復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的簡(jiǎn)便教學(xué)法

于風(fēng)宏　楊廣峰

摘 要： 在課堂教學(xué)中，我們介紹的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法是“鏈?zhǔn)椒▌t”.“鏈?zhǔn)椒▌t”內(nèi)容為復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù). 對(duì)于初學(xué)者來說，其往往把握不住“鏈?zhǔn)椒▌t”的關(guān)鍵部分，導(dǎo)致思維混亂，難以下筆，感到“鏈?zhǔn)椒▌t”很難掌握.本文分析得出對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的理解和使用方法，此方法簡(jiǎn)稱為“層層扒皮法”，這個(gè)方法對(duì)初學(xué)者來說容易理解，易于掌握.

關(guān)鍵詞： 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 鏈?zhǔn)椒▌t 層層扒皮法

在教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)學(xué)生一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)非常困難.尤其對(duì)于復(fù)合層級(jí)多于3層的復(fù)合函數(shù)，初學(xué)者在對(duì)其求導(dǎo)的時(shí)候，總會(huì)出現(xiàn)或多或少的問題，或是無從下手，或是求導(dǎo)不到位，或是中間的連接符號(hào)極其混亂，或是對(duì)“鏈?zhǔn)椒▌t”的理解不夠全面，等等，總之，求出的導(dǎo)數(shù)不夠透徹.出現(xiàn)這些問題的主要原因是初學(xué)者的初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)掌握不夠牢固，對(duì)于復(fù)合函數(shù)的內(nèi)容掌握不全面，不清楚復(fù)合函數(shù)是如何復(fù)合的，不能快速分辨復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層次.

鑒于此，我們?cè)诮虒W(xué)過程中結(jié)合“鏈?zhǔn)椒▌t”，總結(jié)出易于學(xué)生理解和應(yīng)用的求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的精巧方法——層層扒皮法.下面依據(jù)“鏈?zhǔn)椒▌t”介紹這種求導(dǎo)方法.

課堂教學(xué)中，我們介紹的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法是“鏈?zhǔn)椒▌t”，即復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù).

對(duì)于初學(xué)者來說，比較簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)，他們會(huì)很容易找到中間變量，也能夠較順暢地應(yīng)用“鏈?zhǔn)椒▌t”.比如下面的例子：

例1.求復(fù)合函數(shù)y=ln2x的導(dǎo)數(shù).

解：設(shè)中間變量為u，則u=2x，那么所給函數(shù)是由y=lnu和u=2x復(fù)合而成的，則根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，我們得到所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：

= · = .（2x）′= ·2=

如果復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層級(jí)多于3層的話，初學(xué)者在求導(dǎo)過程中，就會(huì)出現(xiàn)混亂.這個(gè)時(shí)候，我們所說的 “層層扒皮法”就比較好用了.層層扒皮法，就是將復(fù)合函數(shù)從外向內(nèi)，一層一層地“扒皮”，每“扒”一層“皮”，就將這層“皮”求導(dǎo)，這層“皮”內(nèi)部的內(nèi)容，作為一個(gè)整體，看做這層“皮”的自變量，不同層“皮“的導(dǎo)數(shù)之間用乘號(hào)相連接，同樣的方法，依次進(jìn)行，直到對(duì)最內(nèi)層自變量求導(dǎo)為止.

下面，演示如何應(yīng)用 “層層扒皮法”來解決多復(fù)合層次的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)問題.

例2.求復(fù)合函數(shù)y=sin[sin（cos4x）]的導(dǎo)數(shù).

解： 我們來觀察所給函數(shù)，從左向右（遵循從外向內(nèi)的原則）看，首先看到的是“sin”，我們把“sin”稱為第一層皮，把它的內(nèi)部函數(shù)sin（cos4x）看做一個(gè)整體變量，對(duì)“sin”求導(dǎo)，得到

y′=cos[sin（cos4x）]（1）

“扒掉”剛剛求導(dǎo)的第一層皮“sin”，我們看到第二個(gè)“sin”，這里我們可以把它稱為第二層皮，依然把第二層皮的內(nèi)部函數(shù)cos（4x）看成整體，并且對(duì)第二層的“sin”它求導(dǎo)，得到cos（cos4x），

將此式與（1）式相乘，我們得到這二層皮的導(dǎo)數(shù)為

y′=cos[sin（cos4x）]·cos（cos4x） （2）

我們用同樣的思路，繼續(xù)向內(nèi)層求導(dǎo)，得到第三層的導(dǎo)數(shù)為：-sin4x，

將其與（2）式相乘，得到

y′=cos[sin（cos4x）]·cos（cos4x）·（-sin4x）（3）

同理，再“扒掉”剛剛求完導(dǎo)的第三層“cos”這一層，我們看最內(nèi)層函數(shù)是“4x”，它的導(dǎo)數(shù)為：4

將其與（3）式相乘，于是有

y′=cos[sin（cos4x）]×cos（cos4x）×（-sin4x）×4，

整理一下，得到y(tǒng)′=-4sin4x·cos（cos4x）·cos[sin（cos4x）]

就是所求y=sin[sin（cos4x）]的導(dǎo)數(shù).

類似上例的復(fù)合函數(shù)，按照從左向右的方向，從外向內(nèi)，逐步分清所要求導(dǎo)的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層次，逐層扒皮，逐層求導(dǎo)，按照這樣的思維過程，學(xué)生將會(huì)很容易克服解題過程中出現(xiàn)的求導(dǎo)結(jié)果不徹底、不到位的問題。

同樣的，我們可以用層層扒皮法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

（1）y=tan[ln（x +2x-3）] （2）y=sin[arccos（sin3x）]

結(jié)果為：

（1）y′=sec [ln（x +2x-3）]· ·（2x+2）

（2）y′=cos[arccos（sin3x）]· ·cos3x·3

從上述答案中，可以清楚地看出每一層函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

冪函數(shù)類型和指數(shù)函數(shù)類型的復(fù)合函數(shù)能否用層層扒皮法來求導(dǎo)呢？我們用下面兩個(gè)例子具體說明.

例3.求復(fù)合函數(shù)y=（arctan（x +1）） 的導(dǎo)數(shù).

解：我們按照從內(nèi)向外的方向來找層次，首先最外層是 “平方”，把“平方”內(nèi)部的函數(shù)內(nèi)容arctan（x +1）作為一個(gè)整體，對(duì)這層求導(dǎo)，得到的導(dǎo)數(shù)為

y′=2（arctan（x +1）） （4）

“扒掉”“平方”這層皮，我們看到了arctan（x +1）這一層，對(duì)“arctan”求導(dǎo)，把（x +1）看成“arctan”的整體變量，得到它的導(dǎo)數(shù)為

，

將其與（4）式相乘，得到

y′=2（arctan（x +1））g （5）

“扒掉”“arctan”這一層，我們看到最內(nèi)層為（x +1），它的導(dǎo)數(shù)為2x，再與（5）相乘，得到

y′=2（arctan（x +1））· ·2x，

整理以后得到

y′=4·

上式就是復(fù)合函數(shù)y=（arctan（x +1）） 的導(dǎo)數(shù).

對(duì)于指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解方法，其實(shí)與其他類型復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求解方法是一致的.

例4.求函數(shù)y=e 的導(dǎo)數(shù).

解：函數(shù)的最外層是“指數(shù)函數(shù)”——e ，把（2x-1） 看成e 的整體變量，所以，最外層的導(dǎo)數(shù)為

y′=e （6）

“扒掉”“指數(shù)函數(shù)”e 這一層皮，我們看到的是（2x-1） 這一層，把這里的2x-1看成是“平方”的整體變量，并且對(duì)“平方”求導(dǎo)，得到

2（2x-1）

“扒掉”這一層皮，看到最內(nèi)層是（2x-1），它的導(dǎo)數(shù)是2，最后我們把各層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)用乘號(hào)連接起來，得到y(tǒng)′=e ·2（2x-1）·2

整理后得y′=4（2x-1）e

上式即為y=e 的導(dǎo)數(shù).

從以上的眾多例子中我們不難發(fā)現(xiàn)，不同類型的復(fù)合函數(shù)的分層方向是不同的，但是，只要我們弄清所求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的復(fù)合層次，再結(jié)合“層層扒皮求導(dǎo)法”的思維過程，對(duì)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)而言，都會(huì)比較容易上手。

“層層扒皮求導(dǎo)法”的本質(zhì)依然是鏈?zhǔn)椒▌t，建議教師在教學(xué)過程中，在講解“鏈?zhǔn)椒▌t”以后，再介紹“層層扒皮法”，會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。