混凝土塑性損傷模型參數(shù)的研究①

陳少群

(同濟大學建筑工程系，上海200092)

0 引言

K＆C模型是Malvar等[1]提出的混凝土塑性損傷模型．該模型將體積變形和形狀變形分開考慮，可以考慮強化效應，拉伸和壓縮損傷效應，體積變形損傷效應，應變率效應以及剪漲效應，能比較真實地反映混凝土材料的力學特性，可用于建筑結構的靜態(tài)和動態(tài)分析研究．

數(shù)值模擬中混凝土材料的強度等級不同，K＆C模型強度參數(shù)的取值不同．對于強度等級相同的混凝土，K＆C模型損傷參數(shù)值取值依賴于單元尺寸[1]．然而，目前對于混凝土K＆C模型材料參數(shù)的取值，一般采用國外文獻中的原始數(shù)值，或直接采用程序自動生成的參數(shù)值，并沒有根據(jù)混凝土強度等級和單元尺寸的不同而對材料參數(shù)的取值做相應的調(diào)整，所以計算結果的準確性有待研究．

1 混凝土K＆C模型

K＆C模型采用初始屈服面、極限強度面和殘余強度面來描述混凝土的塑性行為，它們分別表示為:

通過線性插值方法，可得到當前應力狀態(tài)下混凝土的屈服面，表示為:

式中，η的取值是由損傷變量λ決定的，當λ從0增至λm時，η從0增至1，表示應力強化，當λ從λm增至無窮大時，η從1降為0，表示應力軟化;λ是累積等效塑性應變的函數(shù)，表示為:為等效塑性應變增量，eij表示偏應變;rf為應變率效應系數(shù);b1和b2分別為壓縮和拉伸損傷參數(shù)．

混凝土材料僅發(fā)生體積拉伸變形，即處于或近似處于三向等拉受力狀態(tài)時，損傷變量λ需要考慮由體積變形引起的損傷增量Δλ，其表示為:

式中，b3為體積拉伸變形損傷參數(shù);kd為一內(nèi)部乘數(shù);εv表示體積應變;εv，yield表示屈服時的體積應變;fd用于描述應力狀態(tài)與三向等拉應力狀態(tài)的

式中接近程度，其表達式為:

2 K＆C模型參數(shù)的確定方法

2．1 K＆C模型強度參數(shù)的確定

K＆C 模型強度參數(shù) a0y，a1y，a2y，a0，a1，a2，a1f及a2f的確定方法主要有兩種．一是利用LSDYNA程序自動生成參數(shù)的功能[2，3]，只需指定混凝土的單軸抗壓強度fc，即可生成相應的強度參數(shù)值．例如，對于C40混凝土，根據(jù)我國混凝土規(guī)范，指定其單軸抗壓強度fc為19．1MPa，生成的強度參數(shù)值a0，a1，a2，a0y，a1y，a2y，a1f及 a2f分別為 5．646MPa，0．446，4．23 × 10－3MPa－1，4．263MPa，0．625，1．348× 10－2MPa－1，0．442 及 6．194 × 10－3MPa－1．

方法二是對混凝土試塊進行單軸壓縮和不同圍壓下三軸壓縮試驗，將試驗數(shù)據(jù)分別代入式(1)、(2)和(3)，從而求得相應的K＆C模型強度參數(shù)．但是，由于試驗得到的數(shù)據(jù)離散性往往較高，為了使得到的強度參數(shù)比較準確，必須進行大量的試驗，費用較高．因此，基于該方法的原理，本文提出一種確定 K＆C 模型強度參數(shù) a0y，a1y，a2y，a0，a1，a2的方法，具體方法如下:

側壓相等(σ1=σ2)的混凝土三軸受壓強度，美國Richart建議的直線關系式[4]為:

根據(jù)式(10)，分別計算單軸受壓(σ1=σ2=0)和不同側壓(σ1= σ2= βfc，σ1= σ2=2βfc)下混凝土的三軸受壓強度σ3，代入式(2)可求得強度參數(shù)a0，a1及a2．本文僅討論C40混凝土，單軸抗壓強度 fc為19．1MPa，分別取 β =0．6，0．7，0．8，0．9，1．0，計算得到強度參數(shù) a0，a1及 a2分別為 8．392MPa，0．581 及 2．27 × 10－3MPa－1．

初始屈服面和極限強度面的關系如圖1所示[1]，因此可確定初始屈服面的強度參數(shù) a0y，a1y及a2y的取值．對于C40混凝土，計算得到強度參數(shù)a0y，a1y及 a2y分別為 5．676MPa，0．966 及 5．63 ×10－3MPa－1．)

2．2 K＆C模型損傷參數(shù)的確定

由LSDYNA自動生成參數(shù)法得到損傷參數(shù)b1，b2及 b3的值分別為1．65，1．35 和 1．15，不受混凝土強度和單元尺寸的影響．但是，研究表明[1]:損傷參數(shù)b1，b2及b3的取值應隨混凝土單元尺寸的不同而進行調(diào)整．下面以單元邊長為25mm的C40混凝土為研究對象，闡述K＆C模型損傷參數(shù)的調(diào)整方法．

圖1 初始屈服面和極限強度面

圖2 單單元模型

2．2．1 壓縮損傷參數(shù)b1的確定

混凝土單軸壓縮試驗得到極限壓應變εc，u=0．004[5，6]．另外，根據(jù)我國混凝土設計規(guī)范，混凝土單軸受壓的應力應變曲線可按下列公式確定:

式 中:x =ε/εc，r;ρc=fc，r/Ecεc，r;n=Ecεc，r/(Ecεc，r－fc，r);αc為混凝土單軸受壓應力應變曲線下降段的參數(shù)值;fc，r為混凝土的單軸抗壓強度代表值;εc，r為峰值壓應變;Ec為混凝土的彈性模量．對 C40 混凝土，取 αc=0．707，fc，r=fc=19．1MPa，εc，r=1．4 × 10－3及 Ec=32．5GPa．

采用常應力實體單元SOLID164建立單單元模型，如圖2所示，對頂面節(jié)點施加z負向位移，并約束底面節(jié)點的所有自由度，模擬混凝土的單軸壓縮試驗，改變拉伸損傷參數(shù)b1的取值，得到相應的應力應變曲線，如圖3所示．由圖3可知，隨著b1取值的減小，混凝土單軸受壓應力應變曲線軟化段越來越陡，極限壓應變減小;b1取為1．0時得到的計算結果與規(guī)范建議的比較符合，此時混凝土的極限壓應變?yōu)?．0038，與試驗結果接近．

2．2．2 拉伸損傷參數(shù)b2的確定

由混凝土單軸拉伸試驗得到極限拉應變εt，u=0．001[5，6]．另外，根據(jù)我國混凝土設計規(guī)范，混凝土單軸受拉的應力應變曲線可按下列公式確定:

式中:x=ε/εt，r;ρt=ft，r/Ecεt，r;αt為混凝土單軸受拉應力應變曲線下降段的參數(shù)值;ft，r為混凝土的單軸抗拉強度代表值;εt，r為峰值拉應變．對C40 混凝土，取 αt=0．931，ft，r=ft=1．71MPa，εt，r=8．7×10－5．

圖3 混凝土單軸受壓應力應變曲線

圖4 混凝土單軸受拉應力應變曲線

采用常應力實體單元SOLID164建立單單元模型，如圖2所示，對頂面節(jié)點施加z正向位移，并約束底面節(jié)點的所有自由度，模擬混凝土的單軸拉伸試驗，改變拉伸損傷參數(shù)b2的取值，得到相應的應力應變曲線．將模擬結果與規(guī)范建議的混凝土單軸受拉應力應變曲線相比較，如圖4所示．由圖4可知，隨著b2取值的增大，混凝土單軸受拉應力應變曲線軟化段越來越陡，極限拉應變減小;b2取為6．35時得到的模擬結果與規(guī)范建議的比較符合，且極限拉應變?yōu)?．001，與試驗結果相等．

圖5 混凝土三軸等拉應力應變曲線

2．2．3 體積變形損傷參數(shù)b3的確定

損傷參數(shù)b3主要影響混凝土三軸等拉應力應變曲線的軟化段．對于混凝土三軸等拉試驗，其強度 fttt為(0．7 ～ 1．0)ft，變形性能同單軸拉伸[7]．建立單單元模型，如圖2所示，三個方向同時施加位移，模擬混凝土三軸等拉試驗，改變損傷參數(shù)b3的取值，得到相應的應力應變曲線，如圖5所示．由圖5可知，混凝土三軸等拉強度fttt為1．45MPa，相當于0．85ft;隨著損傷參數(shù)b3減小，混凝土三軸等拉應力應變曲線下降段趨于平緩，極限拉應變增大．本文取b3為0．2，此時混凝土三軸等拉的極限應變?yōu)?．00095，與單軸拉伸時混凝土的極限應變接近．

3 混凝土常規(guī)三軸壓縮試驗的數(shù)值模擬

如圖2所示，建立25mm×25mm×25mm的單單元模型，在x和y方向上施加相等的壓力(σ1=σ2)，對頂面節(jié)點施加z負向位移，并約束底面節(jié)點的所有自由度．對于C40混凝土，K＆C模型的強度參數(shù)分別取程序自動生成和本文確定的參數(shù)值，損傷參數(shù) b1、b2及 b3的取值分別為1．0、6．35 和0．2．

采用不同的K＆C模型強度參數(shù)，模擬計算得到無側向壓力和側向壓力(σ1=σ2=0．1fc)作用下混凝土三軸壓縮的應力應變曲線如圖6所示．由圖6可知，由于側向壓力對混凝土提供約束作用，限制混凝土的側向變形，提高了混凝土的三軸抗壓強度σ3，且塑性變形有很大發(fā)展，但采用程序自動生成的強度參數(shù)值計算得到的混凝土三軸強度σ3提高幅度較大．

圖6 混凝土常規(guī)三軸受壓應力應變曲線

K＆C模型采用程序自動生成和本文確定的強度參數(shù)值，得到不同側壓下混凝土三軸抗壓強度，將計算結果與國內(nèi)外混凝土常規(guī)三軸壓縮試驗數(shù)據(jù)[4，8]進行比較，如圖7 所示．由圖7 可知，K＆C 模型采用本文確定的強度參數(shù)值，計算得到的混凝土三軸抗壓強度與試驗結果更接近;當σ1=σ2≤1．2fc時，采用程序自動生成的強度參數(shù)值，計算得到的混凝土三軸抗壓強度值偏大．因此，K＆C模型的強度參數(shù)值由本文提出的方法確定更加合理．

圖7 混凝土常規(guī)三軸壓縮極限強度

4 結 論

(1)根據(jù)混凝土常規(guī)三軸受壓試驗研究成果，本文提出了確定K＆C模型初始屈服面和極限強度面強度參數(shù) a0y，a1y，a2y，a0，a1及 a2的方法．

(2)建立單單元模型，模擬單元邊長為25mm的C40混凝土單軸受拉、壓和三軸等拉試驗，分別改變損傷參數(shù)b1，b2及b3的取值，得到相應的混凝土應力應變曲線．以規(guī)范建議的混凝土本構關系和已有的試驗研究成果為基準，確定了損傷參數(shù)的取值．

(3)K＆C模型的強度參數(shù)分別取程序自動生成和本文確定的參數(shù)值，建立單單元模型，模擬混凝土的常規(guī)三軸壓縮試驗，并將計算結果與國內(nèi)外試驗結果進行比較，結果表明K＆C模型取本文確定的參數(shù)值時得到的計算結果更加合理．

[1] Malvar LJ，Crawford JE，Wesevich JW．A Plasticity Concrete Material Model for DYNA3D[J]．International Journal of Impact Engineering．1997，19(9 －10):847 －873．

[2] Hallquist，J．Q．LS － DYNA Theoretical Manual[M]．Livermore Software Technology Corporation，1988．

[3] LS－DYNA Keyword User’s Manual(970V)[M]．Livermore:Livermore Software Technology Corporation，2003．

[4] K．Newman，J．B．Newman．Failure Theories and Design Criteria for Plain Concrete．Structure Solid Mechanics and Engineering．Design，Proc．London，Wiley Inter Science，1971．

[5] 朱伯龍，董振祥．鋼筋混凝土非線性分析[M]．上海:同濟大學出版社，1985．

[6] 呂西林，金國方，吳曉涵．鋼筋混凝土非線性有限元理論與應用[M]．上海:同濟大學出版社，1997．

[7] 過鎮(zhèn)海．鋼筋混凝土原理和分析[M]．北京:清華大學出版社，2004．

[8] 王傳志，過鎮(zhèn)海，張秀琴．二軸和三軸受壓混凝土的強度試驗[J]．土木工程學報，1987，20(1):15－26．