果葉片剛好處在上一級(jí)葉片的尾跡中時(shí)，來流湍流度可以達(dá)到15%到20%［5］，邊界層轉(zhuǎn)捩以Bypass轉(zhuǎn)捩為主。高速可壓縮流動(dòng)中，除了存在低速流動(dòng)中出現(xiàn)的不穩(wěn)定性之外，聲波對(duì)邊界層的穩(wěn)定性具有顯著影響［6］。在平板或翼型的前緣，即沿程雷諾數(shù)很低的位置上，聲波因邊界層對(duì)其有較強(qiáng)的感受性而誘發(fā)出F模態(tài)與S模態(tài)。這2種模態(tài)發(fā)展到一定雷諾數(shù)的位置上后出現(xiàn)相速度同步。在2種模態(tài)的相互作用下，S模態(tài)迅速失穩(wěn)形成Mack第二模態(tài)而F模態(tài)趨于穩(wěn)定。這類失穩(wěn)過程的本質(zhì)是聲波在聲速線反彈而被困在邊界層內(nèi)，所以要求邊界層外邊界的當(dāng)?shù)伛R赫數(shù)大于1才會(huì)出現(xiàn)。

轉(zhuǎn)捩的預(yù)測(cè)方法是轉(zhuǎn)捩研究的重要課題，既是現(xiàn)代工程設(shè)計(jì)中的需求，也是轉(zhuǎn)捩基礎(chǔ)研究成果的實(shí)際應(yīng)用。轉(zhuǎn)捩的預(yù)測(cè)方法有穩(wěn)定性理論方法、低雷諾數(shù)湍流模型法、轉(zhuǎn)捩模型法等［7］。當(dāng)然模擬轉(zhuǎn)捩過程可以用直接數(shù)值模擬（DNS）或者大渦模擬（LES），但是其計(jì)算量太大（相當(dāng)于Re9／4），適用于轉(zhuǎn)捩機(jī)制和建模方法的研究而不適用于工程中的轉(zhuǎn)捩計(jì)算［8］。穩(wěn)定性理論方法基于對(duì)擾動(dòng)控制方程的穩(wěn)定性分析，以20世紀(jì)50年代提出來的半經(jīng)驗(yàn)的eN方法［9-10］為典型代表。半經(jīng)驗(yàn)eN方法通過線性穩(wěn)定性理論計(jì)算TS波增長(zhǎng)的幅度A，當(dāng)A與初始擾動(dòng)的幅值之比達(dá)到eN倍時(shí)，就認(rèn)為發(fā)生轉(zhuǎn)捩，其中N是一個(gè)由表面粗糙度和來流條件決定的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)。即

該方法需要計(jì)算擾動(dòng)在整條流線各個(gè)位置上的增長(zhǎng)率［5］，這樣就給工程領(lǐng)域中復(fù)雜流動(dòng)的計(jì)算帶來了不小的麻煩。不過這種方法因?yàn)槌霈F(xiàn)的時(shí)間較早，并且經(jīng)過實(shí)踐證明對(duì)簡(jiǎn)單幾何外形的繞流計(jì)算具有一定的實(shí)用性，所以直到近幾年還有不少人在進(jìn)行這方面的工作［11］。

湍流模型的發(fā)展和完善促使CFD技術(shù)在航空工程中扮演越來越重要的角色。諸多成熟的湍流模型，比如S-A模型［12］、k-ε模型［13］、k-ω模型［14］、雷諾應(yīng)力模型［15］以及在這些模型的基礎(chǔ)上發(fā)展出來的SST模型［16］、v2-f模型［17］等被廣泛地用于可壓縮／不可壓縮邊界層湍流、自由剪切湍流、分離流等各種湍流現(xiàn)象的工程計(jì)算。Rumsey＆Spalart［18］對(duì)比了SA模型和SST模型對(duì)平板、二維翼型、三維機(jī)翼在亞聲速／超聲速條件下的計(jì)算結(jié)果之后，確認(rèn)經(jīng)典的高雷諾數(shù)湍流模型不具備計(jì)算轉(zhuǎn)捩流動(dòng)的能力。

以準(zhǔn)確表達(dá)轉(zhuǎn)捩前、中、后的流動(dòng)特性、準(zhǔn)確判斷轉(zhuǎn)捩開始、完成位置為目標(biāo)，經(jīng)過多年的嘗試和改進(jìn)，形成了較為完善的轉(zhuǎn)捩模型。轉(zhuǎn)捩模型的出現(xiàn)與發(fā)展極大地?cái)U(kuò)展了湍流模型計(jì)算轉(zhuǎn)捩流動(dòng)的能力，為工程應(yīng)用中低雷諾數(shù)流動(dòng)的阻力特性、熱交換特性以及分離特性的評(píng)估提供了直接的幫助，為轉(zhuǎn)捩控制方法的研究提供了快捷的數(shù)值實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。

根據(jù)構(gòu)建模型的思路、方法不同，轉(zhuǎn)捩模型可以分成4種類型：（1）低雷諾數(shù)湍流模型；（2）間歇因子模型；（3）層流脈動(dòng)模型；（4）不穩(wěn)定波模型。下面分別對(duì)這4種轉(zhuǎn)捩模型具體闡述。

1 表征轉(zhuǎn)捩的低雷諾數(shù)湍流模型

帶有轉(zhuǎn)捩描述的低雷諾數(shù)湍流模型出現(xiàn)最早，形式也最簡(jiǎn)單。Wilcox的低雷諾數(shù)k-ω模型［19］就是這類轉(zhuǎn)捩模型的代表。早在1975年，Wilcox就提出，如果合理地利用湍流模型中雷諾應(yīng)力對(duì)上游信息的依賴性，則能夠使湍流模型具備預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩的能力［20］。根據(jù)他對(duì)湍流模型的理解，湍流模型之所以具有計(jì)算湍流的能力，一方面，模型方程的構(gòu)建是從精確的輸運(yùn)方程出發(fā)，對(duì)方程各項(xiàng)加以建模得到；另一方面，模型方程中的封閉系數(shù)是根據(jù)湍流的信息進(jìn)行確定，比如隨時(shí)間衰減的各項(xiàng)同性湍流、具有相似性的壁面邊界層湍流等。

將k-ω模型方程的“產(chǎn)生項(xiàng)”與“耗散項(xiàng)”合并得到“凈產(chǎn)生項(xiàng)”：

Wilcox對(duì)上述方程進(jìn)行了仔細(xì)地分析后發(fā)現(xiàn)［19］，如果Pk＜0，Pω＜0，耗散項(xiàng)大于產(chǎn)生項(xiàng)，湍動(dòng)能和耗散率都維持在很低的水平，流動(dòng)保持“層流”；如果Pk＞0，Pω＜0，湍動(dòng)能開始增長(zhǎng)，而耗散率仍舊維持在較低的水平，流動(dòng)進(jìn)行“轉(zhuǎn)捩”；如果Pk＞0，Pω＞0，湍動(dòng)能和耗散率都維持在較高的水平，流動(dòng)進(jìn)入完全“湍流狀態(tài)”。那么Pk=0與Pω=0所對(duì)應(yīng)的雷諾數(shù)分別是轉(zhuǎn)捩開始和轉(zhuǎn)捩結(jié)束的臨界雷諾數(shù)。由此，根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)得轉(zhuǎn)捩開始和轉(zhuǎn)捩結(jié)束的雷諾數(shù)，對(duì)原本的模型封閉系數(shù)進(jìn)行改造，用湍流雷諾數(shù)構(gòu)造漸近函數(shù)：

其中，ReT=μT／μ是湍流雷諾數(shù)，Rk，Rω，Rβ是常數(shù)。如此改動(dòng)之后，流動(dòng)就能在合適的位置“發(fā)生轉(zhuǎn)捩”。此外，Wilcox還加入了壁面粗糙度、來流湍流度、壓力梯度以及可壓縮性對(duì)轉(zhuǎn)捩的影響。

Patel等人使用Wilcox低雷諾數(shù)k-ω模型的經(jīng)驗(yàn)表明，該模型對(duì)于用粗糙帶進(jìn)行強(qiáng)制轉(zhuǎn)捩的流動(dòng)計(jì)算效果不錯(cuò)，同時(shí)也注意到該模型得出的轉(zhuǎn)捩區(qū)間長(zhǎng)度太短［21］。

為計(jì)算轉(zhuǎn)捩而作低雷諾數(shù)修正的還有Launder＆Sharma的低雷諾數(shù)k-ε模型［22］。他們的做法是用湍流雷諾數(shù)RT修正湍流粘性系數(shù)以及耗散率方程中一個(gè)封閉系數(shù)：

修正之后的模型可以模擬旋轉(zhuǎn)圓盤上的轉(zhuǎn)捩流動(dòng)。

Craft等人［23］的k-ε-A2模型也是對(duì)湍流粘性系數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行了低雷諾數(shù)修正。Craft的模型能夠準(zhǔn)確模擬零壓力梯度平板邊界層的轉(zhuǎn)捩，但是對(duì)于順壓梯度或者逆壓梯度時(shí)轉(zhuǎn)捩的計(jì)算則明顯提前，并且有時(shí)候會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象［24-25］。

根據(jù)Savill的結(jié)論，用湍流雷諾數(shù)來判斷轉(zhuǎn)捩開始的效果還是不錯(cuò)的［26］?？偟膩碚f，表征轉(zhuǎn)捩的低雷諾數(shù)修正已經(jīng)是湍流模型向前邁進(jìn)的一大步。

考慮到低雷諾數(shù)修正的方法與湍流模型本身的性質(zhì)有著非常緊密的聯(lián)系，其轉(zhuǎn)捩計(jì)算結(jié)果可能僅僅是一種數(shù)值現(xiàn)象［27］，也可以理解是Wilcox從數(shù)學(xué)的角度證明對(duì)模型方程系數(shù)的改動(dòng)可以讓其具有準(zhǔn)確計(jì)算轉(zhuǎn)捩的能力。作為模擬轉(zhuǎn)捩的早期成果，這種轉(zhuǎn)捩模型意義重大。

國內(nèi)學(xué)者在低雷諾數(shù)修正模型中做了較多的研究工作，例如徐星仲［28］、錢煒琪［29］、嚴(yán)明［30］、張揚(yáng)［31］等或?qū)u進(jìn)函數(shù)引入不同的湍流模型，或改進(jìn)了漸進(jìn)函數(shù)的表達(dá)式，使得湍流模型獲得了一定程度上準(zhǔn)確預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩位置的能力，提高了湍流模型在計(jì)算流場(chǎng)阻力的準(zhǔn)確性。

肖志祥等人在對(duì)B-L模型和S-A模型進(jìn)行修正的過程中注意到，更復(fù)雜的S-A模型能夠反映流動(dòng)參數(shù)的細(xì)節(jié)變化［32］，這一觀點(diǎn)與近年來轉(zhuǎn)捩模型的發(fā)展一致：對(duì)湍流模型的改進(jìn)不僅僅能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩發(fā)生的位置，而且能夠一定程度上表達(dá)轉(zhuǎn)捩過程中物理量的變化，并且試圖通過準(zhǔn)確計(jì)算這些物理量的變化過程來更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)復(fù)雜流動(dòng)條件下的轉(zhuǎn)捩位置和流動(dòng)特性。

2 表征湍流發(fā)生的間歇因子模型

早期的研究就注意到，轉(zhuǎn)捩總是發(fā)生得很突然，并且轉(zhuǎn)捩位置會(huì)前后移動(dòng)［33］。Emmons［34］提出，轉(zhuǎn)捩現(xiàn)象實(shí)際上是層流邊界層內(nèi)產(chǎn)生具有湍流特性斑點(diǎn)的過程。這些斑點(diǎn)在層流與湍流的界面上組成粗糙的動(dòng)態(tài)鋸齒形狀，具體到每個(gè)位置上的狀態(tài)可以用湍流出現(xiàn)的概率進(jìn)行描述。Emmons關(guān)于“湍流斑”的理論，很快被Schubauer＆Klebanoff的實(shí)驗(yàn)［35］證實(shí)。Dhawan＆Narasimha［36］根據(jù)Emmons的理論，提出用“間歇因子”來定量地描述湍流的產(chǎn)生過程，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果給出了轉(zhuǎn)捩過程中間歇因子的表達(dá)式：

Libby［37-38］根據(jù)湍流場(chǎng)邊界的間歇性特點(diǎn)，借助條件平均方法，用帶有間歇因子的輸運(yùn)方程來計(jì)算湍流，以解決湍流模型計(jì)算湍流區(qū)域與層流區(qū)域之間的過渡問題。此前的計(jì)算都近似認(rèn)為到某一位置后流動(dòng)就陡然從層流變成湍流，由此造成摩擦阻力和邊界層厚度的偏差［39］。Dopazo［40］參照Libby的方法，詳細(xì)推導(dǎo)了經(jīng)過條件平均后流場(chǎng)輸運(yùn)方程的精確表達(dá)式，為湍流邊界標(biāo)量場(chǎng)的計(jì)算奠定基礎(chǔ)。隨后，Chevray＆Tutu［41］通過常規(guī)測(cè)量和條件測(cè)量，對(duì)加熱射流的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并以此為基礎(chǔ)推導(dǎo)了動(dòng)量和能量的帶有間歇因子的條件平均輸運(yùn)方程。

沿用間歇因子概念，Cho＆Chung［42］用雷諾平均方程，在k-ε模型的基礎(chǔ)上，為間歇因子構(gòu)建了輸運(yùn)方程，即k-ε-γ三方程湍流模型，用該湍流模型對(duì)平面射流、圓柱射流、平板尾跡和平面混合層進(jìn)行了計(jì)算。盡管并沒有進(jìn)行邊界層轉(zhuǎn)捩計(jì)算，他們的方法為轉(zhuǎn)捩模型的發(fā)展，尤其是在計(jì)算間歇因子空間分布上提供了寶貴的借鑒。Steelant＆Dick［43］對(duì)Navier-Stokes方程作條件平均，并構(gòu)建了描述邊界層轉(zhuǎn)捩的間歇因子方程，耦合求解，使得轉(zhuǎn)捩區(qū)間間歇因子的流向分布計(jì)算結(jié)果與Dhawan＆Narasimha給出的間歇因子分布相吻合，但并沒有考慮邊界層法向的間歇因子分布。

Suzen＆Huang［44-45］在SST模型上增加了間歇因子的輸運(yùn)方程，將Steelant＆Dick與Cho＆Chung的間歇因子方程綜合，同時(shí)考慮邊界層中流向和法向的間歇因子分布，計(jì)算結(jié)果與Savill［46-47］的T3系列邊界層轉(zhuǎn)捩實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合很好。在此之前沒有模型能夠同時(shí)準(zhǔn)確計(jì)算一系列條件下的轉(zhuǎn)捩位置和轉(zhuǎn)捩區(qū)間的長(zhǎng)度。Suzen＆Huang的間歇因子方程如下：

其中，T0是為了重現(xiàn)Dhawan＆Narasimha實(shí)驗(yàn)結(jié)果而加入的產(chǎn)生項(xiàng)。轉(zhuǎn)捩區(qū)的計(jì)算沿用了Mayle［2］的表達(dá)式：

順壓梯度（Kt＞0）的經(jīng)驗(yàn)公式來自Steelant＆Dick［43］，逆壓梯度（Kt＜0）的經(jīng)驗(yàn)公式來自Gostelow［48］對(duì)6種來流湍流度、多種壓力梯度下的轉(zhuǎn)捩邊界層測(cè)量結(jié)果的擬合。附著流動(dòng)轉(zhuǎn)捩開始位置的計(jì)算沿用Abu-Ghannam＆Shaw［49］的經(jīng)驗(yàn)公式，以此添加來流湍流度與壓力梯度對(duì)于轉(zhuǎn)捩位置的影響：

壓力梯度參數(shù)λθ=（θ2／υ）（dU／ds），

分離流動(dòng)轉(zhuǎn)捩位置的經(jīng)驗(yàn)公式：

可以看到，Suzen＆Huang的模型已經(jīng)相當(dāng)完善，對(duì)于來流湍流度、壓力梯度、分離等主要影響因素的考慮已經(jīng)充分地融入模型中，經(jīng)驗(yàn)公式的加入意味著計(jì)算轉(zhuǎn)捩的準(zhǔn)確性在一定范圍內(nèi)得到有效的保證。當(dāng)然，Suzen＆Huang的間歇因子模型無論是在轉(zhuǎn)捩區(qū)域還是在湍流邊界層的上邊界都能光滑過渡，這也是綜合了前人工作成果才達(dá)到的效果。

受Van Driest［50］經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式的啟發(fā)，Menter［51］建立了依賴經(jīng)驗(yàn)公式的間歇因子轉(zhuǎn)捩模型，提出“當(dāng)?shù)亓俊钡霓D(zhuǎn)捩計(jì)算方法。此前的模型都或多或少地要對(duì)邊界層進(jìn)行積分。盡管當(dāng)時(shí)的模型不算太完善，這種理念卻影響深遠(yuǎn)。Menter＆Langtry［52-53］在SST模型的基礎(chǔ)上附加了間歇因子和動(dòng)量厚度雷諾數(shù)2個(gè)輸運(yùn)方程：

Menter的思路非常清晰：用動(dòng)量厚度雷諾數(shù)來判斷轉(zhuǎn)捩的開始，用間歇因子來描述轉(zhuǎn)捩的過程。動(dòng)量厚度雷諾數(shù)原本需要對(duì)邊界層的速度進(jìn)行積分運(yùn)算才能得到，這里對(duì)其進(jìn)行了抽象，將其當(dāng)做一個(gè)流場(chǎng)的當(dāng)?shù)亓坑幂斶\(yùn)方程進(jìn)行計(jì)算，所以會(huì)看到計(jì)算結(jié)果中在相同流向位置、不同法向高度位置上的動(dòng)量厚度雷諾數(shù)其實(shí)是不一樣的。從方程上來看，空間中某個(gè)位置上的動(dòng)量厚度雷諾數(shù)會(huì)快速增長(zhǎng)，直至達(dá)到當(dāng)?shù)氐呐R界動(dòng)量厚度雷諾數(shù)為止，而邊界層內(nèi)卻沒有相應(yīng)的源項(xiàng)，完全依賴擴(kuò)散進(jìn)入邊界層：

間歇因子的產(chǎn)生項(xiàng)則是用當(dāng)?shù)氐臏u量雷諾數(shù)與計(jì)算出來的動(dòng)量厚度雷諾數(shù)進(jìn)行比較進(jìn)而確定：

該模型方程通過破壞項(xiàng)／再層流化項(xiàng)把層流邊界層中的間歇因子保持近乎為零并且讓模型具有模擬再層流化現(xiàn)象的能力：

為模擬壓氣機(jī)和低壓渦輪中常見的層流分離泡現(xiàn)象，增加了描述分離的間歇因子

與Suzen＆Huang的模型相比，Menter＆Langtry在實(shí)現(xiàn)“當(dāng)?shù)刈兞俊钡挠?jì)算方法中考慮得更加周到。不難發(fā)現(xiàn)，其實(shí)在Menter＆Langtry的四方程轉(zhuǎn)捩模型中，并沒有完全摒棄湍流雷諾數(shù)RT這樣一種簡(jiǎn)單的、多年以前就在使用的轉(zhuǎn)捩判斷依據(jù)。

一方面，使用當(dāng)?shù)亓繉?duì)于工程應(yīng)用的意義非常重大，比如并行計(jì)算、非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格和復(fù)雜流動(dòng)問題，Menter、Langtry［54-56］也是多次強(qiáng)調(diào)；另一方面，基于經(jīng)驗(yàn)公式的構(gòu)建思路優(yōu)勢(shì)非常明顯，不用做太多的修改就可以移植到其它人現(xiàn)有的成熟CFD代碼上、與其它湍流模型進(jìn)行整合、添加其它轉(zhuǎn)捩機(jī)制的經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)入模型。Menter的成果很快得到了業(yè)界的認(rèn)可與學(xué)者們的積極響應(yīng)。該模型為轉(zhuǎn)捩模型的二次開發(fā)者提供了一個(gè)非常優(yōu)秀的平臺(tái)：Medida＆Baeder［57］將方程與航空工程中更常用的S-A相結(jié)合；Watanabe等人［58］和Seyfert等人［59］添加了橫流轉(zhuǎn)捩的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式；Lin等人［60］添加了更適合發(fā)動(dòng)機(jī)吊艙的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式；Dassler［61］為模擬粗糙對(duì)轉(zhuǎn)捩的影響而添加“粗糙放大因子”的輸運(yùn)方程。

Seyfert［62］對(duì)比了間歇因子轉(zhuǎn)捩模型與eN方法預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩的結(jié)果，表明對(duì)于分離導(dǎo)致的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)γ-Reθ模型表現(xiàn)得非常好，但是如果來流湍流度大于0.1%，那么邊界條件的設(shè)置就比較麻煩，而對(duì)eN方法來說，來流湍流度只影響經(jīng)驗(yàn)參數(shù)N。對(duì)于簡(jiǎn)單的流動(dòng)來說模型的計(jì)算更加耗時(shí)，而對(duì)于大型三維計(jì)算來說模型可能會(huì)因使用當(dāng)?shù)刈兞康牟⑿杏?jì)算而更加有效。

國內(nèi)學(xué)者對(duì)間歇因子模型也進(jìn)行了一些研究，例如孫振旭等［63］在渦粘系數(shù)輸運(yùn)方程的基礎(chǔ)上增加了間歇因子方程，他們的方法更接近早期間歇因子模型的理念，即用間歇因子作為層流區(qū)與湍流區(qū)、邊界層與外部流動(dòng)過渡的方式，而沒有引入經(jīng)驗(yàn)相關(guān)公式。張玉倫等［64］對(duì)模型中來流湍流度的表達(dá)式做了改進(jìn)，用一個(gè)以入口湍流度為變量的顯示表達(dá)式取代當(dāng)?shù)刈兞康挠?jì)算獲得自由流動(dòng)中的湍流度，好處是這樣更方便與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相對(duì)照而不至于引起“來流湍流度”概念的模糊，這實(shí)際上是湍流模型本身對(duì)轉(zhuǎn)捩模型運(yùn)算過程的影響。張曉東等［65］比較了基于SA模型和基于SST模型的轉(zhuǎn)捩模型之后同樣注意到了這一點(diǎn)：SA模型對(duì)帶有激波的流場(chǎng)計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性下降。同時(shí)他們也指出更多的方程計(jì)算同樣的流場(chǎng)需要更多的時(shí)間，這個(gè)問題對(duì)于具有3到4個(gè)方程的轉(zhuǎn)捩模型來說尤為突出。

Menter＆Langtry的模型以工程應(yīng)用為出發(fā)點(diǎn)，依靠經(jīng)驗(yàn)公式，力求簡(jiǎn)單、實(shí)用，對(duì)轉(zhuǎn)捩具體機(jī)制則不做深究，是這一類模型的典型代表。

3 表征擾動(dòng)發(fā)展的層流脈動(dòng)模型

用模型方程來計(jì)算擾動(dòng)在層流中發(fā)展的過程進(jìn)而判斷轉(zhuǎn)捩是轉(zhuǎn)捩模型的另一種思路。

Lin［66］對(duì)自由來流擾動(dòng)進(jìn)入邊界層過程進(jìn)行了深刻的理論分析，認(rèn)為層流中的脈動(dòng)主要是通過自由來流中的壓力脈動(dòng)而不是通過擴(kuò)散進(jìn)入邊界層。他用非定常歐拉方程消去邊界層方程中的壓力項(xiàng)，并假設(shè)自由來流擾動(dòng)的頻率滿足ω?υ／δ2的關(guān)系，得到層流脈動(dòng)速度u′的漸近解：

根據(jù)Lin的理論，只有當(dāng)自由來流中的湍流度與流向距離無關(guān)的時(shí)候，層流脈動(dòng)才不會(huì)產(chǎn)生雷諾應(yīng)力［67］。當(dāng)來流湍流度很低的時(shí)候，來流脈動(dòng)在流動(dòng)方向的衰減不太明顯，層流中雷諾應(yīng)力可以忽略不計(jì)，但是當(dāng)來流湍流度較高的時(shí)候，如6%甚至更大，那么雷諾應(yīng)力就不能忽略不計(jì)了。正如Dyban［68］的結(jié)果所展示的那樣，層流邊界層的時(shí)間平均速度型受到了明顯的影響。Volino＆Simon［69-70］在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，如果來流湍流度較高，早在轉(zhuǎn)捩開始以前，邊界層內(nèi)就會(huì)出現(xiàn)明顯的雷諾應(yīng)力。這種現(xiàn)象必然導(dǎo)致層流邊界層的摩擦和熱傳導(dǎo)顯著增強(qiáng)，因此很有必要在數(shù)值模擬中加以考慮。

Mayle［67］提出了新的轉(zhuǎn)捩模型，借用Lin的方法，用非定常歐拉方程消去壓力項(xiàng)，推導(dǎo)出層流動(dòng)能的輸運(yùn)方程：

該方程與常見的湍動(dòng)能方程最大的不同之處在于，“壓力脈動(dòng)項(xiàng)”為層流動(dòng)能方程提供了主要的產(chǎn)生項(xiàng)，對(duì)應(yīng)層流中的脈動(dòng)動(dòng)能與湍流中的脈動(dòng)動(dòng)能不同的產(chǎn)生機(jī)制。這樣，就用一個(gè)模型方程描述了邊界層擾動(dòng)的感受過程和發(fā)展過程。

關(guān)于轉(zhuǎn)捩的判斷依據(jù)，Liepmann［71］提出，當(dāng)邊界層內(nèi)雷諾應(yīng)力與壁面剪切應(yīng)力相等的時(shí)候轉(zhuǎn)捩即開始。Sharma［72］給出該方法的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

Mayle以此為基礎(chǔ)進(jìn)行了調(diào)整，并且測(cè)試了來流湍流度1%這樣一個(gè)介于自然轉(zhuǎn)捩和Bypass轉(zhuǎn)捩之間的算例，結(jié)果表明該模型對(duì)這種條件有相當(dāng)好的適應(yīng)性。

繼Mayle之后，Volino［73］在模型中也考慮了層流中的雷諾應(yīng)力。Volino將動(dòng)量方程的粘性系數(shù)分成了3個(gè)部分：分子粘性、湍流粘性系數(shù)和由自由來流引起的渦粘系數(shù)，即：

并根據(jù)Bradshaw［74］提出的Splat機(jī)制，自由來流中的脈動(dòng)速度v′直接與層流邊界層中的流向脈動(dòng)速度u′相關(guān)，再假設(shè)v′與到壁面距離的尺度相同，進(jìn)而用v′替代混合長(zhǎng)模型中的長(zhǎng)度尺度，即可得到層流中雷諾應(yīng)力對(duì)應(yīng)的旋渦粘性系數(shù)：

Volino的方法極大地改進(jìn)了標(biāo)準(zhǔn)的混合長(zhǎng)模型。由于這種將層流脈動(dòng)與湍流脈動(dòng)產(chǎn)生的渦粘系數(shù)分離的方法比較簡(jiǎn)單而易于操作，所以也可以很方便地用到其它現(xiàn)有的湍流模型上。

同樣是考慮到分裂機(jī)制中脈動(dòng)速度v′的重要意義，Lien等［75］將k-ε-v2模型［76］應(yīng)用到了Bypass轉(zhuǎn)捩的模擬。值得一提的是，該模型沒有使用間歇因子而實(shí)現(xiàn)了從層流到湍流的光滑過渡。使用該模型的計(jì)算結(jié)果表明，在低湍流度下轉(zhuǎn)捩位置的預(yù)測(cè)被提前了，并且低估了u′的峰值，出現(xiàn)這種情況的原因可能是源項(xiàng)f在轉(zhuǎn)捩區(qū)間的能量傳遞需要更進(jìn)一步的調(diào)整［］。

Johnson［77］根據(jù)先前的直接數(shù)值模擬結(jié)果［78］，在構(gòu)建模型的時(shí)候也嘗試模擬自由來流中的脈動(dòng)進(jìn)入邊界層的過程，發(fā)現(xiàn)計(jì)算中當(dāng)來流湍流度較低的時(shí)候，也就是積分長(zhǎng)度尺度與邊界層厚度相近的時(shí)候，轉(zhuǎn)捩的位置、轉(zhuǎn)捩區(qū)長(zhǎng)度與積分長(zhǎng)度尺度有明顯的依賴關(guān)系，而湍流度越高，這種依賴關(guān)系則越不明顯。Jacob［79］的DNS結(jié)果表明，自由來流中只有低頻大尺寸旋渦能夠進(jìn)入邊界層，可能與Johnson的計(jì)算結(jié)果有一定的聯(lián)系。

Walters＆Leylek［80］提出了使用當(dāng)?shù)刈兞颗袛噢D(zhuǎn)捩的kl-kT-ε三方程模型：

該模型沿用了Mayle＆Schultz關(guān)于層流動(dòng)能的概念，將流動(dòng)中的脈動(dòng)動(dòng)能分成了層流動(dòng)能kL和湍流動(dòng)能kT兩個(gè)部分，并提出低頻擾動(dòng)對(duì)應(yīng)的大尺寸旋渦正是在壁面限制下才出現(xiàn)了Splat機(jī)制，當(dāng)遠(yuǎn)離壁面或者旋渦尺寸較小的時(shí)候不出現(xiàn)Splat機(jī)制，進(jìn)而定義有效長(zhǎng)度尺度

根據(jù)有效長(zhǎng)度尺度，將湍動(dòng)能分成了小尺度湍動(dòng)能kT，s和大尺度湍動(dòng)能kT，l，并且對(duì)應(yīng)地將渦粘系數(shù)分成了大尺度粘性系數(shù)和小尺度粘性系數(shù)，再用大、小尺度粘性系數(shù)定義層流動(dòng)能方程和湍流動(dòng)能方程的產(chǎn)生項(xiàng)。脈動(dòng)動(dòng)能的耗散率也被分成了3個(gè)部分

方程中的ε，DT，DL，分別是遠(yuǎn)場(chǎng)耗散、由壁面無滑移條件對(duì)層流脈動(dòng)和湍流脈動(dòng)產(chǎn)生的耗散，在后續(xù)的文章中［81］被稱為各項(xiàng)同性耗散與非各向同性耗散。

在能量的輸運(yùn)項(xiàng)中，使用了3個(gè)當(dāng)?shù)氐睦字Z數(shù)：基于湍動(dòng)能的雷諾數(shù)、基于剪切率的雷諾數(shù)d2S／υ和基于層流動(dòng)能的雷諾數(shù)，當(dāng)這些雷諾數(shù)或者其組合形式超過一個(gè)臨界值：CBP，crit和CNAT，crit，模型就會(huì)激活能量傳遞項(xiàng)，讓層流動(dòng)能轉(zhuǎn)化成湍流動(dòng)能。這樣的判斷方法與先前Menter提出的使用當(dāng)?shù)亓康拈g歇因子模型判斷轉(zhuǎn)捩的方式有類似之處。

Walters的模型［80-81］構(gòu)建之初就試圖表達(dá)完整的轉(zhuǎn)捩過程，尤其是轉(zhuǎn)捩過程中的能量傳遞，很少有人會(huì)對(duì)其進(jìn)行建模。目前沒有看到有文章做更進(jìn)一步的嘗試。

當(dāng)然，Walters等人將關(guān)注的重點(diǎn)放在了Bypass轉(zhuǎn)捩之前的脈動(dòng)變化而沒有進(jìn)一步考慮模型在計(jì)算其它流動(dòng)現(xiàn)象時(shí)的性能，比如分離流動(dòng)。為此，陳燦平等［82］引入分離敏感參數(shù)Cs修正小尺度粘性系數(shù)的表達(dá)式，增大了模型在分離區(qū)的湍流產(chǎn)生能力，進(jìn)而改進(jìn)了其在流動(dòng)分離區(qū)域的計(jì)算準(zhǔn)確性。宋博等［83］用層流動(dòng)能方程對(duì)高超聲速邊界層的轉(zhuǎn)捩進(jìn)行了預(yù)測(cè)，這里的方程形式被假設(shè)與不可壓縮流動(dòng)中一致，但是時(shí)間尺度中增加了Mack第二模態(tài)。結(jié)果表明不可壓縮流動(dòng)的間歇因子經(jīng)驗(yàn)公式并不太適用于可壓縮流動(dòng)。

4 表征不穩(wěn)定性模態(tài)的不穩(wěn)定波模型

穩(wěn)定性理論從波動(dòng)的角度看待擾動(dòng)在邊界層內(nèi)的發(fā)展。eN方法計(jì)算不穩(wěn)定波的增長(zhǎng)率及放大因子N就是穩(wěn)定性理論的直接應(yīng)用［84］。穩(wěn)定性理論以數(shù)學(xué)中特征值理論為出發(fā)點(diǎn)，經(jīng)過了大量的研究，并且通過eN方法在實(shí)踐中有不少的應(yīng)用。由于這類計(jì)算對(duì)條件有很苛刻的要求，復(fù)雜流場(chǎng)的適應(yīng)性不好。對(duì)于復(fù)雜的轉(zhuǎn)捩機(jī)制，如高超聲速邊界層的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)，從Su＆Zhou［85］的研究結(jié)果來看，需要對(duì)傳統(tǒng)的eN方法進(jìn)行明顯的人為調(diào)整才能得到與實(shí)驗(yàn)相符的結(jié)果，所以這種方法本身對(duì)于工程應(yīng)用來說就具有一定的難度，還有待進(jìn)一步發(fā)展和完善。

如果能在轉(zhuǎn)捩模型中使用穩(wěn)定性理論的成果，則能夠彌補(bǔ)eN方法在實(shí)踐中的諸多不足之處。

Wilcox曾指出，k-ω模型中，單位湍動(dòng)能耗散率的倒數(shù)實(shí)際上就是一種時(shí)間尺度，意味著ω可以表示某一種波動(dòng)的頻率。根據(jù)這種理解，Young［86］提出用不穩(wěn)定波的長(zhǎng)度尺度或頻率來構(gòu)造層流邊界層中的渦粘系數(shù)：

在Young的模型中，使用Mitcheltree［87］的一方程湍流模型計(jì)算脈動(dòng)動(dòng)能，而使用Walker［88］的經(jīng)驗(yàn)公式來計(jì)算最不穩(wěn)定TS波的頻率：

Warren＆Hassan［89-91］沿用了Young表達(dá)不穩(wěn)定波的方法，在Robinson等人［92］的k-ζ模型的基礎(chǔ)上，分別對(duì)由TS波與橫流波主導(dǎo)的轉(zhuǎn)捩流動(dòng)進(jìn)行了建模。Warren＆Hassan認(rèn)為k-ζ模型在模擬湍動(dòng)能（k）方程與渦擬能（ζ）方程的過程中并沒有刻意強(qiáng)調(diào)流動(dòng)究竟是層流、湍流還是轉(zhuǎn)捩流動(dòng)，所以模型方程不需要改動(dòng)而可以直接用于轉(zhuǎn)捩流動(dòng)的計(jì)算，僅僅需要修改渦粘系數(shù)中的時(shí)間尺度即可：

TS波［89］：

橫流波［90］：

Nance［93］在該模型中加入了Mack第二模態(tài)時(shí)間尺度用以計(jì)算高速流動(dòng)的轉(zhuǎn)捩：

Mack第二模態(tài)：

并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證［94］。Edwards等人［95-96］將不穩(wěn)定波的時(shí)間尺度加入到層流脈動(dòng)動(dòng)能的輸運(yùn)方程中，形成了渦粘系數(shù)的一方程轉(zhuǎn)捩模型，并用Dhawan＆Narasimha的間歇因子函數(shù)與S-A模型作過渡。Song＆Lee［97］在他們之前工作的基礎(chǔ)上，將Farve平均層流動(dòng)能方程模型化，加入Nance的可壓縮模態(tài)時(shí)間尺度用以封閉模型，同時(shí)模擬了可壓縮流動(dòng)中特有的壓力功項(xiàng)、壓力擴(kuò)張項(xiàng)，結(jié)果表明該模型在計(jì)算高超聲速的邊界層轉(zhuǎn)捩流動(dòng)具有不錯(cuò)的效果。

對(duì)于轉(zhuǎn)捩開始的判斷，Warren＆Hassan的模型及其擴(kuò)展形式均使用湍流雷諾數(shù)RT（認(rèn)為當(dāng)RT≥1的時(shí)候轉(zhuǎn)捩發(fā)生），很容易讓人聯(lián)想到Wilcox用湍流雷諾數(shù)RT構(gòu)造漸近函數(shù)的k-ω轉(zhuǎn)捩模型。有文章發(fā)現(xiàn)這種判斷方法對(duì)幾何外形具有一定的依賴性［］。

Wang＆Fu［98-102］根據(jù)Rumsey［103］的建議（沒有必要將層流脈動(dòng)和湍流脈動(dòng)區(qū)分并作2個(gè)輸運(yùn)方程來計(jì)算），將SST模型中的k作為層流脈動(dòng)動(dòng)能與湍流脈動(dòng)動(dòng)能之和，并增加了完全使用當(dāng)?shù)刈兞康拈g歇因子輸運(yùn)方程：

用不穩(wěn)定波的時(shí)間尺度加入到渦粘系數(shù)的表達(dá)式中以模擬不穩(wěn)定波的發(fā)展過程，同時(shí)不失為一種模塊化地改造轉(zhuǎn)捩模型以適應(yīng)不同轉(zhuǎn)捩機(jī)制的形式：

第一模態(tài)

第二模態(tài)

橫流模態(tài)

轉(zhuǎn)捩長(zhǎng)度尺度

不穩(wěn)定波時(shí)間尺度的構(gòu)造使用流場(chǎng)中的“當(dāng)?shù)刈兞俊保ㄏ啾戎耊arren＆Hassan使用的是邊界層的厚度和位移厚度），免除了邊界層積分量的計(jì)算，便于在非結(jié)構(gòu)復(fù)雜網(wǎng)格上進(jìn)行計(jì)算。轉(zhuǎn)捩起始的判斷用了形式比較復(fù)雜的參數(shù)，并以漸近函數(shù)的形式出現(xiàn)在間歇因子方程的產(chǎn)生項(xiàng)中，讓輸運(yùn)方程在迭代中自動(dòng)完成間歇因子的增長(zhǎng)。

Wang＆Fu模型的構(gòu)建思路用到了多年以來轉(zhuǎn)捩模型研究諸多的重要成果，無論是方程的組成形式還是其計(jì)算轉(zhuǎn)捩的效果來看都達(dá)到了比較完善的程度，應(yīng)該具有不錯(cuò)的實(shí)用性。Tu等人［104］對(duì)Wang＆Fu的模型做了一點(diǎn)改進(jìn)，用剪切變形率S替換了能量的梯度▽｜Eu｜以減小存儲(chǔ)需求。嘗試計(jì)算的結(jié)果表明，該模型對(duì)從低速到超聲速流動(dòng)轉(zhuǎn)捩都能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)。同時(shí)Tu指出計(jì)算發(fā)現(xiàn)間歇因子γ收斂速度較慢，原因可能在于該模型中間歇因子的增長(zhǎng)受到間歇因子方程和當(dāng)?shù)刈兞縦的反饋限制。

到目前為止，穩(wěn)定性理論成果的應(yīng)用還比較淺顯，畢竟2種方法區(qū)別較大，統(tǒng)一起來存在難度。

5 討 論

前面回顧了4個(gè)種類的轉(zhuǎn)捩模型：只進(jìn)行簡(jiǎn)單修正的低雷諾數(shù)湍流模型、根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式判斷轉(zhuǎn)捩的間歇因子模型、考慮感受性機(jī)制的層流脈動(dòng)模型、借助穩(wěn)定性理論的不穩(wěn)定波模型。不難發(fā)現(xiàn)，無論是模型方程的構(gòu)造方法，還是轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)的實(shí)際效果，轉(zhuǎn)捩模型已經(jīng)發(fā)展進(jìn)入到比較成熟的階段。那么，現(xiàn)有轉(zhuǎn)捩模型仍存在那些不足？是否還有進(jìn)一步發(fā)展的空間？多年的發(fā)展給我們留下了哪些寶貴的經(jīng)驗(yàn)？還需要做進(jìn)一步的探討。

首先，我們清楚地看到轉(zhuǎn)捩模型的發(fā)展建立在轉(zhuǎn)捩研究的基礎(chǔ)上，而物理機(jī)制和經(jīng)驗(yàn)公式是轉(zhuǎn)捩研究的主要成果。物理機(jī)制的研究主要是探討轉(zhuǎn)捩過程中流場(chǎng)的詳細(xì)變化及其原因；經(jīng)驗(yàn)公式的建立則是通過分析大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用數(shù)學(xué)表達(dá)式將轉(zhuǎn)捩起始位置、轉(zhuǎn)捩區(qū)長(zhǎng)度等工程中關(guān)心的信息與流場(chǎng)條件聯(lián)系起來。前者復(fù)雜而嚴(yán)謹(jǐn)、后者明確而直觀。在轉(zhuǎn)捩模型中如何取舍這2類研究成果，是在轉(zhuǎn)捩模型構(gòu)造之初就必須思考的問題。

若要用模型方程表達(dá)物理過程，無外乎出于以下幾點(diǎn)考慮：

（1）借助對(duì)轉(zhuǎn)捩的物理過程進(jìn)行細(xì)致的描述，更加準(zhǔn)確地計(jì)算轉(zhuǎn)捩過程中出現(xiàn)的多種流動(dòng)特性；

（2）參考湍流模型的構(gòu)造經(jīng)驗(yàn)，如果轉(zhuǎn)捩模型方程能夠接近流動(dòng)的本質(zhì)，那么也許可以改進(jìn)模型對(duì)于復(fù)雜流動(dòng)中轉(zhuǎn)捩計(jì)算的準(zhǔn)確性；

（3）弱化對(duì)經(jīng)驗(yàn)公式的依賴，對(duì)轉(zhuǎn)捩的判斷更合理、更有說服力；

（4）隨著轉(zhuǎn)捩過程物理機(jī)制的深入研究，對(duì)物理過程建立模型可能要比做大量實(shí)驗(yàn)以獲取經(jīng)驗(yàn)公式更快捷；

（5）學(xué)術(shù)上的追求，大量使用經(jīng)驗(yàn)公式這種以“簡(jiǎn)單方法解決復(fù)雜問題”為指導(dǎo)思想的工程型方法總看起來不夠“完美”。

然而用模型表示轉(zhuǎn)捩的物理過程并不簡(jiǎn)單。完整的轉(zhuǎn)捩過程包括感受、發(fā)展和破碎3個(gè)階段，其中發(fā)展階段相對(duì)簡(jiǎn)單，感受和破碎2個(gè)階段更加復(fù)雜，也是現(xiàn)今轉(zhuǎn)捩物理機(jī)制研究的重點(diǎn)。

自由來流中的旋渦擾動(dòng)進(jìn)入邊界層的感受過程被Bradshaw［74］稱為Splat機(jī)制，簡(jiǎn)單地說就是在壁面的作用下自由來流中的法向脈動(dòng)進(jìn)入邊界層之后變成了流向脈動(dòng)，進(jìn)而出現(xiàn)“層流脈動(dòng)動(dòng)能”。Jacobs＆Durbin［79］發(fā)現(xiàn)只有相對(duì)較大尺度的脈動(dòng)才會(huì)進(jìn)入邊界層，于是Walters＆Leylek［80］在其kl-kT-ε模型中，用有效長(zhǎng)度尺度分離出這種“長(zhǎng)度尺度相對(duì)較大的湍流脈動(dòng)”，并以“大尺度粘性系數(shù)”的形式出現(xiàn)在“層流脈動(dòng)動(dòng)能”的產(chǎn)生項(xiàng)中。如果將Splat機(jī)制中壁面對(duì)脈動(dòng)的“redirection”作用理解成剪切的結(jié)果，那么這種建模非常合理，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的吻合也很好。當(dāng)然，這里有個(gè)默認(rèn)的假設(shè)：層流中出現(xiàn)雷諾應(yīng)力是層流中大尺度湍流脈動(dòng)的結(jié)果。這樣的說法看起來比較矛盾，因?yàn)閃alters＆Leylek的“層流脈動(dòng)動(dòng)能”實(shí)際上表示的是一種特定的非各項(xiàng)同性脈動(dòng)的能量，而“湍流脈動(dòng)動(dòng)能”則表示的是另一種非各項(xiàng)同性脈動(dòng)與各項(xiàng)同性脈動(dòng)之和的能量。這一點(diǎn)可以從文章中將耗散率拆分成3項(xiàng)看出。反觀Boussinesq渦粘系數(shù)的概念，與流動(dòng)方向垂直的脈動(dòng)帶來的動(dòng)量交換才會(huì)產(chǎn)生旋渦粘性，所以Walters＆Leylek的處理也是合情合理。

對(duì)于高超聲速邊界層來說，在前緣附近，快、慢速聲波與F模態(tài)、S模態(tài)不穩(wěn)定波的時(shí)間尺度和長(zhǎng)度尺度基本一致，所以并不需要復(fù)雜的尺度轉(zhuǎn)換機(jī)制即可進(jìn)入邊界層，但是聲波在飛行器前緣附近可能發(fā)生散射、衍射等聲學(xué)現(xiàn)象，從而影響前緣對(duì)聲波擾動(dòng)的感受性［6］，這一點(diǎn)似乎還沒有在轉(zhuǎn)捩模型的研究中有所體現(xiàn)。另外F模態(tài)對(duì)有旋擾動(dòng)的感受性取決于沿程雷諾數(shù)的現(xiàn)象以及F模態(tài)與S模態(tài)相互作用而誘發(fā)Mack第二模態(tài)的過程也沒有被考慮到轉(zhuǎn)捩模型中。所以目前對(duì)高超聲速轉(zhuǎn)捩模型來說，采用Warran＆Hassan的方法，將Mack第二模態(tài)簡(jiǎn)化成一個(gè)不穩(wěn)定波的時(shí)間尺度帶入層流粘性系數(shù)進(jìn)行運(yùn)算不失為一個(gè)不錯(cuò)的選擇，這也正是McDaniel等［94］、Song＆Lee［97］、Wang＆Fu［98］所采用的方法。另一個(gè)問題是從雷諾平均方程到Favra平均方程所帶來的變化。為了能準(zhǔn)確計(jì)算Ma＞5的層流動(dòng)能方程，Song＆Lee［97］增加了顯式的可壓縮效應(yīng)相關(guān)項(xiàng)，并參照對(duì)于可壓縮湍流的研究結(jié)果對(duì)其進(jìn)行了建模，計(jì)算結(jié)果表明這樣做確實(shí)改進(jìn)了對(duì)轉(zhuǎn)捩位置預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。

關(guān)于轉(zhuǎn)捩的破碎階段，Walters＆Leylek根據(jù)Andersson的觀察結(jié)果，用湍動(dòng)能、有效長(zhǎng)度尺度和分子粘性組成一個(gè)當(dāng)?shù)刈兞縼磉M(jìn)行判斷。Walters＆Leylek在文章中坦言，到目前為止，破碎開始的機(jī)制并沒有研究清楚，于是只能通過流場(chǎng)中一些具有代表性的無量綱參數(shù)構(gòu)造漸近函數(shù)。此前，Mayle的層流動(dòng)能模型也出現(xiàn)類似的情況。這其實(shí)相當(dāng)于將這些無量綱參數(shù)與破碎現(xiàn)象建立了某種經(jīng)驗(yàn)公式。這種經(jīng)驗(yàn)公式肯定在模型的計(jì)算中有不錯(cuò)的效果，但是并不一定與實(shí)際中的數(shù)據(jù)相符合，有可能僅僅是作為一種數(shù)學(xué)手段而被創(chuàng)造出來。這其實(shí)就與Wilcox的低雷諾數(shù)修正沒有本質(zhì)的區(qū)別，只是總體上來說，低雷諾數(shù)修正忽略的因素太多而已。

所以，在目前對(duì)轉(zhuǎn)捩認(rèn)識(shí)水平的基礎(chǔ)上，想要用模型來模擬完整的物理機(jī)制基本上還是不可能的，還必須要或多或少地依賴經(jīng)驗(yàn)公式，甚至需要用到純粹為數(shù)值計(jì)算而構(gòu)造出來的關(guān)系式。

依賴經(jīng)驗(yàn)公式，肯定能解決不少工程問題，但是也有不足之處。

很多情況下，只需要知道轉(zhuǎn)捩開始的位置，然后做出合理的過度，最后完全使用湍流模型就可以了，這也是基于經(jīng)驗(yàn)公式的轉(zhuǎn)捩模型的一貫做法。有時(shí)候，也還需要考慮其它的因素，比如轉(zhuǎn)捩之前的雷諾應(yīng)。其實(shí)借助經(jīng)驗(yàn)公式也可以做到，不穩(wěn)定波模型［89-91，98-102］本質(zhì)上就是這樣的例子，只是用穩(wěn)定性理論幫助建立經(jīng)驗(yàn)公式而已。

用經(jīng)驗(yàn)公式判斷轉(zhuǎn)捩，思路上簡(jiǎn)單明確，但是在程序中操作起來不是那么簡(jiǎn)單，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)公式（如Abu-Ghannam＆Shaw［49］的成果）多數(shù)要用到邊界層的宏觀量，如動(dòng)量厚度這樣的積分量。Menter＆Langtry基于“當(dāng)?shù)刈兞俊钡哪Ｐ停?1-53］革新了經(jīng)驗(yàn)公式的使用模式，幾乎徹底解決了這個(gè)困難，并且以模塊化的思路設(shè)計(jì)了轉(zhuǎn)捩模型。于是，如前面所述，各種新近總結(jié)出來的經(jīng)驗(yàn)公式立刻被加入到了轉(zhuǎn)捩模型中。

但是當(dāng)?shù)刈兞恳矔?huì)帶來一些新的問題?；诋?dāng)?shù)鼗目紤]，Menter＆Langtry用當(dāng)?shù)赝膭?dòng)能和當(dāng)?shù)厮俣扔?jì)算湍流度，而不是自由來流的湍流度，與通常的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式有顯著的不同，于是不能使用現(xiàn)有的經(jīng)驗(yàn)結(jié)果、需要重新建立。另外，正因?yàn)楫?dāng)?shù)厮俣鹊氖褂?，?dǎo)致該模型不具有伽利略變換不變性，即臨界動(dòng)量厚度的計(jì)算結(jié)果隨參考系選取的不同而發(fā)生變化。盡管這個(gè)缺陷對(duì)于通常的計(jì)算情況，即所有壁面都位置固定并與參考系固連時(shí)不會(huì)有任何影響，但是若有移動(dòng)壁面的情況則會(huì)出現(xiàn)問題［7］。

另外，轉(zhuǎn)捩模型的一項(xiàng)重要任務(wù)是評(píng)估轉(zhuǎn)捩控制方法在工程中的應(yīng)用效果。常見的層流控制手段，比如吸氣控制，對(duì)于二維平板邊界層來說，改變時(shí)間平均速度型而改變擾動(dòng)的增長(zhǎng)率，進(jìn)而抑制擾動(dòng)增長(zhǎng)、延遲或消除轉(zhuǎn)捩；對(duì)于三維平板邊界層而言，均勻排布的孔型吸氣導(dǎo)致邊界層內(nèi)出現(xiàn)整齊的橫流渦，這些橫流渦的間距決定了流場(chǎng)對(duì)邊界層二次不穩(wěn)定性的抑制情況，進(jìn)而提前或延遲轉(zhuǎn)捩［105-106］。用傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)公式模擬前者比較容易，但是模擬后者的效果恐怕就不那么理想了，因?yàn)槲⒂^的物理機(jī)制產(chǎn)生了決定性的影響。至于新型的控制方法，如放置在機(jī)翼前緣的粗糙單元控制［107-109］、柔性壁控制［110-111］等等，同樣都涉及到更深入的物理機(jī)制，單憑經(jīng)驗(yàn)公式應(yīng)該是不夠的，或者說還需要構(gòu)建新的經(jīng)驗(yàn)公式用于幫助解決轉(zhuǎn)捩模型中遇到的問題。

事實(shí)上，即使用穩(wěn)定性理論預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩也不能回避經(jīng)驗(yàn)公式的使用，比如eN方法。近年來，穩(wěn)定性理論的一些高級(jí)方法，比如非線性穩(wěn)定方程（NPSE）被大量地使用來研究轉(zhuǎn)捩破碎的機(jī)制，例如二次不穩(wěn)定性的研究［112-113］。如果考慮二次不穩(wěn)定性，并借用這些方法的結(jié)果來做經(jīng)驗(yàn)公式，用于判斷破碎的開始可能會(huì)更合理、準(zhǔn)確，Malik［112］就認(rèn)為用二次不穩(wěn)定性作經(jīng)驗(yàn)公式比只考慮主模態(tài)更可靠。目前，對(duì)三維邊界層轉(zhuǎn)捩中二次不穩(wěn)定性的產(chǎn)生已經(jīng)有一些研究結(jié)果，不過具體如何進(jìn)行是值得研究的問題。

6 結(jié) 論

將轉(zhuǎn)捩模型分成了4種類型，分別回顧了的其發(fā)展背景和構(gòu)建思路，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了討論。經(jīng)過多年的發(fā)展，轉(zhuǎn)捩模型的準(zhǔn)確性和實(shí)用性已經(jīng)明顯提高，普遍具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

（1）借助經(jīng)驗(yàn)公式全面考慮環(huán)境對(duì)轉(zhuǎn)捩的影響因素；

（2）一定程度上體現(xiàn)轉(zhuǎn)捩的物理機(jī)制；

（3）附加方程以計(jì)算額外的轉(zhuǎn)捩相關(guān)變量；

（4）使用“當(dāng)?shù)刈兞俊边M(jìn)行計(jì)算；

（5）模塊化設(shè)計(jì)、可移植性好。

轉(zhuǎn)捩模型的發(fā)展當(dāng)然首先應(yīng)該考慮工程中的實(shí)際需求。限于對(duì)轉(zhuǎn)捩機(jī)制認(rèn)識(shí)的不足，目前的轉(zhuǎn)捩模型仍舊不能完整地表達(dá)轉(zhuǎn)捩的物理機(jī)制，進(jìn)而對(duì)于涉及到這些機(jī)制的層流控制方法不能有效地模擬，所以轉(zhuǎn)捩模型的發(fā)展應(yīng)與轉(zhuǎn)捩機(jī)制的研究同步進(jìn)行。常用的經(jīng)驗(yàn)公式都是多年以前給出的結(jié)果，與目前轉(zhuǎn)捩模型發(fā)展的需求已經(jīng)不太適應(yīng)，需要以新的思路來研究轉(zhuǎn)捩過程的參數(shù)變化。最后，轉(zhuǎn)捩模型的發(fā)展還應(yīng)該以更簡(jiǎn)潔、更可靠、更通用為目標(biāo)，并且兼顧考慮降低對(duì)于邊界層網(wǎng)格的依賴性、減少計(jì)算量、提高收斂速度等方面的問題，從而更好地體現(xiàn)在工程中的價(jià)值。

國內(nèi)對(duì)轉(zhuǎn)捩模型研究的起步較晚，不過也達(dá)到了較高的水平。隨著我國工業(yè)水平的逐漸提高，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)復(fù)雜流動(dòng)中轉(zhuǎn)捩位置的計(jì)算模型勢(shì)必會(huì)為高水平的工程設(shè)計(jì)提供有力的幫助。

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Review of transition prediction methods

Zhang Wen，Liu Peiqing，Guo Hao，Qu Qiulin
（Beihang University，Beijing 100191，China）

Laminar-turbulent transition can greatly affect the characteristics of boundary layer flow like skin friction and heat transfer.Predicting transition accurately is of great importance in engineering design.The prediction of transition using transition models which develop quickly during past years is very appropriate in engineering applications.Transition models are divided into four types and each type is reviewed in detail respectively.Conclusions are made based on analysis and discussion about the achievements as well as the drawbacks of transition models nowadays，and some suggestions are proposed for transition research and modeling in the future.

laminar-turbulent transition；transition modeling；engineering computation；low Reynolds number；intermittency；laminar fluctuation；instability wave

O357.5

：A

1672-9897（2014）06-0001-13doi：10.11729／syltlx20140030

（編輯：李金勇）

2014-03-10；

：2014-06-04

劉沛清，E-mail：lpq＠buaa.edu.cn

ZhangW，LluPQ，GuoH，etal.Reviewoftransitionpredictionmethods.JournalofExperimentsinFluidMechanics，2014，28（6）：

1-12，38.張 雯，劉沛清，郭 昊，等.湍流轉(zhuǎn)捩工程預(yù)報(bào)方法研究進(jìn)展綜述.實(shí)驗(yàn)流體力學(xué)，2014，28（6）：1-12，38.

張 雯（1989-），安徽合肥人，博士研究生。研究方向：邊界層轉(zhuǎn)捩。通訊地址：北京航空航天大學(xué)流體力學(xué)研究所（100191）。E-mail：zhangwen＠ase.buaa.edu.cn