半鞅的極大值不等式①

馮德成， 陳彩龍， 蔣文君

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅蘭州730070)

0 引言

本文用 X1，X2，… 或 S1，S2，… 表示定義在固定的概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的隨機變量序列，X+=max(0，－X)，I(A)表示集合A上的示性函數(shù)．

定義1 設(shè)S1，S2，…是L1隨機變量序列，如果對任意的j=1，2，…都有

E{(Sj+1－ Sj)f(S1，…，Sj)}≥0 (1)其中f是任一使上述期望存在且對每個變元均非降的函數(shù)，則稱{Sn，n≥1}為一個半鞅．此外，如果f是非負(fù)的，則稱{Sn，n≥1}為一個半下鞅．

上述定義首先是由Newman和Wright提出來的，此后有很多學(xué)者對半(下)鞅進行了研究(如文獻(xiàn)[1]－[9]等)．

而本文將文獻(xiàn)[1]中關(guān)于半鞅的極大值不等式的結(jié)論進行了改進和推廣，并得到了該不等式的一些應(yīng)用．

1 主要結(jié)果及證明

定理1 設(shè){Sn，n≥1}是半鞅，h(·)是一個不減函數(shù)，{ck，k≥1}是一正數(shù)序列，若函數(shù)g(·)滿足g(0)=0，且對?x，y∈R，有g(shù)(y)－g(x)≥(y－x)h(x)且(ck－ck+1)g(Sk)≥0，k≥1，則對?ε ＞ 0，有

證明: 令m(·)為R上的非負(fù)不減函數(shù)，且m(0)=0，定義Sn'=max(c1g(S1)，cng(Sn))，S0'=0．由于

由Sn'的定義知，S1'＜0則m(Si')=0，而且當(dāng) Si' ＞ Si－1'有 Si'=cig(Si)，m(Si')=m(Si－1')，因此有

又因為 m(·)是 R上非負(fù)不減函數(shù)，Si'＞Si－1'，則

設(shè)

又因為(ck－ ck+1)g(Sk)≥0，k≥1，則

因為 g(·)滿足g(0)=0，且對 ?x，y∈R，有g(shù)(y)－g(x)≥(y－x)h(x)，h(Si)m(Si')是關(guān)于S1，…，Si的不減函數(shù)，由{Si，i≥ 1}是半鞅，則ciE[(g(Si)－ g(Si－1))m(Sn')]令 m(r)=I{t≥ ε}，則

三組學(xué)生網(wǎng)上收集“汶川地震17歲少年馬健用雙手救同學(xué)”的故事，談?wù)動職?、堅毅、信心、意志和干勁是人的精神狀態(tài)，如何理解“精神不是萬能的，但沒有精神是萬萬不能的”？

注 若令g(·)是一個凸函數(shù)，h(·)是函數(shù)g(·)的左導(dǎo)數(shù)函數(shù)，即

則h(·)是不減函數(shù)，且滿足

g(x)－g(x)≥(y－x)h(x)

此時定理1則為文獻(xiàn)[1]中的定理2．1．

定理2 設(shè){Sn，n≥1}是半鞅，h(·)是一個不減函數(shù)，{ck，k≥1}是一正數(shù)序列，若函數(shù)g(·)滿足g(0)=0，且對?x，y∈R，有g(shù)(y)－g(x)≥(y－x)h(x)且(ck－ck+1)g(Sk)≥0，對p＞1，?k≥1，都有E(g(Sk))p＜ ∞，則

其中

證明 由定理1，得

又因為 a≥0，b≥0，有alogb≤aloga++be+，則

由(9)得到(7)．

推論1 設(shè){Sn，n≥1}是半鞅，h(·)是一個不減函數(shù)，{ck，k≥1}是一正數(shù)序列，若函數(shù)g(·)滿足g(0)=0，且對?x，y∈R，有g(shù)(y)－g(x)≥(y－x)h(x)且(ck－ck+1)g(Sk)≥0，對p＞1，?k≥1，都有E(g(Sk))p＜ ∞，則

其中p＞1，

證明 由定理2，取ck≡1，則得(10)和(11)．

定理3 設(shè){Sn，n≥1}是半鞅，h(·)是一個不減函數(shù)，{ck，k≥1}是一正數(shù)序列，若函數(shù)g(·)滿足g(0)=0，且對?x，y∈R，有g(shù)(y)－g(x)≥(y－x)h(x)且(ck－ck+1)g(Sk)≥0，?k≥1，對0＜p＜1有

證明

由定理1，得

則(12)成立．

推論2 條件同定理1，則對k≥1，0＜p＜1，n≥1，有

證明 由定理3，取ck≡1，則得(13)．

本文給出了半鞅的另一種形式的Chow型不等式，推廣了文獻(xiàn)[1]的結(jié)論．在此基礎(chǔ)上，得到了半鞅的其它極大值不等式，并進行了一些應(yīng)用．

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