多項式理論在導(dǎo)彈穩(wěn)定性能評估中的應(yīng)用

侯振乾，梁曉庚

西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院，西安 710072

多項式理論在導(dǎo)彈穩(wěn)定性能評估中的應(yīng)用

侯振乾，梁曉庚

西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院，西安 710072

針對線性參數(shù)不確定性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題，提出一種新的分析方法，并對其在導(dǎo)彈自動駕駛儀魯棒穩(wěn)定性評估中的可行性進(jìn)行了研究。首先給出線性參數(shù)不確定性系統(tǒng)在其特征多項式系數(shù)不相關(guān)情況下的魯棒穩(wěn)定性的充要條件，并通過自適應(yīng)網(wǎng)格劃分算法將此條件與魯棒D-穩(wěn)定性理論結(jié)合，得到基于多項式理論的評估算法。將算法用于導(dǎo)彈自動駕駛儀魯棒穩(wěn)定性評估，得到了不同攻角下導(dǎo)彈在全包線范圍內(nèi)的穩(wěn)定區(qū)域。和只能在離散點(diǎn)進(jìn)行評估的傳統(tǒng)評估方法比較，結(jié)果表明提出的算法可以在全包線范圍內(nèi)連續(xù)進(jìn)行評估，從而發(fā)現(xiàn)一些隱蔽的不穩(wěn)定區(qū)域。

多項式；網(wǎng)格劃分；穩(wěn)定性能評估；D-穩(wěn)定性

1 引言

隨著技術(shù)進(jìn)步，戰(zhàn)斗機(jī)越來越多地采用更加先進(jìn)的氣動布局和控制方式，飛行包線不斷擴(kuò)大，機(jī)動性能不斷提高。這對導(dǎo)彈提出了更高的性能要求，使得導(dǎo)彈的控制系統(tǒng)設(shè)計日趨復(fù)雜。一方面，需要設(shè)計出滿足各項技術(shù)指標(biāo)的控制系統(tǒng)；另一方面，在氣動參數(shù)，傳感器或舵機(jī)的動態(tài)特性發(fā)生變化的情況下，需要有效的方法對設(shè)計的控制系統(tǒng)進(jìn)行性能評估，以驗證其是否能夠滿足魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能要求。傳統(tǒng)的網(wǎng)格評估法在導(dǎo)彈飛行包線內(nèi)選取離散點(diǎn)并逐個計算這些點(diǎn)處的導(dǎo)彈穩(wěn)定性，在計算效率和結(jié)果可靠性方面顯示出不足。針對這一問題，研究人員提出了多種與傳統(tǒng)算法相比更具優(yōu)勢的評估算法?；讦谭治龅脑u估算法可以對多回路線性參數(shù)不確定性系統(tǒng)進(jìn)行分析，確定系統(tǒng)保持穩(wěn)定時不確定參數(shù)的最大變化范圍；最優(yōu)化評估算法能夠?qū)€性和非線性參數(shù)不確定性系統(tǒng)進(jìn)行魯棒穩(wěn)定性分析，并找出導(dǎo)致最壞情況的不確定參數(shù)組合[1]。

本文針對線性參數(shù)不確定性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題，提出一種基于多項式理論的分析方法，并對其在導(dǎo)彈自動駕駛儀魯棒穩(wěn)定性評估中的可行性進(jìn)行了研究。

2 魯棒D-穩(wěn)定性問題

對于線性參數(shù)不確定性系統(tǒng)，判斷其特征值是否位于復(fù)平面內(nèi)的某個區(qū)域D，這就是所謂的魯棒D-穩(wěn)定性問題[2]。考慮一個由式（1）描述的線性參數(shù)不確定性系統(tǒng)：

其中x(t)∈Rn，A:Rk→Rn×n，π→A(π)是一個關(guān)于不確定參數(shù)矢量π的連續(xù)矩陣方程，Rn是n維系統(tǒng)狀態(tài)空間，Rk是k維不確定參數(shù)空間。

定義1（魯棒D-穩(wěn)定性）定義Π?Rk（不確定參數(shù)空間的一個子空間）和復(fù)平面內(nèi)的開區(qū)間D，如果對于所有π∈Π，λi(A(π))∈D，i=1，2，…，n，則由式（1）表示的系統(tǒng)是魯棒D-穩(wěn)定的。其中λi(A)表示矩陣A的第i個特征值。

定義1表明，當(dāng)取不確定參數(shù)空間Π中的任意點(diǎn)π，式（1）表示的系統(tǒng)特征值都位于復(fù)平面內(nèi)的區(qū)域D時，系統(tǒng)是魯棒D-穩(wěn)定的。當(dāng)D區(qū)域與復(fù)平面的左半平面重合時魯棒D-穩(wěn)定變?yōu)轸敯舴€(wěn)定。

3 多項式理論及評估算法

3.1 多項式理論

線性系統(tǒng)特征多項式的根決定了該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，然而對于含有不確定參數(shù)的線性系統(tǒng)，其特征多項式系數(shù)是變化的，復(fù)平面上的特征多項式根的分布也是不確定的，這也決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性是不確定的。

用下式表示式（1）中矩陣A(π)的特征多項式：

當(dāng)π在Π內(nèi)連續(xù)變化時，得到一組系數(shù)連續(xù)變化的多項式，根據(jù)魯棒D-穩(wěn)定性的定義，當(dāng)且僅當(dāng)所有特征多項式的根位于區(qū)域D時，由式（2）表示的系統(tǒng)是魯棒D-穩(wěn)定的。

對式（2）進(jìn)行魯棒D-穩(wěn)定性分析，首先需要介紹Kharitonov定理[3]，它給出了線性參數(shù)不確定性系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充要條件。

考慮下面的多項式：

定理1（Kharitonov定理）當(dāng)且僅當(dāng)下面四個多項式穩(wěn)定時，多項式組p(s，Π)={p(s，π)|π∈Π}是魯棒穩(wěn)定的。

上式稱為Kharitonov多項式，系數(shù)上標(biāo)+，-號表示該系數(shù)的變化上下界。

Kharitonov定理不適合工程應(yīng)用，因為它成立的前提是多項式系數(shù)線性無關(guān)，而在實(shí)際情況中，系統(tǒng)特征多項式系數(shù)往往受相同參數(shù)的影響，例如導(dǎo)彈穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)受攻角，馬赫數(shù)等參數(shù)的影響，說明這些系數(shù)本身是互相關(guān)聯(lián)的。Petersen，Bartlett等人進(jìn)行了很多相關(guān)研究[4-13]，改進(jìn)了Kharitonov的理論，使其能夠?qū)ο禂?shù)依賴于一定范圍內(nèi)變化的不確定參數(shù)的不確定多項式進(jìn)行魯棒穩(wěn)定性分析。然而這些理論不適用于以下情況：

（1）特征多項式系數(shù)和不確定參數(shù)之間是非線性關(guān)系。

（2）需要確定不確定參數(shù)空間中保持系統(tǒng)穩(wěn)定的區(qū)域。

本文利用自適應(yīng)網(wǎng)格劃分算法以及對非線性映射進(jìn)行線性近似，解決系數(shù)線性相關(guān)和非線性問題，在此基礎(chǔ)上提出了基于多項式理論的評估算法。

3.2 評估算法

文獻(xiàn)[14]給出了多項式系數(shù)與不確定參數(shù)為線性關(guān)系時不確定多項式D-穩(wěn)定的充要條件，文獻(xiàn)[15]提出一種算法，可以用線性方程近似非線性矢量方程。在此基礎(chǔ)上提出的多項式評估算法的思想就是：

（1）將不確定參數(shù)空間進(jìn)行劃分，使得每個子空間內(nèi)的不確定多項式系數(shù)與不確定參數(shù)之間為近似線性關(guān)系。

（2）對每個子空間進(jìn)行D-穩(wěn)定性分析，對滿足穩(wěn)定性的子空間取并集，從而得到整個不確定參數(shù)空間內(nèi)的D-穩(wěn)定區(qū)域。

這樣得到的D-穩(wěn)定區(qū)域是一個近似結(jié)果，能夠保證近似結(jié)果向真實(shí)結(jié)果收斂的關(guān)鍵是當(dāng)劃分的子空間足夠小時，用線性方程近似非線性方程產(chǎn)生的誤差足夠小。

考慮下面的不確定參數(shù)空間：

多項式系數(shù)和不確定參數(shù)之間的非線性映射a(Π)可以用下面的線性映射來近似：

3.2.1 自適應(yīng)網(wǎng)格劃分

自適應(yīng)網(wǎng)格劃分程序?qū)⒉淮_定參數(shù)空間Π按一定規(guī)則分成大小不一的子空間Πi，劃分完后在每個子空間內(nèi)都可以用一個近似線性映射(Πj)代替多項式組a(Πj)。具體流程如圖1所示。

圖1 自適應(yīng)網(wǎng)格劃分流程

開始時需要先把不確定參數(shù)空間劃分成一組初始子空間，初始劃分不需要太多，比如當(dāng)不確定參數(shù)是二維時，可以將空間劃分為4塊初始子空間。然后對每個子空間計算頂點(diǎn)和中點(diǎn)總計2k+1（k是不確定參數(shù)的個數(shù)）個點(diǎn)處的特征多項式系數(shù)，使用線性回歸算法計算近似線性映射a(Πj)。記a(Πj)和a(Πj)之間的最大誤差為deps，當(dāng)deps大于最大允許誤差d0時，對該子空間進(jìn)行進(jìn)一步劃分。劃分時需設(shè)定一個最小邊界長度eps1，當(dāng)子空間邊界的最大長度小于eps1時，即使deps＞ d0，也要停止劃分程序。

最后將劃分完成的子空間放入列表，以進(jìn)行D-穩(wěn)定性判斷。子空間的劃分采用2分法，每次劃分產(chǎn)生2k個更小的子空間。

3.2.2 D-穩(wěn)定區(qū)域計算

D-穩(wěn)定區(qū)域計算主要是對前述劃分的子空間Πj是否滿足評估準(zhǔn)則進(jìn)行判斷，并確定滿足準(zhǔn)則要求的區(qū)域。由于利用線性回歸算法進(jìn)行空間劃分時存在誤差，為了提高評估的可靠性，需要對子空間各頂點(diǎn)是否滿足準(zhǔn)則進(jìn)行一致性判斷，對一些線性回歸誤差小，但各頂點(diǎn)處D-穩(wěn)定性不相同的子空間進(jìn)行進(jìn)一步拆分，并設(shè)定閾值eps2，eps2應(yīng)小于eps1，本文取eps2=eps12，當(dāng)子空間最大邊界小于eps2時，如果各頂點(diǎn)處D-穩(wěn)定性仍不一致，則將此空間歸為模糊區(qū)域。具體計算流程見圖2。

3.3 算法驗證

采用一個具體實(shí)例來驗證上述算法的正確性和有效性，該例子的表達(dá)式如下：

為了驗證算法不僅適用于矩形區(qū)域，加入限制條件：

以復(fù)平面的左半平面為D-穩(wěn)定域，利用自適應(yīng)區(qū)域產(chǎn)生算法對上面的多項式進(jìn)行穩(wěn)定性分析，以不確定參數(shù)x1和x2分別作為縱橫坐標(biāo)，做出不確定參數(shù)變化對特征多項式穩(wěn)定性影響的評估圖。圖3為執(zhí)行自適應(yīng)網(wǎng)格劃分算法并對各網(wǎng)格區(qū)域執(zhí)行D-穩(wěn)定計算后的結(jié)果。圖中右上方的白色區(qū)域滿足魯棒D-穩(wěn)定性，左下方的深灰色區(qū)域不滿足魯棒D-穩(wěn)定性，淺灰色區(qū)域表示這一部分處于臨界穩(wěn)定，減小網(wǎng)格劃分閾值eps1，可以減少模糊區(qū)域。由圖可明顯看出不確定參數(shù)空間中使系統(tǒng)穩(wěn)定/不穩(wěn)定的區(qū)域，并且可以找到包含在穩(wěn)定區(qū)域中的不穩(wěn)定部分。計算結(jié)果與實(shí)際情況相符，說明算法是有效和準(zhǔn)確的。

4 導(dǎo)彈穩(wěn)定性能評估

本章以BTT導(dǎo)彈縱向模型及自動駕駛儀為評估對象，將高度和馬赫數(shù)作為不確定性參數(shù)，利用多項式評估算法對評估對象在包線內(nèi)的穩(wěn)定性能進(jìn)行評估。研究了不同攻角條件下導(dǎo)彈在包線范圍內(nèi)的飛行穩(wěn)定性。攻角以2°為間隔在[-10°，20°]內(nèi)變化。圖4～圖6分別給出了攻角為-10°，0°和20°時的評估結(jié)果，其中白色區(qū)域為穩(wěn)定區(qū)域，灰色區(qū)域為不穩(wěn)定區(qū)域。

圖2 D穩(wěn)定區(qū)域計算流程

圖3 魯棒D-穩(wěn)定性計算結(jié)果

圖4 攻角為-10°時導(dǎo)彈在飛行包線內(nèi)的穩(wěn)定區(qū)域

圖5 攻角為0°時導(dǎo)彈在飛行包線內(nèi)的穩(wěn)定區(qū)域

圖6 攻角為20°時導(dǎo)彈在飛行包線內(nèi)的穩(wěn)定區(qū)域

由圖可見并經(jīng)過驗證，在馬赫數(shù)5.5～6.5，高度為15～17.5 km范圍內(nèi)，導(dǎo)彈是不穩(wěn)定的。由于傳統(tǒng)驗證方法只對飛行包線內(nèi)有限的離散特征點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行驗證，因此沒有發(fā)現(xiàn)導(dǎo)彈在這一區(qū)域內(nèi)的不穩(wěn)定性，而基于多項式的評估算法可以在飛行包線內(nèi)連續(xù)進(jìn)行評估，不會忽略離散點(diǎn)之間的區(qū)域，提高了評估的可信度。

5 結(jié)束語

傳統(tǒng)導(dǎo)彈穩(wěn)定評估算法只是對離散的飛行狀態(tài)點(diǎn)進(jìn)行評估，有可能會出現(xiàn)漏判情況，本文所提算法可以對導(dǎo)彈飛行包線內(nèi)各飛行狀態(tài)點(diǎn)連續(xù)進(jìn)行評估，發(fā)現(xiàn)隱蔽的不穩(wěn)定飛行狀態(tài)，這不僅提高了評估結(jié)果的可信度，計算效率也有很大提高。該算法還可以對其他不確定參數(shù)，如質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量等對導(dǎo)彈飛行穩(wěn)定性的影響進(jìn)行評估。在以后的研究中，可以對自適應(yīng)網(wǎng)格劃分算法進(jìn)行改進(jìn)，減小線性近似的誤差，進(jìn)一步提高評估結(jié)果的可信度。

[1]Fielding C，Varga A，Bennani S，et al.Advanced techniques for clearance of flight control law s[M].[S.l.]：Springer，2002.

[2]Corraro F，Virgilio M.A polynom ial based clearance method[C]//AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference and Exhibit，2003.

[3]Kharitonov V.Asymptotic stability of an equilibrium position of a fam ily of systems of linear differential equations[J].Differential Equations，1979，14.

[4]Barm ish B R.A generalization of Kharitonov’s fourpolynom ial concept for robust stability problems with linearly dependent coefficient perturbations[J].IEEE Transactions on Automatic Control，1989，34（2）.

[5]Shang J S.A high-resolution method using adaptive polynom ials for local refinement[C]//48th AIAA Aerospace Sciences Meeting，2010.

[6]Petersen I R.A new extension to Kharitonov’s theorem[J]. IEEE Transactions on Automatic Control，1990，35（7）.

[7]Chapellat H，Bhattacharyya S P.A generalization of Kharitonov’s theorem：robust stability of interval plants[J]. IEEE Transactions on Automatic Control，1989，34（3）.

[8]Hote Y V，Gupta J R P，Choudhury D R.Kharitonov’s theorem and routh criterion for stability margin of interval systems[J].International Journal of Control，Automation，and Systems，2010.

[9]Romanishin I M，Sinitskii L A.On the additive D-stability of matriceson the basis of the Kharitonov criterion[J]. Mathematical Notes，2002，72（2）.

[10]Bartlett C，Hollot C V，Lin H.Root locations of an entire polytope of polynom ials：it suffices to check the edges[J]. Math Contr Signal and Sys，1988，1：61-71.

[11]Sariderely M K，Kern F J.The stability of polynom ials under correlated parameter perturbations[C]//Proc 26th CDC，Los Angeles，CA，1987.

[12]Petersen R.A collection of results on the stability of fam ilies of polynom ials with multilinear parameter dependence，Tech Rep EE8801[R].Australia：University of South Wales，1988.

[13]Pena R S S，Sideris A.A general program to compute the multivariable stability margin for systems with parametric uncertainty[C]//Proceedings of American Control Conference，A tlanta，GA，1988.

[14]Cavallo A，Celentano G，deMaria G.Robust stability analysis of polynom ials with linearly dependent coefficient perturbations[J].IEEE Transactions on Automatic Control，1991：380-384.

[15]Amato F，Verde L.ROBAN：a parameter robustness analysis tool and its flight control applications[C]//3rd IFAC Symposium ROCOND，2000.

HOU Zhenqian, LIANG Xiaogeng

College of Automation, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China

A new method for application to robust stability of linear systems subject to uncertain parameters and applicability to the robustness stability clearance problem of missile autopilot is proposed. First, the necessary and sufficient conditions for robust stability of linear systems subject to uncertain parameters are given for which the characteristic polynomial coefficients are not relevant, then the conditions are combined to robust D-stability theory through adaptive grid generation algorithm, and the polynomial clearance algorithm is obtained. The algorithm is applied to missile stability clearance, the stability region of the whole flight envelope under different angles of attack is obtained. With respect to classical methods, where the analysis is conducted on simple discrete points, the results show that the polynomial based clearancealgorithm allows the flight envelope to be investigated continuously to determine the stable regions and discover hidden unstable regions.

polynomial; grid generation; stability clearance; D-stability

HOU Zhenqian, LIANG Xiaogeng. Polynomial theory applied to stability clearance of missile. Computer Engineering and Applications, 2014, 50（17）：249-253.

A

TJ765.2

10.3778/j.issn.1002-8331.1209-0298

侯振乾（1983—），男，博士研究生，研究方向為導(dǎo)彈控制系統(tǒng)設(shè)計；梁曉庚（1960—），男，教授，博導(dǎo)，研究方向為飛行器控制。E-mail：houzhq@yahoo.com.cn

2012-09-26

2012-10-26

1002-8331（2014）17-0249-05

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2013-01-22,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130122.1437.005.htm l