習有所得，潛能無限

錢雷芳

在初中數學學習中，很多學生往往只會做題，而不會思考題目本身的類型特點，這不僅失去了習題本身的意義價值，而且失去了鞏固和發(fā)展知識的機會.如果把每道數學題看成是有生命的，那么它就能不斷地生長發(fā)展.因此，在平時的教學中筆者傾注了大量的時間和精力，整理典型的例、習題，通過教學探索，引導學生挖掘數學習題的潛在價值，發(fā)現它的生命力，開發(fā)習題的附加值.很多學生學后樂此不疲地嘗試探索，收獲很大.學生的積極探索改變了筆者的教學風格，讓課堂充滿了趣味，散發(fā)出了數學魅力.

一、化繁為簡，重視習題的二次結論的應用

習題的二次結論，它具有廣闊的探究、拓展空間，常常作為命題生長點的原型.平時教學中，如果能注重引導學生仔細揣摩，則能簡化解題過程，化難為易，開闊解題思路，使我們在解題中能舉一反三，觸類旁通，有助于培養(yǎng)學生靈活地運用知識解決具體問題的能力.

譬如，學生學習了《多邊形的內角和與外角和》后，筆者讓學生討論：如圖，∠A+∠B與∠C+∠D有怎樣的數量？為什么？

學生很快發(fā)現了：∠A+∠B=∠C+∠D.

再讓學生探究：

1.根據圖形，解答問題：

（1）如圖甲，一個五角形ABCDE，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小.

（2）如圖乙，如果點B向右移動到AC上時，還能算出∠A+∠EBD+∠C+∠D+∠E的大小嗎？

（3）如圖丙，點B向右移動到AC的另一側時，（1）的結論成立嗎？為什么？

（4）如圖丁，點B，E移動到∠CAD的內部時，結論又如何？說明理由.

甲 乙 丙 丁

學生通過討論，發(fā)現每題都適當添加一條輔助線，就能構造出例題中的圖形，再運用例題的結論轉化，從而很快解決問題，簡單有趣.

2.已知，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N.試解答下列問題：

（1）在圖中，若∠D=40°，∠B=30°，試求∠P的度數；

（2）如果圖中∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試寫出∠P與∠D、∠B之間數量關系.

在解答（1）時，學生充分運用了例題結論，兩次運用結論，通過列方程組求出∠P=38°；解答（2）時，學生利用（1）的特殊性解決問題，得出∠P= （∠B+∠D）.雖然本題對于初一學生有一定的難度，但它是以例題為原型生長出來的問題，只要引導學生在變化中始終抓住例題之本，解決新的問題也就水到渠成，迎刃而解了.

二、發(fā)散思維，注重習題的一題多解

“條條大路通羅馬”，解決同一個問題，方法往往有多種，一題多解在鞏固和加深所學知識，培養(yǎng)學生發(fā)散思維能力與創(chuàng)新能力方面具有重要的意義.

例如：探討計算1+2 +2 +…+2 的一題多解方法.

解法一：可通過教材提供的方法探究解決：2 -2 =2 ，2 -2 =2 ，…，再觀察得出規(guī)律，最后活用規(guī)律進行計算.所以原式=（2 -2 ）+（2 -2 ）+…+（2 -2 ）=2 -2 =2 -1.

解法二：這道習題也可用“倍差法”求解：設S=1+2 +2 +…+2 ，將等式兩邊同時乘以2，得2S=2+2 +2 +…+2 +2 ，將兩式相減，得2S-S=2 -1，即1+2 +2 +…+2 =2 -1.

解法三：當學生學習《整式乘法》后，再次和學生探討：計算1+2 +2 +…+2 .首先請學生動手操作：

（x-1）（x+1）=x -1，（x-1）（x +x+1）=x -1，（x-1）（x +x +x+1）=x -1，

……猜想：（x-1）（x +x +…+x +x+1）= .

這種解法就是運用上述規(guī)律：“借雞生蛋”解決.所以原式=（2-1）（2 +2 +…+2 +2+1）=2 -1.本題借的“雞”（2-1）是特例，當然有時要借（3-1）時，則要除以2，這是要提醒學生注意的.

教師在教學中要利用好這類習題，引導學生平時多觀察、多積累，就能有效培養(yǎng)學生思維的廣闊性和創(chuàng)造性.

三、探究創(chuàng)新，重視習題的變式拓展

在數學教學中，恰當地對例題、習題進行演變、引申、拓展，無疑是激發(fā)學生學習興趣，開拓思路，培養(yǎng)研究性思維能力的一種十分有效的方法.

例如：在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O.

（1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，則∠BOC= ；

（2）若∠A=76°，則∠BOC= ；

（3）若∠BOC=120°，則∠A= ；

（4）當∠A=n°（n為已知數）時，猜測∠BOC= ，并用所學的三角形的有關知識說明理由.

這個問題通過學生分析：只要抓住△ABC和△BOC的內角和，結合∠ABC、∠ACB的平分線就可以解決問題.三角形的角平分線有內外角的平分線，如果把它們進行重組后，又有什么新問題呢？

變式1：如圖，O是∠ABC與外角∠ACE的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關系？請說明理由.

分析：本題雖然看似和原題一樣，但解決問題的方法卻不一樣，這就需要教師引導學生運用△ABC和△BOC的外角解決，就能輕松得出∠BOC= ∠A.

變式2：如圖O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關系？

分析：本題的解法是運用△BOC的內角和知識結合△ABC的外角公式來解決，得出∠BOC=90°- ∠A.

數學的奧秘和樂趣就在這些變化中體現得淋漓盡致，學生也會興趣盎然，如果就內角平分線變化為∠ABC、∠ACB的等分線，則又有一番新景象.

變式3：已知△ABC中，∠A=x°，

（1）如圖，若∠ABC和∠ACB的三等分線相交于點O 、O ，則用x表示∠BO C= 度.

（2）如圖，若∠ABC和∠ACB的n等分線相交于點O 、O …O ，則用x表示∠BO C= 度.

探索是教學的生命線，在數學教學中，若能注重變式教學，不斷拋出新的問題，讓學生在不斷探究、不斷反思中，提高應變能力、獨創(chuàng)能力，特別有利于創(chuàng)新精神的培養(yǎng)和實踐能力的形成，也有利于提高獨立分析問題的能力.

四、靈活運用，重視習題思維變向

在數學學習中，對學生進行雙向思維交替訓練，有效提高學生由正向思維轉換到逆向思維的能力.同時也幫助學生克服思維定勢和思維的呆板性起到良好的作用，培養(yǎng)學生思維的靈活性，從而在解題中左右逢源，如魚得水.

例如：學習《冪的運算》后，學生對于2 ×2 都會運用同底數冪的乘法法則計算得出2 ，教師在學生熟練掌握基礎知識的原則下，不妨提出2 =2 ×2 讓學生思考.這其實是逆用這個法則，它表示把一個冪寫成幾個同底數的冪相乘，在解決某些問題時常常有用.

探究1：已知a =2，a =3，求a 的值.

分析：本題就是逆用同底數冪的運算法則得：a =a ·a =2×3=6

探究2：已知a=2 ，b=3 ，c=4 ，試比較a、b、c的大小關系.

分析：解決本題逆用冪的乘方法則可得：a=2 =（2 ） =64 ，b=3 =（3 ） =243 ，c=4 =（4 ） =256 ，從而輕松快速地比較得出a、b、c之間的大小關系.

在初中數學中，不僅是某些法則可以這樣逆用，某些公式、定理等也可以這樣運用.

應用1：已知x +2xy+2y +2y+1=0，求2x+y的值.

分析：本題可以運用完全平方公式解決.

應用2：已知a≠b，且a +3a-7=0，b +3b-7=0，求a +b 的值.

分析：本題如果逆用根和系數的關系可知：a、b是關于x的一元二次方程x +3x-7=0的兩根，從而可得a+b=-3，ab=-7，所以a +b =（a+b） -2ab=23.

逆向思維是數學教學中一種重要的求異思維方式，它能讓學生很快解決一些表面看似繁復的問題.因此，在教學中應有意識地培養(yǎng)，不斷提高學生的思維品質.

五、探本求源，重視習題蘊涵的思想方法

數學思想方法寓于數學知識之中，揭示了數學概念、原理、規(guī)律的本質，是溝通基礎與能力的橋梁.學生對數學思想方法的掌握是螺旋式上升的，不能一蹴而就，在每一個教學環(huán)節(jié)中，應當針對學生的認知水平，結合教學內容潛移默化地進行，重視培養(yǎng)學生在習題中數學思想的滲透和確定.

如《一元一次不等式》復習題中，教材安排了一道探索研究：

用等號或不等號填空：

（1）比較2x與x +1的大?。?/p>

①當x=2時，2x x +1

②當x=1時，2x x +1

③當x=3時，2x x +1

（2）任意取幾個x的值，計算并比較2x與x +1的大小；

（3）無論x取什么值，2x與x +1總有這樣的大小關系嗎？試說明理由.

教材安排這個探究，原因之一就是引導學生認識“特殊與一般的思想”常通過考察其特殊情況，由淺入深，由現象到本質，揭示其一般規(guī)律.可見思想方法才是學生數學學習的源頭，鞏固了思想，樹立了意識，才能窺一斑而見全豹，解一題而得全部.教材的很多例題、習題中還體現了“數形結合”，“分類討論”等思想方法.學生掌握了數學思想方法等于掌握了“萬能”的金鑰匙，數學學習能力和解題能力無疑會極大提高，數學素養(yǎng)會有質的飛躍.

當然習題潛能量的探究遠遠不只這些.只要教師始終意識到學生是學習數學的主人，通過課堂教學的星星之火，通過習題練習的點點光芒，就定能點亮學生探究之路，讓數學學習成為學生不斷發(fā)現、不斷創(chuàng)造的過程，充分發(fā)揮例題習題應有的價值，彰顯數學魅力，那么學生在數學學習過程中定能如活水之魚，鮮活而富有生命力.