帶形狀參數(shù)的三次三角Hermite插值樣條曲線

李軍成，鐘月娥，謝淳

湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)系，湖南婁底 417000

帶形狀參數(shù)的三次三角Hermite插值樣條曲線

李軍成，鐘月娥，謝淳

湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)系，湖南婁底 417000

給出了一種帶形狀參數(shù)的三次三角Hermite插值樣條曲線，具有標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite插值樣條曲線完全相同的性質(zhì)。給定插值條件時(shí)，樣條曲線的形狀可通過(guò)改變形狀參數(shù)的取值進(jìn)行調(diào)控。在適當(dāng)條件下，該樣條曲線對(duì)應(yīng)的Ferguson曲線可精確表示橢圓、拋物線等工程曲線。通過(guò)選擇合適的形狀參數(shù)，該插值樣條曲線能達(dá)到C2連續(xù)，而且其整體逼近效果要好于標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite插值樣條曲線。

三次Hermite插值樣條；三次三角Hermite插值樣條；形狀參數(shù)；逼近

1 引言

三次Hermite插值樣條是工程中較為常見(jiàn)的一種構(gòu)造插值曲線的方法，但是插值條件給定時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite插值樣條存在形狀無(wú)法修改、僅滿足C1連續(xù)、不能精確表示常見(jiàn)工程曲線等缺陷。帶有參數(shù)的有理形式的Hermite插值樣條[1-8]不僅具有標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite插值樣條相似的性質(zhì)，而且其形狀可通過(guò)改變參數(shù)的取值進(jìn)行調(diào)節(jié)，在一定條件下，這些帶參數(shù)的有理Hermite插值樣條還能達(dá)到C2連續(xù)，但這些樣條卻不能精確表示一些常見(jiàn)的工程曲線。近年來(lái)，基于三角函數(shù)的幾何造型方法得到了廣泛的研究，一些學(xué)者對(duì)三角多項(xiàng)式樣條也作了有益的探討[9-13]，其中謝進(jìn)等人[12-13]針對(duì)帶參數(shù)的有理Hermite插值樣條不能精確表示工程中常見(jiàn)的曲線這一缺陷，提出了一種帶參數(shù)的有理三次三角Hermite插值樣條，和一般的有理樣條一樣，其形狀可通過(guò)形狀參數(shù)進(jìn)行調(diào)控，另外在適當(dāng)?shù)臈l件下，該樣條對(duì)應(yīng)的Ferguson曲線還能精確表示工程中一些常見(jiàn)的曲線。

無(wú)論是一般的有理Hermite插值樣條，還是有理三角Hermite插值樣條，由于都是采用有理形式構(gòu)造樣條，因此其表達(dá)式變得復(fù)雜，計(jì)算量也隨之變得較大。為此，本文提出了一種帶形狀參數(shù)的三次三角多項(xiàng)式Hermite插值樣條曲線，該樣條曲線不僅與標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite插值樣條曲線具有相同的性質(zhì)，而且可以利用形狀參數(shù)對(duì)樣條的形狀進(jìn)行調(diào)控。給定插值條件，當(dāng)參數(shù)取合適值時(shí)，該樣條曲線可達(dá)到C2連續(xù)，且整體逼近效果好于標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite插值樣條。另一方面，在合適的條件下，該樣條曲線對(duì)應(yīng)的Ferguson曲線還可以精確表示橢圓與拋物線。由于所提出的三角Hermite插值樣條避免了使用有理形式，其表達(dá)式較為簡(jiǎn)潔，計(jì)算量也相對(duì)較小，從而為插值曲線曲面的構(gòu)造提供了一種新方法。

2 三次三角Hermite基函數(shù)

一般地，對(duì)于給定的節(jié)點(diǎn)：

下面利用{1，sin t，cos t，sin2t，sin3t，cos3t}取代標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite基函數(shù)中的{1，t，t2，t3}，構(gòu)造一種帶形狀參數(shù)的三次三角Hermite基函數(shù)。

定義1對(duì)任意給定的任意實(shí)數(shù)λi，0≤t≤1，下列4個(gè)關(guān)于t的函數(shù)：

經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算可知，擬三次雙曲Hermite基函數(shù)滿足下列性質(zhì)：

（1）端點(diǎn)性：對(duì)任意的參數(shù)λi，有：

且有fi(t)+fi+1(t)=1，gi(t)=-gi+1(1-t)。

上述結(jié)論表明，三次三角Hermite基函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)Hermite基函數(shù)具有完全相同的性質(zhì)，但與之不同的是，三次三角Hermite基函數(shù)帶有參數(shù)λi，當(dāng)參數(shù)λi取不同值時(shí)可得到不同的三次三角Hermite基函數(shù)。

（2）關(guān)于參數(shù)λi的單調(diào)性：固定變量t，求fi(t)，fi+1(t)，gi(t)，gi+1(t)分別關(guān)于參數(shù)λi的導(dǎo)數(shù)，記為d f0，d f1，d g0，d g1，則有：

3 三次三角Ferguson曲線

由三次三角Hermite基函數(shù)的性質(zhì)可知，基于該組基函數(shù)可作兩點(diǎn)的Hermite插值，因此可定義相應(yīng)的Ferguson曲線。

定義2對(duì)任意給定的任意實(shí)數(shù)λi，0≤t≤1，稱：

為帶形狀參數(shù)λi的三次三角Ferguson曲線，其中pi+j與p′i+j(j=0，1)分別為兩個(gè)插值端點(diǎn)及其切矢，fi+j(t)與gi+j(t)(j=0，1)為三次三角Hermite基函數(shù)。

顯然，三次三角Ferguson曲線與標(biāo)準(zhǔn)三次Ferguson曲線具有相同的插值性，但與之不同的是，三次三角Ferguson曲線帶有形狀參數(shù)λi，當(dāng)兩個(gè)插值端點(diǎn)及其切矢給定時(shí)，利用形狀參數(shù)λi可對(duì)曲線的形狀進(jìn)行調(diào)控。在適當(dāng)條件下，三次三角Ferguson曲線可以精確表示直線段、橢圓弧與三次拋物線弧。

4 三次三角Hermite插值樣條曲線

4.1 樣條曲線的定義

為區(qū)間[a，b]上關(guān)于分劃?的分段三次三角Hermite插值樣條曲線，其中fi(t)，fi+1(t)，gi(t)與gi+1(t)為三次三角Hermite基函數(shù)。

容易驗(yàn)證，由式（4）定義的三次三角Hermite插值樣條曲線滿足：

上述結(jié)論表明，當(dāng)插值條件給定時(shí)，三次三角Hermite插值樣條曲線不僅滿足C1連續(xù)，而且其形狀還可通過(guò)修改參數(shù)λi的取值進(jìn)行局部或整體調(diào)控，這相對(duì)于形狀無(wú)法改變的標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite插值樣條曲線而言，給設(shè)計(jì)人員的交互式設(shè)計(jì)帶來(lái)了方便。

例1給定數(shù)據(jù)：

則可繪制出由3段三次三角Hermite插值樣條曲線構(gòu)成的整條C1連續(xù)曲線，并可通過(guò)修改參數(shù)λi(i=0，1，2)的取值實(shí)現(xiàn)對(duì)整條曲線的局部或整體調(diào)控。圖1為形狀參數(shù)λ1對(duì)曲線進(jìn)行局部調(diào)控的情形，這里取λ0=λ2=1，粗實(shí)線對(duì)應(yīng)λ1=-0.5，虛線對(duì)應(yīng)λ1=0，細(xì)實(shí)線對(duì)應(yīng)λ1=0.5。圖2為形狀參數(shù)對(duì)曲線進(jìn)行整體調(diào)控的情形，這里取λi=λ(i=0，1，2)，其中粗實(shí)線對(duì)應(yīng)λ=0.5，細(xì)實(shí)線對(duì)應(yīng)λ=1.5，虛線為標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite插值樣條曲線。

圖1 插值樣條曲線的局部調(diào)控

另外，當(dāng)給定插值條件時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite插值樣條曲線僅滿足C1連續(xù)，而在適當(dāng)條件下，三次三角Hermite插值樣條曲線可達(dá)到C2連續(xù)。事實(shí)上，令

可得如下的連續(xù)性方程：

圖2 插值樣條曲線的整體調(diào)控

式（5）稱為三次三角Hermite插值樣條的C2連續(xù)性約束條件，即當(dāng)形狀參數(shù)λi(i=0，1，…，n-1)滿足式（5）時(shí)，三次三角Hermite插值樣條滿足C2連續(xù)。在實(shí)際計(jì)算中，可適當(dāng)?shù)刂付╗x0，x1]上的初始參數(shù)λ0，然后可由λ0通過(guò)式（5）確定λ1，再由λ1通過(guò)式（5）確定λ2，依次類推，逐段構(gòu)造出區(qū)間[a，b]上C2連續(xù)的整條三次三角Hermite插值樣條曲線。

需要說(shuō)明的是，在實(shí)際應(yīng)用中，給定初始參數(shù)λ0后，由于通過(guò)式（5）計(jì)算所得的其他參數(shù)λi都是近似值，因此當(dāng)曲線的段數(shù)較大時(shí)，可能會(huì)使得誤差的累積較大，后面相鄰曲線段的C2連續(xù)性就不能保證。此時(shí)，可將給定的數(shù)據(jù)劃分為若干部分，并按照上述方法分別對(duì)每個(gè)部分的數(shù)據(jù)構(gòu)造C2連續(xù)的曲線，然后再利用Hermite插值方法將各部分曲線構(gòu)造成整條C2連續(xù)的曲線。

例2給定數(shù)據(jù)點(diǎn)如下：

圖3 C2連續(xù)的樣條曲線（粗實(shí)線）

若指定初始形狀參數(shù)λ0=0.000 0，由式（5）依次計(jì)算得λ1=1.015 3，λ2=6.063 5，λ3=0.956 5，利用所得參數(shù)可繪制出一條C2連續(xù)的三次三角Hermite插值樣條曲線，如圖3中的粗實(shí)線。在圖3中，細(xì)實(shí)線為所有參數(shù)取λi=1時(shí)的三次三角Hermite插值樣條曲線TH(x)，虛線為標(biāo)準(zhǔn)的三次Hermite插值樣條曲線H(x)，此時(shí)三次三角Hermite插值樣條曲線和標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite插值樣條曲線僅滿足C1連續(xù)。由于三條曲線幾乎重合，為了區(qū)別觀察，將圖8中的粗實(shí)線整體上升了0.2個(gè)單位，而細(xì)實(shí)線則整體下降0.2個(gè)單位。

4.2 樣條曲線的逼近性

下面討論參數(shù)的選擇對(duì)三次三角Hermite插值樣條曲線對(duì)被插函數(shù)逼近程度的影響，這里僅與標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite插值樣條曲線進(jìn)行比較。為此，首先給出一種刻畫(huà)整體逼近效果的定義。

定義4設(shè)在區(qū)間[a，b]上構(gòu)造的整條標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite插值樣條曲線為H(x)，三次三角Hermite插值樣條曲線為T(mén)H(x)，被插函數(shù)為f(x)。記相對(duì)誤差：

則當(dāng)THe＜He時(shí)，稱TH(x)比H(x)在[a，b]對(duì)f(x)的整體逼近效果好。

例3設(shè)被插函數(shù)分別為f(x)=4-2 sin x，采用三次三角Hermite插值樣條曲線對(duì)f(x)進(jìn)行插值逼近，給定的插值條件及各區(qū)間上參數(shù)λi的取值如表1所示。

表1 給定的插值條件及各區(qū)間上參數(shù)的取值

分別采用三次三角Hermite插值樣條曲線TH(x)與標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite插值樣條曲線H(x)對(duì)被插函數(shù)f(x)進(jìn)行插值逼近的圖形如圖4所示。由于TH(x)（粗實(shí)線部分）、H(x)（細(xì)實(shí)線部分）和f(x)（短虛線部分）幾乎重合，為了便于區(qū)別觀察，將圖4中的TH(x)整體上升了1個(gè)單位，H(x)則整體下降了1個(gè)單位。

經(jīng)計(jì)算，采用TH(x)對(duì)f(x)進(jìn)行插值逼近的誤差值THe=0.000 393 68，而采用H(x)對(duì)f(x)進(jìn)行插值逼近的誤差值He=0.039 700 10。由此可知，當(dāng)形狀參數(shù)取適當(dāng)?shù)闹禃r(shí)，采用三次三角Hermite插值樣條曲線逼近的誤差值比標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite插值樣條曲線小得多，這也表明在形狀參數(shù)取值適當(dāng)時(shí)，三次三角Hermite插值樣條曲線比標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite插值樣條曲線相對(duì)于被插函數(shù)具有更好的整體逼近性。

圖4 兩種插值樣條曲線與被插函數(shù)

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種帶形狀參數(shù)的三次三角Hermite插值樣條曲線，該曲線具有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：（1）每段插值樣條曲線只帶一個(gè)形狀參數(shù)，曲線的形狀可通過(guò)改變參數(shù)的取值進(jìn)行調(diào)控，方便實(shí)用。（2）在適當(dāng)條件下，該曲線對(duì)應(yīng)的Ferguson曲線可精確表示橢圓、拋物線等工程曲線。（3）當(dāng)形狀參數(shù)取值適當(dāng)時(shí)，該曲線可達(dá)到C2連續(xù)，且整體逼近效果好于標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite插值樣條曲線。（4）相對(duì)于有理三角插值樣條而言，該曲線避免了有理形式，因此其表達(dá)式變得較為簡(jiǎn)潔，計(jì)算量也較小。另外，本文提出的插值樣條曲線可推廣至曲面形式，將另文討論。

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LI Juncheng,ZHONG Yue’e,XIE Chun

Department of Mathematics,Hunan Institute of Humanities,Science and Technology,Loudi,Hunan 417000,China

A class of cubic trigonometric Hermite interpolating splines curves with shape parameters is presented in this paper, which inherits the same properties of the standard cubic Hermite interpolating splines. For given interpolating conditions, the shape of the proposed splines curves can be adjusted by changing the values of the parameters. In proper conditions, the corresponding Ferguson curve can be used to represent some engineering curves exactly, such as ellipse and parabola. By selecting proper shape parameters, the proposed interpolating splines curves could satisfy C2 continuous and approximate the interpolated functions better than the standard cubic Hermite interpolating splines curves.

cubic Hermite interpolating splines;cubic trigonometric Hermite interpolating sp lines;shape parameters; approximation

LI Juncheng,ZHONG Yue’e,XIE Chun.Cubic trigonoMetric Hermite interpolating splines curves with shape parameters.Computer Engineering and Applications,2014,50（17）：182-185.

A

TP391

10.3778/j.issn.1002-8331.1209-0067

湖南省教育廳資助科研項(xiàng)目（No.14B099）。

李軍成（1982—），男，在職博士研究生，講師，研究領(lǐng)域?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)、圖像處理；鐘月娥（1980—），女，講師，研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)；謝淳（1982—），女，講師，研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)。E-mail：lijuncheng82@126.com

2012-09-11

2012-12-20

1002-8331（2014）17-0182-04

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2012-12-24,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20121224.1515.003.htm l