高等數(shù)學(xué)內(nèi)容教學(xué)難點(diǎn)分析與突破例談

邱香蘭

摘 要： 本文分析了高等數(shù)學(xué)內(nèi)容中的教學(xué)難點(diǎn)，提出了突破教學(xué)難點(diǎn)的三種方法：搭建合適的臺(tái)階、循序漸進(jìn)和“淺入深出”。

關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué) 教學(xué)難點(diǎn) 搭建臺(tái)階 循序漸進(jìn) 淺入深出

教學(xué)難點(diǎn)是指學(xué)生不易理解的知識(shí)，或不易掌握的技能技巧。如高等數(shù)學(xué)內(nèi)容中一元函數(shù)在一點(diǎn)處的極限定義，一元函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義，定積分的概念，變上限積分的概念及其求導(dǎo)，定積分的應(yīng)用，多元函數(shù)的多重極限，多元函數(shù)的可微分，常微分方程在物理上的應(yīng)用，等等，都是學(xué)生不易理解的知識(shí)；另外，不定積分的計(jì)算方法，求解某些二階微分方程的方法等，都是學(xué)生不易掌握的技能技巧。

難點(diǎn)有時(shí)要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際水平來定，同樣一個(gè)問題在不同班級(jí)的不同學(xué)生中，就可以是難點(diǎn)也可以不是難點(diǎn)。如分部積分法對(duì)于?？茖W(xué)生來說，就是難點(diǎn)，而對(duì)于本科學(xué)生來說就不是難點(diǎn)。在一般情況下，使大多數(shù)學(xué)生感到困難的內(nèi)容，就是教學(xué)難點(diǎn)。也可以說教學(xué)難點(diǎn)是由于新內(nèi)容與學(xué)生已有的認(rèn)知水平之間存在較大的落差而產(chǎn)生的。因此，要找出教學(xué)難點(diǎn)，就要分析學(xué)生已有的認(rèn)知水平，分析以往學(xué)生學(xué)這些內(nèi)容時(shí)容易犯的錯(cuò)誤。

教師要著力采用各種有效辦法對(duì)教學(xué)難點(diǎn)加以突破，否則不但這部分內(nèi)容學(xué)生聽不懂學(xué)不會(huì)，還會(huì)為理解以后的新知識(shí)和掌握新技能造成困難。如一元函數(shù)在一點(diǎn)處的極限定義如果沒有弄清楚，那么一元函數(shù)的連續(xù)性，一元函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，定積分的概念，甚至于多元函數(shù)的極限，多元函數(shù)的可微分性等就都會(huì)學(xué)不會(huì)。

那么怎樣突破教學(xué)難點(diǎn)呢？既然教學(xué)難點(diǎn)是由于新內(nèi)容與學(xué)生已有的認(rèn)知水平之間存在較大的落差而產(chǎn)生的，那么就要分析這個(gè)落差，搭建合適的臺(tái)階。例如，要突破“變上限積分的概念及其求導(dǎo)”這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，首先分析：變上限積分不是一般的定積分，其值不是常數(shù)，而是一個(gè)函數(shù)（自變量為上限變量），如果被積函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上連續(xù)，則這個(gè)變上限積分可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)在上限處的值。然后，在教學(xué)中搭建合適的臺(tái)階：第一定義變上限積分，讓學(xué)生掌握其標(biāo)準(zhǔn)形式，老師強(qiáng)調(diào)被積函數(shù)的自變量與積分變量相同，否則，要求學(xué)生通過換元變成相同的變量。第二給出變上限積分的第一個(gè)性質(zhì)，若被積函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上連續(xù)，則上限變量趨于下限值時(shí)，對(duì)應(yīng)的變上限積分是一個(gè)無窮小量；對(duì)此利用積分中值定理和閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的有界性及無窮小的性質(zhì)進(jìn)行證明。第三給出變上限積分的第二個(gè)性質(zhì)，即課本上的原函數(shù)存在定理，對(duì)此除了要進(jìn)行證明以外，還要讓學(xué)生判別所要求導(dǎo)的這個(gè)變上限積分是否為求導(dǎo)變量的復(fù)合函數(shù)，如果是復(fù)合函數(shù)就要利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)。最后，使學(xué)生掌握變上限積分的兩個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用：第一個(gè)性質(zhì)可用于利用洛必達(dá)法則求不定式的極限，第二個(gè)性質(zhì)可用于含變上限積分的式子或方程的求解，其中求解的過程中需要求導(dǎo)。

要攻克教學(xué)難點(diǎn)，極其重要的一條就是循序漸進(jìn)，一個(gè)5m高的峭壁，沒有專門的工具，沒有經(jīng)過專業(yè)訓(xùn)練的人是很難攀登的，而泰山那么高，一般的人都爬得上去，就是因?yàn)樘┥介_鑿了一般健康人都能接受的臺(tái)階。教學(xué)也是一樣的道理，要遵循循序漸進(jìn)的原則。例如二階線性微分方程在電學(xué)上的應(yīng)用實(shí)例的講解：首先要復(fù)習(xí)和補(bǔ)充電學(xué)中有關(guān)的知識(shí)和概念，如電容、電感的定義，電容、電感的計(jì)算公式，串聯(lián)電路的幾大特點(diǎn)；然后才能根據(jù)回路定律得出串聯(lián)電路的振蕩方程；最后進(jìn)行討論求解。同理，在教學(xué)二階線性微分方程在力學(xué)上的應(yīng)用實(shí)例時(shí)，首先要介紹實(shí)例的相應(yīng)的背景知識(shí)并介紹有關(guān)的概念，如彈性恢復(fù)力、繩子的張力等，然后進(jìn)行受力分析，并根據(jù)有關(guān)的物理定律建立振動(dòng)方程，最后討論求解。

要攻克教學(xué)難點(diǎn)，極其重要的另一條就是“淺入深出”。成語“深入淺出”，是指講話或文章的內(nèi)容深刻，語言文字卻淺顯易懂。而我認(rèn)為教學(xué)，尤其是數(shù)學(xué)教學(xué)要“淺入深出”，這里的“淺入深出”是從字面意思理解的，“淺入”是指導(dǎo)入要淺顯，從簡單的例子或者從生活中實(shí)際的例子引入教學(xué)，“深出”是指從淺顯的例子中歸納出規(guī)律性的東西，比如定律、法則等。如在教學(xué)定積分的概念時(shí)，宜先學(xué)習(xí)曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程的求解計(jì)算步驟，然后分析：雖然所要計(jì)算的量，即曲邊梯形的面積A及變速直線運(yùn)動(dòng)的路程S的實(shí)際意義不同，前者是幾何量后者是物理量，但是它們都決定于一個(gè)函數(shù)及其自變量的變化區(qū)間，其次，計(jì)算這些量的方法與步驟都是相同的，并且它們都可以歸結(jié)為具有相同的結(jié)構(gòu)的一種特定和的極限，拋開這些問題的具體意義，抓住它們?cè)跀?shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)與特性加以概括，就可以抽象出定積分的定義。

要做到“淺入深出”，教師對(duì)教材研究必須深入透徹，且能創(chuàng)造性地處理教材。蘇霍姆林斯基的《給教師的建議》中有這樣一段話：“應(yīng)當(dāng)在你所教的那門科學(xué)領(lǐng)域里，使學(xué)校教科書里包含的那點(diǎn)科學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)你來說只不過是入門的常識(shí)。在你的科學(xué)知識(shí)的大海里，你所教給學(xué)生的教科書里的那點(diǎn)基礎(chǔ)知識(shí)，應(yīng)當(dāng)只是滄海之一粟?！薄叭绻粋€(gè)教師在他剛參加教育工作的頭幾年里所具備的知識(shí)，與他要教給兒童的最低限度知識(shí)的比例為10：1，那么到他有了15年至20年教齡的時(shí)候，這個(gè)比例就變?yōu)?0：1，30：1，50：1?！庇辛诉@樣的積淀才能真正實(shí)現(xiàn)“淺入深出”，達(dá)到“深入淺出”的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)） [M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.