一類恒化器競爭模型正解存在區(qū)域的刻畫

劉繼遠，李艷玲

陜西師范大學數(shù)學與信息科學學院，西安 710062

一類恒化器競爭模型正解存在區(qū)域的刻畫

劉繼遠，李艷玲

陜西師范大學數(shù)學與信息科學學院，西安 710062

刻畫了一類帶Ivlev型反應函數(shù)的非均勻恒化器競爭模型正解的存在域。利用不動點指數(shù)理論和上下解方法證明了在a≠且b≠的前提下，系統(tǒng)有正解的充要條件是a＞r1(a，b)且b＞r2(a，b)。結合單調(diào)方法和不動點指數(shù)理論，說明存在域Λ是中的一個無界連通區(qū)域，其邊界由兩條遞增的曲線Γ1:a=F1(b)和Γ2:b=F2(a)構成。證明了系統(tǒng)在存在域Λ的某個子區(qū)域內(nèi)至少有兩個正解。

恒化器；Ivlev型反應函數(shù)；不動點指數(shù)；單調(diào)方法

1 引言

恒化器模型是微生物學研究中一個很重要的模型。在恒化器中，微生物的增長與養(yǎng)料濃度之間有著密切的關系，這種關系可以用不同的反應函數(shù)來表示。由文獻[1]知，微生物的增長與養(yǎng)料濃度之間的關系可以由Holling II型反應函數(shù)、Holling III型反應函數(shù)和Ivlev型功能反應函數(shù)來表示。另外，還可以由Beddington-DeAngelis型功能反應函數(shù)來表示，如文獻[2]。目前，對于非均勻恒化器競爭模型的研究，討論的多是Holling II型反應函數(shù)，如文獻[3-7]，對Ivlev型反應函數(shù)涉及較少。鑒于此，本文考慮如下帶Ivlev型反應項的n維反應擴散系統(tǒng)：

其中s，u，v分別表示營養(yǎng)液和兩種競爭微生物的濃度；Ω是Rn(n≥1)中具有光滑邊界的有界區(qū)域，gi(s)=1-e-ai(s)，ai＞0為常數(shù)，i=1，2；a＞0，b＞0是最大增長率；γ(x)，h(x)∈C(?Ω)且γ(x)，h(x)≥0，?0，x∈?Ω;Γ0?{x∈?Ω:γ(x)=0}，Γ0≠?且Γ0≠?Ω，h(x)＞0，x∈Γ0。

對于含有兩種微生物的非均勻恒化器競爭模型的研究，已有不少相關文獻，如文獻[4，6-7]。文獻[4]通過討論一類具有M onond-M型反應項的一維恒化器模型，得到了相應平衡態(tài)系統(tǒng)的局部分歧。文獻[7]研究了具有同樣反應函數(shù)的n維恒化器模型，獲得了共存解的全局分歧。文獻[6]通過研究具有同樣反應函數(shù)且?guī)в幸粋€內(nèi)抑制劑的一維恒化器模型，確定了模型正解存在時兩物種最大增長率的存在區(qū)域。本文的主要目的則是刻畫系統(tǒng)（1）～（2）正解的存在區(qū)域。為此，首先考慮與式（1）～（2）相對應的平衡態(tài)系統(tǒng)：

令z=s+u+v，則類似文獻[7]的討論知，z所滿足的方程存在惟一解且為正解，不妨仍記為z。這樣式（3）的任一非負解(s，u，v)滿足s+u+v=z，x∈。把s= z-u-v代入式（3），得到本文將重點研究的邊界值問題：

2 準備

定義θλ1=0，由引理2.3，2.4和2.5知，θa關于a在[λ1，+∞)上連續(xù)且在上隨著a的增加而逐點增加。

注1在式（4）中令(u，v)=(0，v)，可得另一單物種方程：

易知，關于式（9'）有如下類似式（9）的結論：

（1）當b＞σ1時，式（9'）有唯一正解，記為νb；b≤σ1時，式（9'）只有零非負解。

（2）定義νσ1=0，則νb關于b在[σ1，+∞)上連續(xù)且在上隨著b的增加而逐點增加。

（3）定義式（9'）在νb處的線性化算子為Lb=Δ+ b(g2(z-νb)-νbg′2(z-νb))，則λ(Lb)＜0。

3 正解的存在性

記gi(u，v)=gi(z-u-v)，i=1，2，則gi(u，v)關于u，v遞減，此時方程（4）變?yōu)椋?/p>

4 存在域Λ的特征及正解的多重性

5 小結

設(u，v)是式（4'）的正解，則由g1(u，v)＜g1(0，0)，g2(u，v)＜g2(0，0)知，a＞λ1，b＞σ1。這說明a＞λ1，b＞σ1是式（4'）有正解的必要條件。本文即是在的子區(qū)域R0=(λ1，+∞)×(σ1，+∞)內(nèi)討論參數(shù)(a，b)的取值變化對式（4'）正解的影響，進而找到式（4'）有正解時參數(shù)(a，b)的準確存在區(qū)域。在第3章，通過將參數(shù)(a，b)限制在兩條遞增的曲線a=和b=a)所圍的區(qū)域內(nèi)，保證了式（4'）正解的存在性，這給出了式（4'）有正解的充分條件（定理3.1）。但由于對(a，b)的限制太嚴，漏掉了(a，b)可取的其他很多值。因而在第4章，設法利用定理4.1來彌補這個缺陷：通過給出式（4'）在a≠b≠(a)的前提下有解的充要條件，放寬存在域的可能范圍。最終，通過定理4.2說明式（4'）有正解時(a，b)的準確存在域是R0上的一個無界連通區(qū)域，且以兩條遞增曲線a=F1(b)和b=F2(a)為其邊界。至此，可知{(a，b): a＞F1(b)，b＞F2(a)}=Λ=R1∪R2∪R3∪R4，其中R1={(a，b):

ffff5d(b)，b＞ffff5c(a)}。而且，當(a，b)取自R2∪R4時，式（4'）至少有兩個正解（定理4.3）。

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[15]葉其孝，李正元.反映擴散方程引論[M].北京：科學出版社，2011.

LIU Jiyuan, LI Yanling

College of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi’an 710062, China

The existence region of positive solutions in the unmixed chemostat with the Ivlev response function is portrayed.It is shown that if a≠and b≠hold,then the necessary and sufficient conditions,where the system possesses positive solutions,are a＞r1(a，b)and b＞r2(a，b)by using the fixed point theory and the upper and lower solution method. Combining with the monotone method and the fixed point theory,it is proved thatis a connected unbounded region in,whose boundary consists of two monotone nondecreasing curvesΓ1:a=F1(b)andΓ2:b=F2(a).It is shown that the system has at least two positive solutions in certain subregion of.

chemostat; Ivlev response function; fixed point index; monotone method

LIU Jiyuan, LI Yanling. Characterization of existence region of positive solutions for competition model in chemostat.Computer Engineering and Applications, 2014, 50（17）：68-73.

A

O175.26

10.3778/j.issn.1002-8331.1209-0023

國家自然科學基金（No.10971124）；教育部博士點專項基金（No.200807180004）。

劉繼遠（1984—），男，碩士研究生，研究領域為偏微分方程理論及應用；李艷玲（1963—），女，通訊作者，博士，教授，研究方向為反應擴散方程及其應用。E-mail：yanlingl@snnu.edu.cn

2012-09-10

2012-11-28

1002-8331（2014）17-0068-06

CNKI網(wǎng)絡優(yōu)先出版：2012-12-26,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20121226.1120.003.htm l