特殊四邊形與反比例函數(shù)的應(yīng)用

秦萍++王鋒+++

以特殊四邊形與反比例函數(shù)的圖像為載體設(shè)計的數(shù)學(xué)問題，溝通了反比例函數(shù)與幾何圖形的性質(zhì)之間的密切關(guān)系，這類問題的設(shè)計突出表現(xiàn)在如下三個方面.

一、利用特殊四邊形的性質(zhì)找到在反比例函數(shù)圖像上的頂點坐標確定反比例函數(shù)的解析式

例1.如圖1，菱形的頂點在軸上，頂點C的坐標為（-3，2）．若反比例函數(shù)y=■（x＞0）的圖像經(jīng)過點A，則K的值為（）

A.-6. B.-3.C.3.D.6.

解析：如圖1，因為菱形的兩條對角線互相垂直平分，又在軸上，所以頂點C、A關(guān)于軸對稱，已知C的坐標為（-3，2），所以A的坐標為（3，2）.

反比例函數(shù)y=■（x＞0）的圖像經(jīng)過點A，則K=3×2=6，故選D.

二、根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義探究特殊四邊形的面積

例2.如圖2，點A是反比例函數(shù)y=-■（x＜0）的圖像上的一點，過點A作□ABCD，使點B、C在x軸上，點D在y軸上，則□ABCD的面積為（）

A.1B.3

C.6D.12

分析：過點A作AE⊥OB于點E，容易證明△ABE≌△DCO.

所以平行四邊形ABCD的面積等于矩形ADOE的面積等于AD×AE.

根據(jù)反比例函數(shù)的k的幾何意義可得：矩形ADOE的面積為6，即可得平行四邊形ABCD的面積為6．故選C．

例3.如圖3，點A是反比例函數(shù)y=■(x＞0)的圖像上任意一點，AB∥x軸交反比例函數(shù)y=－■ 的圖像于點B.以AB為邊作□ABCD，其中C、D在x軸上，則S□ABCD為()

A．2 B．3

C．4 D．5

分析：分別過點B、A作BE⊥CD于E，AF⊥CD于F，因為AB∥x軸，所以BE=AF.四邊形ABCD為平行四邊形，所以BC=AD，所以△BCE≌△AFD(HL).所以SABCD=SABEF=SBGOE+SAGOF=2+|-3|=5，故選D.

評注：例2、3都考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：反比例函數(shù)圖像上的點向兩坐標軸作垂線段，圍成矩形的面積就是｜k｜,圖像在一、三象限，k取正；在二、四象限，k取負.

三、以點的坐標為載體設(shè)計規(guī)律探究問題

例4.給出下列命題：

命題1：直線y=x與雙曲線有一個交點是（1，1）；

命題2：直線y=8x與雙曲線y=■有一個交點是（■，4）；

命題3：直線y=27x與雙曲線y=■有一個交點是（■，9）；

命題4：直線y=64x與雙曲線y=■有一個交點是（■，16）；

……

（1）請你閱讀、觀察上面命題，猜想出命題n（n為正整數(shù)）；

（2）請驗證你猜想的命題n是真命題．

解析：觀察命題1~4的結(jié)構(gòu)特征可以發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)的比例系數(shù)與命題的序號是相同的，直線解析式中一次項的系數(shù)是命題的序號的立方數(shù)，交點的橫坐標是命題相應(yīng)序號的倒數(shù)，縱坐標是命題相應(yīng)序號數(shù)的平方數(shù). 據(jù)此可以猜想出（1）命題n：直線y=n3x與雙曲線y=■有一個交點是（■，n2）.

（2）將（■，n2）代入直線y=n3x得：右邊n3×■=n2，左邊為n2，所以左邊等于右邊，所以點(■，n2)在直線y=n3x上，同理可證：點（■，n2）在雙曲線y=■上.

∴直線y=n3x與雙曲線y=■有一個交點是（■，n2）.

（作者單位：江蘇省豐縣單樓中學(xué)）

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以特殊四邊形與反比例函數(shù)的圖像為載體設(shè)計的數(shù)學(xué)問題，溝通了反比例函數(shù)與幾何圖形的性質(zhì)之間的密切關(guān)系，這類問題的設(shè)計突出表現(xiàn)在如下三個方面.

一、利用特殊四邊形的性質(zhì)找到在反比例函數(shù)圖像上的頂點坐標確定反比例函數(shù)的解析式

例1.如圖1，菱形的頂點在軸上，頂點C的坐標為（-3，2）．若反比例函數(shù)y=■（x＞0）的圖像經(jīng)過點A，則K的值為（）

A.-6. B.-3.C.3.D.6.

解析：如圖1，因為菱形的兩條對角線互相垂直平分，又在軸上，所以頂點C、A關(guān)于軸對稱，已知C的坐標為（-3，2），所以A的坐標為（3，2）.

反比例函數(shù)y=■（x＞0）的圖像經(jīng)過點A，則K=3×2=6，故選D.

二、根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義探究特殊四邊形的面積

例2.如圖2，點A是反比例函數(shù)y=-■（x＜0）的圖像上的一點，過點A作□ABCD，使點B、C在x軸上，點D在y軸上，則□ABCD的面積為（）

A.1B.3

C.6D.12

分析：過點A作AE⊥OB于點E，容易證明△ABE≌△DCO.

所以平行四邊形ABCD的面積等于矩形ADOE的面積等于AD×AE.

根據(jù)反比例函數(shù)的k的幾何意義可得：矩形ADOE的面積為6，即可得平行四邊形ABCD的面積為6．故選C．

例3.如圖3，點A是反比例函數(shù)y=■(x＞0)的圖像上任意一點，AB∥x軸交反比例函數(shù)y=－■ 的圖像于點B.以AB為邊作□ABCD，其中C、D在x軸上，則S□ABCD為()

A．2 B．3

C．4 D．5

分析：分別過點B、A作BE⊥CD于E，AF⊥CD于F，因為AB∥x軸，所以BE=AF.四邊形ABCD為平行四邊形，所以BC=AD，所以△BCE≌△AFD(HL).所以SABCD=SABEF=SBGOE+SAGOF=2+|-3|=5，故選D.

評注：例2、3都考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：反比例函數(shù)圖像上的點向兩坐標軸作垂線段，圍成矩形的面積就是｜k｜,圖像在一、三象限，k取正；在二、四象限，k取負.

三、以點的坐標為載體設(shè)計規(guī)律探究問題

例4.給出下列命題：

命題1：直線y=x與雙曲線有一個交點是（1，1）；

命題2：直線y=8x與雙曲線y=■有一個交點是（■，4）；

命題3：直線y=27x與雙曲線y=■有一個交點是（■，9）；

命題4：直線y=64x與雙曲線y=■有一個交點是（■，16）；

……

（1）請你閱讀、觀察上面命題，猜想出命題n（n為正整數(shù)）；

（2）請驗證你猜想的命題n是真命題．

解析：觀察命題1~4的結(jié)構(gòu)特征可以發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)的比例系數(shù)與命題的序號是相同的，直線解析式中一次項的系數(shù)是命題的序號的立方數(shù)，交點的橫坐標是命題相應(yīng)序號的倒數(shù)，縱坐標是命題相應(yīng)序號數(shù)的平方數(shù). 據(jù)此可以猜想出（1）命題n：直線y=n3x與雙曲線y=■有一個交點是（■，n2）.

（2）將（■，n2）代入直線y=n3x得：右邊n3×■=n2，左邊為n2，所以左邊等于右邊，所以點(■，n2)在直線y=n3x上，同理可證：點（■，n2）在雙曲線y=■上.

∴直線y=n3x與雙曲線y=■有一個交點是（■，n2）.

（作者單位：江蘇省豐縣單樓中學(xué)）

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一、利用特殊四邊形的性質(zhì)找到在反比例函數(shù)圖像上的頂點坐標確定反比例函數(shù)的解析式

例1.如圖1，菱形的頂點在軸上，頂點C的坐標為（-3，2）．若反比例函數(shù)y=■（x＞0）的圖像經(jīng)過點A，則K的值為（）

A.-6. B.-3.C.3.D.6.

解析：如圖1，因為菱形的兩條對角線互相垂直平分，又在軸上，所以頂點C、A關(guān)于軸對稱，已知C的坐標為（-3，2），所以A的坐標為（3，2）.

反比例函數(shù)y=■（x＞0）的圖像經(jīng)過點A，則K=3×2=6，故選D.

二、根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義探究特殊四邊形的面積

例2.如圖2，點A是反比例函數(shù)y=-■（x＜0）的圖像上的一點，過點A作□ABCD，使點B、C在x軸上，點D在y軸上，則□ABCD的面積為（）

A.1B.3

C.6D.12

分析：過點A作AE⊥OB于點E，容易證明△ABE≌△DCO.

所以平行四邊形ABCD的面積等于矩形ADOE的面積等于AD×AE.

根據(jù)反比例函數(shù)的k的幾何意義可得：矩形ADOE的面積為6，即可得平行四邊形ABCD的面積為6．故選C．

例3.如圖3，點A是反比例函數(shù)y=■(x＞0)的圖像上任意一點，AB∥x軸交反比例函數(shù)y=－■ 的圖像于點B.以AB為邊作□ABCD，其中C、D在x軸上，則S□ABCD為()

A．2 B．3

C．4 D．5

分析：分別過點B、A作BE⊥CD于E，AF⊥CD于F，因為AB∥x軸，所以BE=AF.四邊形ABCD為平行四邊形，所以BC=AD，所以△BCE≌△AFD(HL).所以SABCD=SABEF=SBGOE+SAGOF=2+|-3|=5，故選D.

評注：例2、3都考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：反比例函數(shù)圖像上的點向兩坐標軸作垂線段，圍成矩形的面積就是｜k｜,圖像在一、三象限，k取正；在二、四象限，k取負.

三、以點的坐標為載體設(shè)計規(guī)律探究問題

例4.給出下列命題：

命題1：直線y=x與雙曲線有一個交點是（1，1）；

命題2：直線y=8x與雙曲線y=■有一個交點是（■，4）；

命題3：直線y=27x與雙曲線y=■有一個交點是（■，9）；

命題4：直線y=64x與雙曲線y=■有一個交點是（■，16）；

……

（1）請你閱讀、觀察上面命題，猜想出命題n（n為正整數(shù)）；

（2）請驗證你猜想的命題n是真命題．

解析：觀察命題1~4的結(jié)構(gòu)特征可以發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)的比例系數(shù)與命題的序號是相同的，直線解析式中一次項的系數(shù)是命題的序號的立方數(shù)，交點的橫坐標是命題相應(yīng)序號的倒數(shù)，縱坐標是命題相應(yīng)序號數(shù)的平方數(shù). 據(jù)此可以猜想出（1）命題n：直線y=n3x與雙曲線y=■有一個交點是（■，n2）.

（2）將（■，n2）代入直線y=n3x得：右邊n3×■=n2，左邊為n2，所以左邊等于右邊，所以點(■，n2)在直線y=n3x上，同理可證：點（■，n2）在雙曲線y=■上.

∴直線y=n3x與雙曲線y=■有一個交點是（■，n2）.

（作者單位：江蘇省豐縣單樓中學(xué)）

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