一類離散型隨機變量的期望與方差的簡單解法

趙蕾

摘 要 在計算離散型隨機變量的期望與方差的過程中，使用定義計算往往比較困難，本文介紹了兩種簡單方法：將隨機變量進行分解、利用離散型隨機變量分布律的性質。這兩種方法大大簡化了計算，對隨機變量的期望與方差的學習具有一定的啟發(fā)和價值。

關鍵詞 數(shù)學期望 方差 離散型隨機變量 概率分布

中圖分類號：O211.5 文獻標識碼：A

A Simple Way of Computing the Mathematical Expectation

and Variance of Discrete Random Variables

ZHAO Lei

（The College of Post and Telecommunication of WIT， Wuhan， Hubei 430074）

Abstract It's usually difficult to compute the mathematical expectation and variance of discrete random variables by definition. This paper proposes two simple methods as resolving the random variable and using the probability distribution of discrete random variable. Results show that the two methods can simplify calculations， which have great enlightening significance and reference value to study of the mathematical expectation and variance of discrete random variables.

Key words mathematical expectation； variance； discrete random variables； probability distributions

數(shù)學期望體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平，而方差則是隨機變量取值的離散程度的一種度量，數(shù)學期望和方差是隨機變量的兩個重要的數(shù)字特征。對于離散型隨機變量，我們往往通過定義，先求出它的分布律（ = ） = ， = 1，2，…，再計算（）及（），則方差（） = （）[（）]2。但有些時候，使用定義計算比較困難，因此，掌握求數(shù)學期望與方差的技巧及一些簡化方法是非常重要的。本文提出了兩種計算離散型隨機變量的期望與方差的簡單方法：將隨機變量進行分解、利用離散型隨機變量分布律的性質。下面結合具體問題，介紹這兩種方法的使用過程。

1 將隨機變量進行分解

通過將隨機變量進行分解，將它拆分成若干個隨機變量的和，可以達到簡化計算的目的。

例1①② 設隨機變量服從二項分布 （），求（）、（）。

解法一： （），則的分布律為 = （ = ） = ， = 0，1，2，…，則

（） = = ， （） = = + ，則方差（） = （）[（）]2 =

從以上解法中可以看出，計算量是比較大的，有些學生可能算不出來。如果我們考慮將隨機變量進行分解，則可以使計算過程大大簡化。

解法二： （），設事件發(fā)生的概率為，（） = ，則就可以看作重伯努利實驗中事件發(fā)生的次數(shù)。

令

則 = ，且，…，相互獨立同分布，的概率分布為（ = 1） = ，（ = 0） = 1，故（） = ，（） = ， = 1，2，…。因為，…，相互獨立，故（） = （） = （） = （） = （） = （） = 。

顯然，解法二將隨機變量分解成個隨機變量的和，使得計算過程簡便易算。

2 利用離散型隨機變量分布律的性質

某些情況下，已知離散型隨機變量的概率分布，可以構造隨機變量，賦予其實際意義，再利用分布律的性質， = 1，推導出一系列求和公式，在計算過程中，達到簡化的目的。

例2③ 已知隨機變量的分布律是（ = ） = ， = ，，…求隨機變量的數(shù)學期望和方差。

解：按照離散型隨機變量期望的計算公式

（） = ·（ = ） = ·，

（） = ·（ = ） = ·，

（） = （）[（）]2

容易發(fā)現(xiàn)，直接求（）和（）是比較困難的，如果我們考察隨機變量的實際意義，并利用分布律的性質來求級數(shù)（）和（），則將簡化計算。

2.1 構造隨機變量，推導出求和公式

在伯努利實驗中，事件成功的概率是，得到次成功所需要的試驗次數(shù)用隨機變量來表示，則剛好有

（ = ） = ， = ，，…

于是 = 1 （1）

更一般地，得到 +1次成功所需要的試驗次數(shù)用隨機變量表示，則有（ = + 1） = ， = ，，… 那么

= 1 （2）

得到 +2次成功所需要的試驗次數(shù)用隨機變量表示，則有（ = + 2） = · = ， = ，，…

則 = 1 （3）

2.2 利用求和公式進行隨機變量的期望與方差的簡化計算

按照數(shù)學期望的計算公式：

（） = ·（ = ） = ·

= =

= =

利用（2）式，得到（） = ，考慮到（）直接求解比較困難，我們先計算（（ + 1））

（（ + 1）） = ·（ + 1）·（ = ）

= ·（ + 1）

= ·（ + 1）

= ·（ + 1）

=

根據(jù)（3）式，可以得到

（（ + 1）） = （） + （） = 故方差（）= （）[（）]2 = =

3 結論

以上我們提出了求解離散型隨機變量數(shù)字特征的兩種簡單方法，其思想新穎、巧妙，在求解過程中大大簡化計算，對隨機變量的期望與方差的學習具有一定的啟發(fā)和價值。 這兩種方法的思想不同，都建立在對隨機變量的深刻認識的基礎之上，特別是利用離散型隨機變量分布律的性質，它是概率論與高等數(shù)學（級數(shù)）相結合的一種實踐，可以用這種思想來求解更多類似問題。

注釋

① 葉鷹，李萍，劉小茂.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].武漢：華中科技大學出版社，2004：84-99.

② 韓明，羅明安，林孔容.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].上海：同濟大學出版社，2010：70-83.

③ 熊德之，張志軍，羅進.概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用[M].北京：科學出版社，2009：69-92.endprint

摘 要 在計算離散型隨機變量的期望與方差的過程中，使用定義計算往往比較困難，本文介紹了兩種簡單方法：將隨機變量進行分解、利用離散型隨機變量分布律的性質。這兩種方法大大簡化了計算，對隨機變量的期望與方差的學習具有一定的啟發(fā)和價值。

關鍵詞 數(shù)學期望 方差 離散型隨機變量 概率分布

中圖分類號：O211.5 文獻標識碼：A

A Simple Way of Computing the Mathematical Expectation

and Variance of Discrete Random Variables

ZHAO Lei

（The College of Post and Telecommunication of WIT， Wuhan， Hubei 430074）

Abstract It's usually difficult to compute the mathematical expectation and variance of discrete random variables by definition. This paper proposes two simple methods as resolving the random variable and using the probability distribution of discrete random variable. Results show that the two methods can simplify calculations， which have great enlightening significance and reference value to study of the mathematical expectation and variance of discrete random variables.

Key words mathematical expectation； variance； discrete random variables； probability distributions

數(shù)學期望體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平，而方差則是隨機變量取值的離散程度的一種度量，數(shù)學期望和方差是隨機變量的兩個重要的數(shù)字特征。對于離散型隨機變量，我們往往通過定義，先求出它的分布律（ = ） = ， = 1，2，…，再計算（）及（），則方差（） = （）[（）]2。但有些時候，使用定義計算比較困難，因此，掌握求數(shù)學期望與方差的技巧及一些簡化方法是非常重要的。本文提出了兩種計算離散型隨機變量的期望與方差的簡單方法：將隨機變量進行分解、利用離散型隨機變量分布律的性質。下面結合具體問題，介紹這兩種方法的使用過程。

1 將隨機變量進行分解

通過將隨機變量進行分解，將它拆分成若干個隨機變量的和，可以達到簡化計算的目的。

例1①② 設隨機變量服從二項分布 （），求（）、（）。

解法一： （），則的分布律為 = （ = ） = ， = 0，1，2，…，則

（） = = ， （） = = + ，則方差（） = （）[（）]2 =

從以上解法中可以看出，計算量是比較大的，有些學生可能算不出來。如果我們考慮將隨機變量進行分解，則可以使計算過程大大簡化。

解法二： （），設事件發(fā)生的概率為，（） = ，則就可以看作重伯努利實驗中事件發(fā)生的次數(shù)。

令

則 = ，且，…，相互獨立同分布，的概率分布為（ = 1） = ，（ = 0） = 1，故（） = ，（） = ， = 1，2，…。因為，…，相互獨立，故（） = （） = （） = （） = （） = （） = 。

顯然，解法二將隨機變量分解成個隨機變量的和，使得計算過程簡便易算。

2 利用離散型隨機變量分布律的性質

某些情況下，已知離散型隨機變量的概率分布，可以構造隨機變量，賦予其實際意義，再利用分布律的性質， = 1，推導出一系列求和公式，在計算過程中，達到簡化的目的。

例2③ 已知隨機變量的分布律是（ = ） = ， = ，，…求隨機變量的數(shù)學期望和方差。

解：按照離散型隨機變量期望的計算公式

（） = ·（ = ） = ·，

（） = ·（ = ） = ·，

（） = （）[（）]2

容易發(fā)現(xiàn)，直接求（）和（）是比較困難的，如果我們考察隨機變量的實際意義，并利用分布律的性質來求級數(shù)（）和（），則將簡化計算。

2.1 構造隨機變量，推導出求和公式

在伯努利實驗中，事件成功的概率是，得到次成功所需要的試驗次數(shù)用隨機變量來表示，則剛好有

（ = ） = ， = ，，…

于是 = 1 （1）

更一般地，得到 +1次成功所需要的試驗次數(shù)用隨機變量表示，則有（ = + 1） = ， = ，，… 那么

= 1 （2）

得到 +2次成功所需要的試驗次數(shù)用隨機變量表示，則有（ = + 2） = · = ， = ，，…

則 = 1 （3）

2.2 利用求和公式進行隨機變量的期望與方差的簡化計算

按照數(shù)學期望的計算公式：

（） = ·（ = ） = ·

= =

= =

利用（2）式，得到（） = ，考慮到（）直接求解比較困難，我們先計算（（ + 1））

（（ + 1）） = ·（ + 1）·（ = ）

= ·（ + 1）

= ·（ + 1）

= ·（ + 1）

=

根據(jù)（3）式，可以得到

（（ + 1）） = （） + （） = 故方差（）= （）[（）]2 = =

3 結論

以上我們提出了求解離散型隨機變量數(shù)字特征的兩種簡單方法，其思想新穎、巧妙，在求解過程中大大簡化計算，對隨機變量的期望與方差的學習具有一定的啟發(fā)和價值。 這兩種方法的思想不同，都建立在對隨機變量的深刻認識的基礎之上，特別是利用離散型隨機變量分布律的性質，它是概率論與高等數(shù)學（級數(shù)）相結合的一種實踐，可以用這種思想來求解更多類似問題。

注釋

① 葉鷹，李萍，劉小茂.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].武漢：華中科技大學出版社，2004：84-99.

② 韓明，羅明安，林孔容.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].上海：同濟大學出版社，2010：70-83.

③ 熊德之，張志軍，羅進.概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用[M].北京：科學出版社，2009：69-92.endprint

摘 要 在計算離散型隨機變量的期望與方差的過程中，使用定義計算往往比較困難，本文介紹了兩種簡單方法：將隨機變量進行分解、利用離散型隨機變量分布律的性質。這兩種方法大大簡化了計算，對隨機變量的期望與方差的學習具有一定的啟發(fā)和價值。

關鍵詞 數(shù)學期望 方差 離散型隨機變量 概率分布

中圖分類號：O211.5 文獻標識碼：A

A Simple Way of Computing the Mathematical Expectation

and Variance of Discrete Random Variables

ZHAO Lei

（The College of Post and Telecommunication of WIT， Wuhan， Hubei 430074）

Abstract It's usually difficult to compute the mathematical expectation and variance of discrete random variables by definition. This paper proposes two simple methods as resolving the random variable and using the probability distribution of discrete random variable. Results show that the two methods can simplify calculations， which have great enlightening significance and reference value to study of the mathematical expectation and variance of discrete random variables.

Key words mathematical expectation； variance； discrete random variables； probability distributions

數(shù)學期望體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平，而方差則是隨機變量取值的離散程度的一種度量，數(shù)學期望和方差是隨機變量的兩個重要的數(shù)字特征。對于離散型隨機變量，我們往往通過定義，先求出它的分布律（ = ） = ， = 1，2，…，再計算（）及（），則方差（） = （）[（）]2。但有些時候，使用定義計算比較困難，因此，掌握求數(shù)學期望與方差的技巧及一些簡化方法是非常重要的。本文提出了兩種計算離散型隨機變量的期望與方差的簡單方法：將隨機變量進行分解、利用離散型隨機變量分布律的性質。下面結合具體問題，介紹這兩種方法的使用過程。

1 將隨機變量進行分解

通過將隨機變量進行分解，將它拆分成若干個隨機變量的和，可以達到簡化計算的目的。

例1①② 設隨機變量服從二項分布 （），求（）、（）。

解法一： （），則的分布律為 = （ = ） = ， = 0，1，2，…，則

（） = = ， （） = = + ，則方差（） = （）[（）]2 =

從以上解法中可以看出，計算量是比較大的，有些學生可能算不出來。如果我們考慮將隨機變量進行分解，則可以使計算過程大大簡化。

解法二： （），設事件發(fā)生的概率為，（） = ，則就可以看作重伯努利實驗中事件發(fā)生的次數(shù)。

令

則 = ，且，…，相互獨立同分布，的概率分布為（ = 1） = ，（ = 0） = 1，故（） = ，（） = ， = 1，2，…。因為，…，相互獨立，故（） = （） = （） = （） = （） = （） = 。

顯然，解法二將隨機變量分解成個隨機變量的和，使得計算過程簡便易算。

2 利用離散型隨機變量分布律的性質

某些情況下，已知離散型隨機變量的概率分布，可以構造隨機變量，賦予其實際意義，再利用分布律的性質， = 1，推導出一系列求和公式，在計算過程中，達到簡化的目的。

例2③ 已知隨機變量的分布律是（ = ） = ， = ，，…求隨機變量的數(shù)學期望和方差。

解：按照離散型隨機變量期望的計算公式

（） = ·（ = ） = ·，

（） = ·（ = ） = ·，

（） = （）[（）]2

容易發(fā)現(xiàn)，直接求（）和（）是比較困難的，如果我們考察隨機變量的實際意義，并利用分布律的性質來求級數(shù)（）和（），則將簡化計算。

2.1 構造隨機變量，推導出求和公式

在伯努利實驗中，事件成功的概率是，得到次成功所需要的試驗次數(shù)用隨機變量來表示，則剛好有

（ = ） = ， = ，，…

于是 = 1 （1）

更一般地，得到 +1次成功所需要的試驗次數(shù)用隨機變量表示，則有（ = + 1） = ， = ，，… 那么

= 1 （2）

得到 +2次成功所需要的試驗次數(shù)用隨機變量表示，則有（ = + 2） = · = ， = ，，…

則 = 1 （3）

2.2 利用求和公式進行隨機變量的期望與方差的簡化計算

按照數(shù)學期望的計算公式：

（） = ·（ = ） = ·

= =

= =

利用（2）式，得到（） = ，考慮到（）直接求解比較困難，我們先計算（（ + 1））

（（ + 1）） = ·（ + 1）·（ = ）

= ·（ + 1）

= ·（ + 1）

= ·（ + 1）

=

根據(jù)（3）式，可以得到

（（ + 1）） = （） + （） = 故方差（）= （）[（）]2 = =

3 結論

以上我們提出了求解離散型隨機變量數(shù)字特征的兩種簡單方法，其思想新穎、巧妙，在求解過程中大大簡化計算，對隨機變量的期望與方差的學習具有一定的啟發(fā)和價值。 這兩種方法的思想不同，都建立在對隨機變量的深刻認識的基礎之上，特別是利用離散型隨機變量分布律的性質，它是概率論與高等數(shù)學（級數(shù)）相結合的一種實踐，可以用這種思想來求解更多類似問題。

注釋

① 葉鷹，李萍，劉小茂.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].武漢：華中科技大學出版社，2004：84-99.

② 韓明，羅明安，林孔容.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].上海：同濟大學出版社，2010：70-83.

③ 熊德之，張志軍，羅進.概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用[M].北京：科學出版社，2009：69-92.endprint